amg - MÉCANIQUE GÉOMÉTRIQUE

L'action et les relations hamiltoniennes

• On considère point matériel de masse

m

repéré par sa position dépendant du temps :

M(t)=\left(x(t),y(t),z(t)\right)

.

L'action

𝒮

est associée à un lagrangien

\mathcal{L}\left(\overset{⟶}{OM} ,\dot{\overset{⟶}{OM}},t\right)

, qu'on peut écrire de façon simplifiée

\mathcal{L}(x_{i}\,,{\dot{x}}_{i}\, ,t)

, selon la relation :

\mathcal{S}(x_{i}\,,t)=\int_{0}^{t}{\,\mathcal{L}(x_{i}(\mathcal{t}),{\dot{x}}_{i}(\mathcal{t}),\mathcal{t})\;d\mathcal{t}}

.

• On considère les variations de l'action associées à des changements de trajectoire (avec une sommation implicite sur les indices

i

) :

\displaystyle \delta \mathcal{S}=\int_{0}^{t} {\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{i}}\, \delta x_{i}+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot{x}}_{i}}\, \delta {\dot{x}}_{i}\right)\:d\mathcal{t}}

.

En intégrant par parties :

$\displaystyle \delta \mathcal{S}={\left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot{x}}_{i}}\, \delta x_{i}\right]}_{0}^{t}+\int_{0}^{t} {\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{i}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot{x}}_{i}}\right)\:\delta x_{i}\: d\mathcal{t}}$ .

• Pout déterminer les mouvements physiques réels entre la position initiale

M_{0}

et un point

M(t)

fixé, on part du principe que l'action doit être stationnaire, c'est-à-dire

δS=0

. Les variations

\delta x_{i}

étant quelconques, mais nulles aux extrémités, on en conclut que les trajectoires vérifient les équations d'Euler-Lagrange :

\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{i}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot{x}}_{i}}=0

.

• Maintenant, pour ces mouvements physiques réels, on considère au contraire les variations de

𝒮

pour un déplacement de

M(t)

; cela donne alors :

\displaystyle \delta \mathcal{S}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot{x}}_{i}}\, \delta x_{i}=p_{i}\: \delta x_{i}

, avec l'impulsion

\displaystyle p_{i}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot{x}}_{i}}

; ainsi :

\displaystyle p_{i}=\frac{\partial \mathcal{S}}{\partial x_{i}}

.

• Par ailleurs, la définition de l'action donne :

$\displaystyle \frac{d\mathcal{S}}{dt}=\mathcal{L}=\frac{\partial \mathcal{S}}{\partial t}+\frac{\partial \mathcal{S}}{\partial x_{i}}\, {\dot{x}}_{i}=\frac{\partial \mathcal{S}}{\partial t}+p_{i}\: {\dot{x}}_{i}$ .

Or, d'après les équations d'Euler-Lagrange :

$\displaystyle d\mathcal{L}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{i}}\, dx_{i}+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot{x}}_{i}}\, d{\dot{x}}_{i}+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\, dt={\dot{p}}_{i}\: dx_{i}+p_{i}\: d{\dot{x}}_{i}+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\, dt$ .

Ainsi le Hamiltonien

\mathcal{H}=p_{i}\: {\dot{x}}_{i}-\mathcal{L}

est tel que :

$\displaystyle d\mathcal{H}={\dot{x}}_{i}\: dp_{i}-{\dot{p}}_{i}\: dx_{i}-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\, dt$ ; $\displaystyle \frac{\partial \mathcal{S}}{\partial t}=-\mathcal{H}$ .

Action réduite pour un système conservatif de l'énergie

• On considère un cas où

\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}=0

, ce qui impose aussi

\displaystyle \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t}=0

. On obtient ainsi :

\displaystyle \frac{d\mathcal{H}}{dt}={\dot{x}}_{i}\, \frac{dp_{i}}{dt}-{\dot{p}}_{i}\, \frac{dx_{i}}{dt}=0

.

