CHAMP CENTRAL INTÉRIEUR “SANS PRESSION” - corrigé des exercices

I. Astre solide “simple”

II. Astre solide “simple”

III. Couche sphérique

• Pour une métrique de forme “classique” :  ${ds}^2=A(r) \:c^2 \,{dt}^2-C(r) \:{dr}^2-D(r) \:{dΩ}^2$ ,  on peut noter :   $\displaystyle 𝒶(r)=\frac{2 \,𝒢}{c^2} \: M(r)$   et   $M(r)=∫_0^r \;μ(r') \: 4π \:{r'}^2 \: dr'$ . • Pour une couche sphérique, on obtient alors à l'intérieur :  $M(r)=0$  et  $𝒶(r)=0$  ; $\displaystyle A(r)=A(0) .\exp\left(∫_0^r \frac{𝒶(r')}{r'.(r'-𝒶(r'))} \: dr'\right)=A(0)=Cste$  ;  $\displaystyle C(r)=\frac{r}{r-𝒶(r)}=1$ . • On peut noter que $C(r)$ semble, comme $𝒶(r)$, discontinu à la traversée de la couche ; ceci est simplement dû à la modélisation par une répartition surfacique. Par exemple, pour une masse volumique uniforme répartie sur une couche de faible épaisseur $δ$ ,  on obtient  $M(r)=\frac{4}{3} π .\left(r^3-{R\text{_}}^3\right) \:μ$  donc  $M(r)≈4π \:R^2.\left(r-{R\text{_}}\,\right) \:μ$  donnant au total  $M=M(R_{+})≈4π \:R^2 \: δ.μ$  ;  ainsi la transition est continue.  Quoi qu'il en soit, l'espace intérieur est géométriquement plat. ◊ remarque : on peut visualiser les comportements locaux et globaux de simulations numériques ; dans la couche $𝒶(r)$ varie quasi-linéairement et $C(r)$ est continu mais semble globalement discontinu. • Par ailleurs $A(r)$ obtenu par intégration de $𝒶(r)$ est continu à la traversée de la couche, mais avec dérivée discontinue ; il se comporte de façon analogue à un potentiel de gravitation, avec une discontinuité du champ. • Puisque  $A(r)=A(R)=Cste$  à l'intérieur, le champ intérieur est nul, comme pour le théorème de Gauss. Par contre ici en comparant avec l'extérieur :  $\displaystyle A(0)=A(R\text{_})≈A(R_+)=\frac{1}{C(R_+)}=1-\frac{r_s}{R_+} ≠1$ ,  c'est-à-dire que l'écoulement du temps n'est pas identique à celui d'un espace-temps plat. ◊ remarque : on peut visualiser les comportements locaux et globaux de simulations numériques ; dans la couche $A(r)$ est continu à dérivée continue mais semble globalement à dérivée discontinue. • Il apparaît donc une différence qualitative avec le cas non relativiste décrit avec le théorème de Gauss ; ceci semble rappeler le principe de Mach : l'espace-temps intérieur n'est pas indépendant de ce qu'il y a autour.

