REPÉRAGE DU MOUVEMENT - corrigé des exercices

Équations cartésiennes paramétriques

• En dérivant les expressions paramétriques des coordonnées cartésiennes, on obtient les coordonnées cartésiennes du vecteur vitesse :

\displaystyle \dot{x}=2 \, \frac{λ}{τ} \, t

;

\displaystyle \dot{y}=λ .\left(1-\frac{t^2}{τ^2} \right)

;

\displaystyle \dot{z}=μ .\left(1+\frac{t^2}{τ^2} \right)

• La norme du vecteur vitesse peut s’écrire :

v=\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2}

ce qui correspond à :

$\displaystyle v^2=(λ^2+μ^2 )+2 \,(λ^2+μ^2 ) \,\frac{t^2}{τ^2} +(λ^2+μ^2 ) \, \frac{t^4}{τ^4} =A .\left(1+\frac{t^2}{τ^2} \right)^2$ avec $A=λ^2+μ^2=25\text{,}0 \:\mathrm{m^2.s^{-2}}$ .

• Ceci donne :

\displaystyle v=v_0 .\left(1+\frac{t^2}{τ^2} \right)

avec

v_0=\sqrt{A}=5\text{,}0 \:\mathrm{m.s^{-1}}

.
• Puisque la norme de la vitesse ne s’annule jamais (

v≥v_0

), le mouvement est toujours dans le même sens. On peut alors choisir comme sens positif (arbitraire) le sens du mouvement ; ainsi la vitesse algébrique est toujours positive et égale à la norme

v

calculée précédemment.

3.	• L’angle $θ$ de la tangente avec l’axe $Oz$ peut être repéré (par exemple) par : $\displaystyle \cos(θ)=\frac{v_z}{v}=\frac{\dot{z}}{v}=\frac{μ}{v_0} =\frac{3}{5}$ ; cette quantité est visiblement constante.

Cycloïde en coordonnées cartésiennes

• Lorsque la roue tourne d’un angle

θ

en roulant vers la droite sans glisser sur l’axe

Ox

, son pourtour roule d’une longueur

R \:θ

et les coordonnées du centre

C

sont donc

(R \:θ \,; R \,)

.
• Le point

M

de la roue qui était au contact de l’axe (en

O

) à l’instant initial, était tel que

\overset{⟶}{CM}

était vertical vers le bas. À l’instant

t

considéré,

\overset{⟶}{CM}

a tourné d’un angle

θ

dans le sens inverse trigonométrique et ses coordonnées sont

(-R \;\sin(θ) \; ; -R \;\cos(θ) \, )

.
• Les coordonnées du point

M

sont donc :

(R .[θ-\sin(θ) ] \; ; R .[1-\cos(θ) ] \, )

• Les coordonnées du vecteur vitesse s’obtiennent en dérivant par rapport à

t

$v_x=\dot{x}=R \:\dot{θ}.[1-\cos(θ) ]$ ; $v_y=\dot{y}=R \:\dot{θ} \; \sin(θ)$ .

• De même :

a_x=\ddot{x}=R \:\ddot{θ} .[1-\cos(θ) ]+R \:\dot{θ}^2 \; \sin(θ)

;

a_y=\ddot{y}=R \:\ddot{θ} \; \sin(θ)+R \:\dot{θ}^2 \; \cos(θ)

• Aux instants où

M

touche l’axe

Ox

(à chaque tour) :

$θ=k \:2π$ avec $k∈ℕ$ ; $x=R \:θ=k \:2π \:R$ ; $y=0$ .

• Les coordonnées du vecteur vitesse sont alors :

v_x=0

;

v_y=0

. Le point s’immobilise au moment du contact puisqu’il ne glisse pas horizontalement et qu’il rebrousse chemin verticalement.
• Les coordonnées de l’accélération sont alors :

a_x=0

;

a_y=R \:\dot{θ}^2

. La vitesse horizontale est toujours positive et s’annule à l’instant du contact, donc

a_x<0

avant et

a_x>0

après ; la continuité impose ainsi

a_x=0

au contact. Par contre

a_y>0

au contact puisque le point rebrousse chemin verticalement ; plus précisément :

a_y

ne change pas de signe et ne peut pas s'annuler juste au contact, sinon le point y resterait immobile (il faut qu'il y ait au moins l'un des axes avec une composante de redémarrage).