Pour un système dérivant d'une énergie potentielle

E_{p}(M)

, le lagrangien peut s'écrire sous la forme :

\mathcal{L}=E_{c}-E_{p}

, d'où le hamiltonien :

\displaystyle \mathcal{H}=\frac{p^{2}}{2\, m}+E_{p}=E=Cste

.

• L'équation de Hamilton-Jacobi donne alors une action réduite

{\mathcal{S}}_{0}(x_{i})

\displaystyle \frac{\partial \mathcal{S}}{\partial t}=-E

;

\mathcal{S}(x_{i}\,,t)=-E\: t+{\mathcal{S}}_{0}(x_{i})

.

Or on peut écrire :

$\mathcal{S}(x_{i}\, ,t)=\int_{0}^{t} {\left(p_{i}\: {\dot{x}}_{i}-E\right)\: d\mathcal{t}}=\int_{M_{0}}^{M} {p_{i}\: dx_{i}}-E\: t$ ;
${\mathcal{S}}_{0}(x_{i})=\int_{M_{0}}^{M} {p_{i}\: dx_{i}}$ ; $\displaystyle p_{i}=\frac{\partial {\mathcal{S}}_{0}}{\partial x_{i}}$ .

◊ remarque : dans la mesure où

\overset{→}{p}

est tangent à la trajectoire d'une particule, pour une énergie donnée toutes les trajectoires sont orthogonales aux surfaces équi-action.

• Ceci peut être relié au principe de Maupertuis permettant de déterminer la trajectoire réelle entre deux points donnés :

$p=\left\|\,\overset{→}{p}\,\right\|=\sqrt{2\, m .(E-E_{p})}$ ;
$∆\mathcal{S}=-E\: ∆t+∆{\mathcal{S}}_{0}=-E .\left(t_{2}-t_{1}\right)+\int_{M_{1}}^{M_{2}} {\,\overset{→}{p}\cdot d\overset{⟶}{OM}}$ ;
$∆\mathcal{S}=\int_{M_{1}}^{M_{2}} {\sqrt{2\, m.(E-E_{p})}\: \: d\ell}=\int_{t_{1}}^{t_{2}} {\sqrt{2\, m.(E-E_{p})}\: \: v\; d\mathcal{t}}$ .

En posant

f\left(x_{i}\, ,{\dot{x}}_{i}\right)=\sqrt{2\, m .(E-E_{p})}\: \: v

on obtient :

$\displaystyle \delta (∆\mathcal{S})=\int_{t_{1}}^{t_{2}} {\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\: \delta x_{i}\: d\mathcal{t}}+\int_{t_{1}}^{t_{2}} {\frac{\partial f}{\partial {\dot{x}}_{i}}\: \delta {\dot{x}}_{i}\: d\mathcal{t}}$ ;
$\displaystyle \int_{t_{1}}^{t_{2}} {\frac{\partial f}{\partial {\dot{x}}_{i}}\: \delta {\dot{x}}_{i}\: d\mathcal{t}}={\left[\frac{\partial f}{\partial {\dot{x}}_{i}}\: \delta x_{i}\right]}_{t_{1}}^{t_{2}}-\int_{t_{1}}^{t_{2}} {\frac{d}{d\mathcal{t}}\frac{\partial f}{\partial {\dot{x}}_{i}}\: \delta x_{i}\: d\mathcal{t}}$ ;
$\displaystyle {\left[\frac{\partial f}{\partial {\dot{x}}_{i}}\: \delta x_{i}\right]}_{t_{1}}^{t_{2}}=0$ ;
$\displaystyle \delta (∆\mathcal{S})=\int_{t_{1}}^{t_{2}} {\:\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}}-\frac{d}{d\mathcal{t}}\frac{\partial f}{\partial {\dot{x}}_{i}}\right)\: \delta x_{i}\: d\mathcal{t}}$

$\displaystyle =-\int_{t_{1}}^{t_{2}} {\:\left(\frac{m\: v}{\sqrt{2\, m .(E-E_{p})} }\,\frac{\partial E_{p}}{\partial x_{i}}+\frac{d}{d\mathcal{t}}\left(\sqrt{2\, m .(E-E_{p})} \;\frac{{\dot{x}}_{i}}{v}\right)\right)\:\delta x_{i}\: d\mathcal{t}}$ .

