REPÉRAGE DU MOUVEMENT - exercices


Équations cartésiennes paramétriques

        • Par rapport à un repère orthonormé, fixe dans le référentiel considéré, on considère un point mobile MM dont la trajectoire (H)(H) est donnée par les équations paramétriques en fonction du temps :
x=λτt2\displaystyle x=\frac{λ}{τ} \, t^2  ;  y=λt.(1−t23τ2)\displaystyle y=λ \:t .\left(1-\frac{t^2}{3 \,τ^2}\right)  ;  z=μt.(1+t23τ2)\displaystyle z=μ \:t .\left(1+\frac{t^2}{3 \,τ^2}\right)  ;
avec :  λ=4,0m.s−1λ=4\text{,}0 \:\mathrm{m.s^{-1}}  ;  τ=1,0sτ=1\text{,}0 \:\mathrm{s}   et  μ=3,0m.s−1μ=3\text{,}0 \:\mathrm{m.s^{-1}} .

1.     • Déterminer le vecteur vitesse.

2.     • Montrer que sa norme peut s'écrire :  v=v0.(1+t2τ2)\displaystyle v=v_0 .\left(1+\frac{t^2}{τ^2} \right)  avec  v0=5,00m.s−1v_0=5\text{,}00 \:\mathrm{m.s^{-1}} .
        • Déterminer le signe de la vitesse algébrique (c'est-à-dire le sens sur la trajectoire).

3.     • Montrer que la tangente à la trajectoire (H)(H) fait un angle constant avec l’axe OzOz .


Cycloïde en coordonnées cartésiennes

        • Une roue de rayon RR et de centre CC roule sans glisser sur un axe OxOx . Le mouvement de la roue est paramétré par l’angle θ(t)θ(t) dont a tourné la roue à partir de sa position initiale.

1.     • Quelles sont, en fonction de RR et de θθ , les coordonnées cartésiennes du point MM de la périphérie de la roue qui coïncidait avec OO pour  θ=0θ=0 ?
        ◊ remarque : la trajectoire de MM est une courbe appelée cycloïde.

2.     • Calculer, en fonction de RR , de θθ et de ses dérivées, les composantes des vecteurs vitesse et accélération de MM .

3.     • Calculer les valeurs des composantes des vecteurs vitesse et accélération à l’instant où MM touche l’axe OxOx . Interpréter les résultats.


Vecteurs en coordonnées polaires et notion de base locale

1.     • On considère un point M1M_1 de coordonnées polaires (r1,θ1)(r_1 \,, θ_1) et un point M2M_2 de coordonnées polaires (r2,θ2)(r_2 \,, θ_2) ; exprimer les coordonnées polaires des vecteurs  OM⟶1\overset{⟶}{OM}_1  et  OM⟶2\overset{⟶}{OM}_2 . Quelle difficulté d'interprétation la comparaison des deux fait-elle apparaître ?

2.     • Peut on calculer directement les coordonnées du vecteur  M1M2⟶\overset{⟶}{M_1 M_2}  par simple comparaison des coordonnées de M1M_1 et M2M_2 ? Peut-on le faire par simple comparaison des coordonnées de  OM⟶1\overset{⟶}{OM}_1  et  OM⟶2\overset{⟶}{OM}_2 ?


Coordonnées polaires ; étude d’un mouvement circulaire

        • Un point matériel MM se déplace sur un cercle de centre OO et de rayon  r=1,00mr=1\text{,}00 \:\mathrm{m} .  La position de MM est repérée à l’aide de l’angle polaire θθ par rapport à la direction initiale OM⟶0\overset{⟶}{OM}_0 .  L’équation paramétrique du mouvement est :  θ=πsin(2πtT)\displaystyle θ=π \; \sin\left(\frac{2π \:t}{T} \right)  avec  T=1,00sT=1\text{,}00 \:\mathrm{s} .

1.     • Au bout de combien de temps le point MM passe-t-il pour la première fois en NN tel que  θ=π2θ=\frac{π}{2}  ?

2.     • Calculer littéralement, puis numériquement, les composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse en NN .

3.     • Calculer littéralement, puis numériquement, les composantes radiale et orthoradiale du vecteur accélération en NN .

4.     • Pour quelle(s) valeur(s) de θθ la norme du vecteur accélération est-elle maximale ?