Vecteurs en coordonnées polaires et notion de base locale

• Le vecteur

\overset{⟶}{OM}_1=r_1 \: \overset{→}{u}_r

et le vecteur

\overset{⟶}{OM}_2=r_2 \: \overset{→}{u}_r

peuvent sembler ne pas dépendre de la coordonnée

θ

. Qui plus est, il peuvent sembler être obligatoirement de même direction : celle de

\overset{→}{u}_r

(voire même obligatoirement égaux dans le cas

r_1=r_2

).
• Cela vient du fait que les coordonnées au point

M_1

sont associées à la base polaire en ce point :

\left(\,\overset{→}{u}_r (θ_1 ) \: ; \overset{→}{u}_θ (θ_1 )\right)

alors que les coordonnées de

M_2

sont pour la base locale

\left(\,\overset{→}{u}_r (θ_2 ) \: ; \overset{→}{u}_θ (θ_2 )\right)

. Ainsi les vecteurs

\overset{⟶}{OM}_1

\overset{⟶}{OM}_2

dépendent de

θ

par la direction de

\overset{→}{u}_r (θ)

, donc ils n'ont pas forcément la même direction.

• Cela n'est pas possible directement car les coordonnées des point

M_1

M_2

sont associées aux bases polaires respectives en ces points. Cela n'est pas simplement possible, pour la même raison, avec les coordonnées de

\overset{⟶}{OM}_1

\overset{⟶}{OM}_2

.
• On peut par contre le faire indirectement en changeant de base pour l'un des deux vecteurs ; la base locale en

M_2

peut ainsi être écrite :

$\overset{→}{u}_r (θ_2 )=\cos(θ_2-θ_1 ) \; \overset{→}{u}_r (θ_1 )+\sin(θ_2-θ_1 ) \; \overset{→}{u}_θ (θ_1 )$ ;
$\overset{→}{u}_θ (θ_2 )=-\sin(θ_2-θ_1 ) \; \overset{→}{u}_r (θ_1 )+\cos(θ_2-θ_1 ) \; \overset{→}{u}_θ (θ_1 )$ .

• On en déduit ainsi (on pourrait faire de même sur la base locale de

M_2

) :

$\overset{⟶}{OM}_1=r_1 \: \overset{→}{u}_r (θ_1 )$ ; $\overset{⟶}{OM}_2=r_2 \: \overset{→}{u}_r (θ_2 )=r_2 \; \cos(θ_2-θ_1 ) \; \overset{→}{u}_r (θ_1 )+r_2 \; \sin(θ_2-θ_1 ) \; \overset{→}{u}_θ (θ_1 )$ ;
$\overset{⟶}{M_1 M_2}=\overset{⟶}{OM}_2-\overset{⟶}{OM}_1=[r_2 \; \cos(θ_2-θ_1 )-r_1 ] \; \overset{→}{u}_r (θ_1 )+r_2 \; \sin(θ_2-θ_1 ) \; \overset{→}{u}_θ (θ_1 )$ .

◊ remarque : cela peut laisser subsister un problème concernant le cas particulier où

M_1

est à l'origine, mais en exprimant de façon analogue :

\overset{⟶}{M_1 M_2}=[r_2-r_1 \; \cos(θ_2-θ_1 ) ] \; \overset{→}{u}_r (θ_2 )+r_1 \; \sin(θ_2-θ_1 ) \; \overset{→}{u}_θ (θ_2 )

, le cas particulier du point

M_1=O

de coordonnées

r_0=0

θ_0

indéterminé redonne l'expression :

\overset{⟶}{OM}_2=r_2 \; \overset{→}{u}_r (θ_2 )

indépendante de

θ_0

.
◊ remarque : l'approfondissement de cette notion de repérage local est l'un des outils utilisés par la relativité générale pour décrire la gravitation.