Dans le cas de la trajectoire réelle :

$m\: v=p=\sqrt{2\, m .(E-E_{p})}$ ;
$\displaystyle \delta (∆\mathcal{S})=-\int_{t_{1}}^{t_{2}} {\,\left(\frac{\partial E_{p}}{\partial x_{i}}+m\: {\ddot{x}}_{i}\right)\:\delta x_{i}\: d\mathcal{t}}$ .

La seconde loi de Newton

\displaystyle m\: {\ddot{x}}_{i}=-\frac{\partial E_{p}}{\partial x_{i}}

correspond donc bien au principe moindre action de Maupertuis :

δ(∆S)=0

Formulation ondulatoire de Schrödinger

• Louis De Broglie avait compris la nécessité d'une description ondulatoire mais sans savoir quelle pouvait être l'équation régissant de telles ondes .

Schrödinger a cherché avec une fonction d'onde de la forme :

\Psi (x_{i}\, ,t)=\psi (x_{i})\: \chi (t)

.

L'analogie avec l'optique géométrique l'a incité en outre à chercher en supposant

\displaystyle \psi (x_{i})=\exp{\left(\frac{{\mathcal{S}}_{0}}{\kappa }\right)}

avec une constante

κ

homogène à une action (pour avoir une grandeur sans dimension).

Ceci donne :

\displaystyle p_{i}=\frac{\partial {\mathcal{S}}_{0}}{\partial x_{i}}=\frac{\kappa }{\psi } \frac{\partial \psi }{\partial x_{i}}

puis

\displaystyle \frac{{\kappa }^{2}}{2\, m\: {\psi }^{2}}\, {\left(\frac{\partial \psi }{\partial x_{i}}\right)}^{2}+E_{p}=E

qui peut aussi s'écrire :

\displaystyle {\kappa }^{2}\:{\left(\frac{\partial \psi }{\partial x_{i}}\right)}^{2}+2\, m .\left(E_{p}-E\right)\: {\psi }^{2}=0

.

• Avec l'idée de base du calcul variationnel, Schrödinger propose alors de chercher une fonction

ψ

donnant :

$\displaystyle \delta \left(\iiint \:\left[{\kappa }^{2}\:{\left(\frac{\partial \psi }{\partial x_{i}}\right)}^{2}+2\, m .\left(E_{p}-E\right)\: {\psi }^{2}\right]\: d^{3}x\right)=0$ .

Ceci peut aussi s'écrire :

$\displaystyle \iiint {{\kappa }^{2}\frac{\partial }{\partial x_{i}}\left(\frac{\partial \psi }{\partial x_{i}}\, \delta \psi \right)}\: d^{3}x+\cdots$

$+\iiint {\left(-{\kappa }^{2}\: ∆\psi +2\, m .\left(E_{p}-E\right)\: \psi \right)\: \delta \psi }\; d^{3}x=0$ .

Or on peut considérer que

ψ

s'annule à l'infini, dans la mesure où l'onde est associée à la présence de particules (de façon analogue aux photons pour l'onde lumineuse) et où son intégrale doit être finie. Ainsi

δψ

y est nulle donc :

$\displaystyle \iiint {\frac{\partial }{\partial x_{i}}\left(\frac{\partial \psi }{\partial x_{i}}\, \delta \psi \right)}\: d^{3}x=\lim_{R\rightarrow \infty }{\;\oiint_{r=R}^{\, } {\, \frac{\partial \psi }{\partial x_{i}}\, \delta \psi \; dS_{i}}}=0$ .

Il reste donc la condition :

-{\kappa }^{2}\: ∆\psi +2\, m .\left(E_{p}-E\right)\: \psi =0

, qui peut s'écrire :

\displaystyle -\frac{{\kappa }^{2}}{2\, m}\, ∆\psi +E_{p}\: \psi =E\: \psi

.