IV. Astre solide “simple” en coordonnées “classiques”

2.a.	• Il semble logique que la métrique soit déduite de l'intégration de $μ$ sur l'ensemble de la répartition de masse. Cela correspond à  $𝒶(r(0))=0$  donc  $M(r(0))=0$  et  $r_0=r(0)$  (mais cette valeur reste à préciser). • Pour les masses volumiques modérées, il semble logique que la dérivée de $M(r)$ s'annule au centre, comme c'est le cas dans un espace plat :  $𝒶'(r_0) \:χ \:c^2 \:μ(r_0) \:r_0^{\:2}=0$  et donc  $r_0=0$  ;  ceci est lié au fait que la surface d'une sphère tend vers zéro en même temps que le rayon. Ce raisonnement ne s'applique pas pour les cas où la masse volumique diverge au centre, mais il n'est pas facile d'imaginer une sorte de “transition de phase” qui ferait qu'à partir de certaines conditions (lesquelles ?) on obtiendrait  $r_0≠0$ . ◊ remarque : par contre, dans le modèle de L. S. Abrams, la limite d'une masse ponctuelle correspond à un périmètre  $2π \:r_s$  donc à une surface non nulle. • On peut préciser pour une masse volumique uniforme (ce qui peut être une bonne approximation qualitative) :  $\displaystyle C(r)=\frac{r}{r-𝒶(r)}$  avec  $𝒶(r)=λ \:r^3$   et   $\displaystyle λ=\frac{χ \:μ \:c^2}{3}$ .  Ainsi  $\displaystyle C=\frac{1}{1-λ \:r^2}$  donc  $\displaystyle r<\frac{1}{\sqrt{λ}}$ . • On peut aussi préciser  $\displaystyle A=α_0 .\exp\left(∫_0^r \frac{𝒶(r')}{r'.(r'-𝒶(r'))} \: dr'\right)$  pour une masse volumique uniforme :  $\displaystyle A=α_0 .\exp\left(∫_0^r \frac{λ \:r'}{1-λ \:{r'}^2} \: dr'\right)=\frac{α_0}{\sqrt{1-λ \:r^2}}=α_0 .\sqrt{C}$  ;  la contrainte imposée est donc la même :  $\displaystyle r<\frac{1}{\sqrt{λ}}$ . • Le raccordement en surface impose :  $\displaystyle A(R)=\frac{1}{C(R)}=α_0 .\sqrt{C(R)}$   donc  $A(0)=α_0=[A(R)]^{3/2}$ . • Il est alors intéressant de remarquer que  $A(0)<A(R)<1$ ,  c'est à dire que, si la nullité du champ au centre correspond bien à une métrique spatiale plate identique à celle à l'infini, on y obtient au contraire une composante temporelle (temps propre pour un point immobile) “ralentie”, donc dépendant de la répartition de masse environnante. • Ceci correspond à un comportement fondamentalement différent de celui qu'on attendrait en physique de type “newtonien” (d'après le théorème de Gauss, la masse environnante n'aurait aucun effet sur les objets au centre) ; on obtient ainsi une description plus proche de celle considérée par Mach.
2.b.	• Puisque la distance radiale peut s'écrire  $dρ=\sqrt{C(r)} \; dr$ ,  il faut supposer  $𝒶(r)<r$  pour tout $r$ . ◊ remarque : le modèle “classique” considère que cette condition n'est nécessaire que pour un astre statique, en précisant qu'au delà (intérieur d'un “trou noir”) la matière s'effondre alors en une singularité ponctuelle, en  $r=0$  ;  dans ces conditions la coordonnée $r$ n'y est plus du genre espace. • Par ailleurs  $dρ=\sqrt{C(r)} \; dr$  correspond ici à :  $\displaystyle ρ=\frac{1}{\sqrt{λ}} \: \arcsin\left(r \:\sqrt{λ}\,\right)$  ;  $\displaystyle r=\frac{1}{\sqrt{λ}} \: \sin⁡\left(ρ \:\sqrt{λ}\,\right)$ .  La condition limite  $\displaystyle r<\frac{1}{\sqrt{λ}}$  correspond donc à  $\displaystyle ρ<\frac{π}{2 \:\sqrt{λ}}$ . • On peut vérifier que les dimensions des astres “connus” vérifient la condition précédente : ◊ Terre :  $\displaystyle λ=\frac{χ \:μ \:c^2}{3}≈3.{10}^{-23} \: \mathrm{m^{-2}}$  ;  $\displaystyle \frac{π}{2 \:\sqrt{λ}}=\text{2,7}.{10}^8 \: \mathrm{km}≫R≈6400 \:\mathrm{km}$  ; ◊ Soleil :  $λ≈1.{10}^{-23} \: \mathrm{m^{-2}}$  ;  $\displaystyle \frac{π}{2 \:\sqrt{λ}}=\text{5,1}.{10}^8 \: \mathrm{km}≫R≈6.{10}^5 \:\mathrm{km}$  ; ◊ naine blanche :  $λ≈1.{10}^{-17} \: \mathrm{m^{-2}}$  ;  $\displaystyle \frac{π}{2 \:\sqrt{λ}}=5.{10}^5 \: \mathrm{km}≫R≈{10}^4 \:\mathrm{km}$  ; ◊ étoile à neutrons :  $λ≈\text{3,5}.