Coordonnées polaires ; étude d’un mouvement circulaire

1.	• La condition $θ=\frac{π}{2}$ correspond à $\displaystyle \sin\left(\frac{2π \:t}{T}\right)=\frac{1}{2}$ ce qui est obtenu la première fois pour $\displaystyle \frac{2π \:t}{T}=\frac{π}{6}$ donc $\displaystyle t=\frac{T}{12}=83\text{,}3 \:\mathrm{ms}$ .

• En coordonnées polaires :

\overset{⟶}{OM}=r \:\overset{→}{u}_r

; on en déduit :

$\overset{→}{v}=\dot{\overset{⟶}{OM}}=\dot{r} \; \overset{→}{u}_r+r \:\dot{\overset{→}{u}}_r=\dot{r} \; \overset{→}{u}_r+r \:\dot{θ} \; \overset{→}{u}_θ$ .

Ceci correspond à une composante radiale :

v_r=\dot{r}=0

et une composante orthoradiale :

$\displaystyle v_θ=r \:\dot{θ}=\frac{2 \,π^2 \: r}{T} \: \cos\left(\frac{2π \:t}{T}\right)=\frac{π^2 \: r \:\sqrt{3}}{T}=17\text{,}1 \:\mathrm{m.s^{-1}}$ .

• De même en dérivant

\overset{→}{v}=r \:\dot{θ} \; \overset{→}{u}_θ

on obtient :

$\overset{→}{a}=-r \:\dot{θ}^2 \: \overset{→}{u}_r+r \:\ddot{θ} \; \overset{→}{u}_θ$ .

C’est-à-dire :

$\displaystyle a_r=-r \:\dot{θ}^2=-\frac{4 \,π^4 \: r}{T^2} \: \cos^2\left(\frac{2π \:t}{T}\right)=-\frac{3 \,π^4 \: r}{T^2} =-292 \:\mathrm{m.s^{-2}}$ (accélération radiale) ;
$\displaystyle a_θ=r \:\ddot{θ}=-\frac{4 \,π^3 \: r}{T^2} \: \sin\left(\frac{2π \:t}{T}\right)=-\frac{2 \,π^3 \: r}{T^2} =-61\text{,}9 \:\mathrm{m.s^{-2}}$ (accélération orthoradiale).

• La norme du vecteur accélération est

a=\sqrt{a_r^{\:2}+a_θ^{\:2}}

, qu’il est mieux d'exprimer en fonction de

θ

$\displaystyle a_r=-\frac{4 \,π^4 \: r}{T^2} \: \cos^2\left(\frac{2π \:t}{T}\right)=-\frac{4 \,π^2 \: r}{T^2} \: \left(π^2-θ^2 \right)$ et $\displaystyle a_θ=-\frac{4 \,π^3 \: r}{T^2} \: \sin\left(\frac{2π \:t}{T}\right)=-\frac{4 \,π^2 \: r}{T^2} \: θ$ ;
$\displaystyle a=\frac{4 \,π^2 \: r}{T^2} \: \sqrt{\left(π^2-θ^2 \right)^2+θ^2}$ .

• L'accélération

a

est extremum quand

\displaystyle \frac{da}{dθ}=\frac{4 \,π^2 \: r}{T^2} \, \frac{2 \,θ . (θ^2-π^2 )+θ}{\sqrt{(π^2-θ^2 )^2+θ^2}}=0

, soit :

2 \,θ .\left[(θ^2-π^2 )+\frac{1}{2} \, \right]=0

, donc :

θ=0

θ=±\sqrt{π^2-\frac{1}{2}}

.
• En reportant ces valeurs de

θ

dans l'expression de

a

, on obtient :

$\displaystyle a=\frac{4 \,π^4 \: r}{T^2}$ (maximum) pour $θ=0$ ;
$\displaystyle a=\frac{4 \,π^2 \: r}{T^2} \: \sqrt{π^2-\frac{1}{4}}$ (minimum) pour $θ=±\sqrt{π^2-\frac{1}{2}}$ .