En appliquant cette équation (plus simple à résoudre) au cas de l'atome d'hydrogène, Schrödinger montre qu'on retrouve les résultats déjà connus si et seulement si on impose

κ=ℏ

Équation de Schrödinger

• Schrödinger cherche ensuite à préciser l'équation obtenue par rapport à la propagation de l'onde. Puisque

\displaystyle p_{i}=\frac{\partial \mathcal{S}}{\partial x_{i}}

est normal aux “surfaces d'onde” équi-action, il s'intéresse à la vitesse de propagation de ces surfaces, analogue à la vitesse de phase

v_{\varphi }

en optique.

D'après

\displaystyle d\mathcal{S}=\frac{\partial \mathcal{S}}{\partial t}\, dt+\frac{\partial \mathcal{S}}{\partial x_{i}}\, dx_{i}=-E\: dt+p\; d{\ell}_{\varphi }

avec un déplacement

d{\ell}_{\varphi }=\overset{→}{n}\cdot d\overset{⟶}{OM}

, les surfaces équi-action sont telle que

d\mathcal{S}=-E\: dt+p\; d{\ell}_{\varphi }=0

. Ainsi :

\displaystyle v_{\varphi }=\frac{d{\ell}_{\varphi }}{dt}=\frac{E}{p}=\frac{E}{\sqrt{2\, m .(E-E_{p})}}

.

◊ remarque : il faut ne pas confondre avec la vitesse de groupe

\displaystyle v=\frac{p}{m}=\sqrt{\frac{2\, (E-E_{p})}{m}}

; cela est bien conforme à la relation

\displaystyle \lambda =\frac{h}{p}

de De Broglie, donnant une propagation plus lente pour

p

grand.

• L'analogie avec la propagation d'ondes lumineuses le conduit alors à considérer l'équation :

\displaystyle ∆\Psi -\frac{1}{v_{\varphi }^{\: 2}}\, \frac{{\partial }^{2}\Psi }{{\partial t}^{2}}=0

et à en chercher des solutions sinusoïdales ; en notations complexes :

$\displaystyle \Psi \left(x_{i}\, ,t\right)=\exp{\left(\mathrm{i}\frac{\mathcal{S}\left(x_{i}\, ,t\right)}{\mathrm{\hbar }}+Cte\right)}=\exp{\left(-\mathrm{i}\frac{E\: t}{\mathrm{\hbar }}+\mathrm{i}\frac{{\mathcal{S}}_{0}\left(x_{i}\right)}{\mathrm{\hbar }}+Cte\right)}$ ;
$\displaystyle \Psi (x_{i}\, ,t)=\psi (x_{i})\:\, \exp{\left(-\mathrm{i}\frac{E\: t}{\mathrm{\hbar }}\right)}$ ; $\displaystyle \psi (x_{i})=\exp{\left(\mathrm{i}\frac{{\mathcal{S}}_{0}\left(x_{i}\right)}{\mathrm{\hbar }}+Cte\right)}$ .

En reportant dans l'équation de propagation considérée, il obtient effectivement :

\displaystyle -\frac{{\mathrm{\hbar }}^{2}}{2\, m}\: ∆\psi +E_{p}\: \psi =E\: \psi

.

• En outre, on peut aussi écrire :

\displaystyle -\frac{{\mathrm{\hbar }}^{2}}{2\, m}\: ∆\Psi +E_{p}\: \Psi =E\: \Psi

où par ailleurs

\displaystyle \frac{\partial \Psi }{\partial t}=-\mathrm{i}\frac{E}{\mathrm{\hbar }}\: \Psi

; il en déduit l'équation générale :

$\displaystyle -\frac{{\mathrm{\hbar }}^{2}}{2\, m}\: ∆\Psi +E_{p}\: \Psi =\mathrm{i}\: \mathrm{\hbar }\, \frac{\partial \Psi }{\partial t}$ .

◊ remarque : le laplacien correspond aussi à :

\displaystyle p_{i}\: \Psi =-\mathrm{i}\: \mathrm{\hbar }\, \frac{\partial \Psi }{\partial x_{i}}

Limite “géométrique” de la mécanique ondulatoire

• Dans un cas plus général, on peut être conduit à chercher des solutions sous une forme analogue mais avec une amplitude non constante :

\displaystyle \Psi \left(x_{i}\, ,t\right)=a\left(x_{i}\, ,t\right)\:\, \exp{\left(\mathrm{i}\frac{\mathcal{S}\left(x_{i}\, ,t\right)}{\mathrm{\hbar }}\right)}

où

a=\left|\Psi \right|

.

En reportant dans l'équation de Schrödinger, on obtient :

$\displaystyle ∆\Psi =\left[∆a-\frac{a}{{\mathrm{\hbar }}^{2}}\, {\left(\frac{\partial \mathcal{S}}{\partial x_{i}}\right)}^{2}+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{\hbar }}\left(a\: ∆\mathcal{S}+2\frac{\partial \mathcal{S}}{\partial x_{i}}\frac{\partial a}{\partial x_{i}}\right)\right]\; \exp{\left(\mathrm{i}\frac{\mathcal{S}}{\mathrm{\hbar }}\right)}$ ;
$\displaystyle \frac{\partial \Psi }{\partial t}=\left(\frac{\partial a}{\partial t}+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{\hbar }}a\frac{\partial \mathcal{S}}{\partial t}\right)\; \exp{\left(\mathrm{i}\frac{\mathcal{S}}{\mathrm{\hbar }}\right)}$ .

Les parties réelle et imaginaire donnent en simplifiant :

$\displaystyle \frac{\partial \mathcal{S}}{\partial t}+\frac{1}{2\, m}{\left(\frac{\partial \mathcal{S}}{\partial x_{i}}\right)}^{2}+E_{p}-\frac{{\mathrm{\hbar }}^{2}}{2\, m}\frac{∆a}{a}=0$ ;
$\displaystyle \frac{\partial a}{\partial t}+\frac{1}{m}\frac{\partial \mathcal{S}}{\partial x_{i}}\frac{\partial a}{\partial x_{i}}+\frac{a}{2\, m}∆\mathcal{S}=0$ .

• Dans la première équation :

$\displaystyle {\left(\frac{\partial \mathcal{S}}{\partial x_{i}}\right)}^{2}=p^{2}=\frac{h^{2}}{{\lambda }^{2}}$ ;
$\displaystyle {\mathrm{\hbar }}^{2}\frac{∆a}{a}\approx \frac{{\mathrm{\hbar }}^{2}}{L^{2}}$ en notant $L$ la dimension typique du système.

L'approximation de la mécanique géométrique correspond à la limite où

λ≪L

, pour laquelle le terme d'impulsion est nettement prépondérant. L'équation devient alors :

\displaystyle \frac{\partial \mathcal{S}}{\partial t}+\frac{1}{2\, m}{\left(\frac{\partial \mathcal{S}}{\partial x_{i}}\right)}^{2}+E_{p}\approx 0

(équivalent à

\displaystyle \frac{p^{2}}{2\, m}+E_{p}\approx E

).

• La seconde équation peut s'écrire :

$\displaystyle \frac{\partial \left(a^{2}\right)}{\partial t}+\frac{1}{m}\frac{\partial }{\partial x_{i}}\left(a^{2}\frac{\partial \mathcal{S}}{\partial x_{i}}\right)=0$ ;
$\displaystyle \frac{\partial \left({\left|\Psi \right|}^{2}\right)}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x_{i}}\left({\left|\Psi \right|}^{2}\: v_{i}\right)=0$ .

Cela traduit la propagation à la vitesse

\overset{→}{v}

de la densité de présence

{\left|\Psi \right|}^{2}

de la particule décrite.

• Au total, on voit que toute la mécanique newtonienne du point matériel n'est qu'une approximation “géométrique” de la mécanique ondulatoire, analogue à l'optique géométrique pour les phénomènes lumineux (ces approximations sont toutefois très utiles dans de très nombreuses circonstances).