{10}^{-9} \: \mathrm{m^{-2}}$  ;  $\displaystyle \frac{π}{2 \:\sqrt{λ}}=27 \: \mathrm{km}>R≈5 \:\mathrm{km}$ . • Il est toutefois intéressant de remarquer qu'aucune contrainte physique ne semble imposer une taille maximum (pour une masse volumique donnée). Rien n'interdit en principe qu'il puisse exister des astres de très grande taille et masse, pour lesquels  la limite serait dépassée ; l'interprétation reste donc à préciser. • Il est alors utile de considérer la variation de $r$ en fonction de $ρ$ . Pour $λ$ fixé (les représentations graphiques sont réalisées en prenant $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{λ}}$ comme unité de longueur), les rayons  $\displaystyle R<\frac{1}{\sqrt{λ}}$  donnent un raccordement simple ; la singularité n'est jamais atteinte :  $𝒶(r)<r$  en tout point. • Le rayon  $\displaystyle R=\frac{1}{\sqrt{λ}}$  donne un raccordement limite, où la singularité est atteinte en surface :  $𝒶(r)≤r$   et   $r_s=r(R)$ . • De même que la coordonnée $r$ “classique” est mal adaptée pour décrire les éventuels points extérieurs avec  $r<r_s$ ,  elle l'est aussi à l'intérieur car les éventuels points avec  $\displaystyle ρ>\frac{π}{2 \:\sqrt{λ}}$  correspondraient à des valeurs  $\displaystyle r=\frac{1}{\sqrt{λ}} \: \sin\left(ρ \:\sqrt{λ}\,\right)<\frac{1}{\sqrt{λ}}$  semblant les situer à tort plus près de l'origine. La décroissance de $r(ρ)$ dans la zone intermédiaire justifie d'une certaine manière le comportement mathématique ; si $r(ρ)$ intérieur décroit près de la surface, le raccordement impose logiquement que $r(ρ)$ extérieur y soit décroissant, avec un minimum pour   $r=r_s$,  conformément au modèle “isotrope”. ◊ remarque : pour  $\displaystyle ρ=\frac{π}{\sqrt{λ}}$  l'astre remplit cet espace (alors “refermé”) et il n'y a pas d'extérieur. • Les “rayons intérieurs”  $\displaystyle ρ>\frac{π}{2 \:\sqrt{λ}}$  correspondent à  $\displaystyle R>\frac{1}{\sqrt{λ}}$  ; ils donnent “en principe” un raccordement supra-limite, où la singularité  $r=𝒶(r)$  est atteinte à l'intérieur, mais jamais dépassée :  $𝒶(r)≤r$   et   $r_s<R$ ,  car $𝒶(r)$ diminue près de la surface ; en outre la singularité  $r=r_s$  est atteinte aussi à l'extérieur, car $r$ diminue aussi ensuite, mais  $r_s≤r$ .  Ce cas nécessite toutefois une étude plus détaillée. • On constate alors entre les deux rayons où  $r=𝒶(r)$  et  $r=r_s$  une décroissance de $A(r(ρ))$ , ce qui correspond à un champ gravitationnel répulsif. Non seulement la matière éventuellement captée par chute sur l'astre ralentit sa chute à l'approche de la surface, mais elle ne peut ensuite pas y rester : l'astre ne peut être stable car la couche de surface dans cette zone est rejetée vers l'extérieur. • Ceci peut être précisé par une étude de $A$ (se comportant qualitativement de façon analogue à un potentiel), ou mieux encore par une représentation de la quantité  $\displaystyle \frac{A'(r)}{2 \,A \:\sqrt{C}}=\frac{A'(ρ)}{2 \,A}$  correspondant à l'équivalent relativiste de la composante radiale du champ de gravitation. ◊ remarque : cette quantité est invariante “seulement” par changement de coordonnée radiale statique (le “champ gravitationnel” apparent est différent dans un référentiel accéléré). • Dans le cas simple  $\displaystyle R<\frac{1}{\sqrt{λ}}$ ,  on constate que le champ a un comportement “habituel” qualitativement comparable à celui d'un champ newtonien (la principale différence qualitative avec la limite newtonienne est que celle-ci donne une dépendance linéaire à l'intérieur pour $μ$ uniforme). • Pour le cas dépassant la limite, la matière juste en dessous de  $\displaystyle ρ=\frac{π}{2 \:\sqrt{λ}}$  est retenue par un champ gravitationnel infiniment attractif, mais (dans l'interprétation “isotrope” qui semble ici inévitable) celle juste au dessus est rejetée par un champ répulsif infini. Cette propriété pourrait justifier qu'on n'observe aucun astre dépassant la limite précédente. ◊ remarque : on constate en outre que le champ répulsif qui éjecte la couche de surface est décroissant ; ceci peut éventuellement causer une compression de la couche éjectée. ◊ remarque : s'il est vrai que la quantité  $\displaystyle \frac{A'(r)}{2 \,A \:\sqrt{C}}=\frac{A'(ρ)}{2 \,A}$  (correspondant à l'équivalent relativiste du champ de gravitation) est invariante “seulement” par changement de coordonnée radiale statique, une conséquence fondamentale de sa divergence au niveau de la singularité est que les particules ne peuvent y passer qu'à la vitesse de la lumière (avec une énergie infinie) ; or cette propriété est invariante par tout changement de référentiel subluminique. • Une anomalie mathématique intervient toutefois dans le cas limite  $\displaystyle R=\frac{1}{\sqrt{λ}}$ .  On constate que le champ gravitationnel devrait nul à l'intérieur (potentiel nul, donc uniforme, en vert), ce qui est de même incompatible avec la stabilité de l'astre. • Toutefois, étrangement, la limite du champ  $\displaystyle \frac{A'(ρ)}{2 \:A}$  intérieur semble ne pas être nulle dans ce cas ; elle est a priori indéterminée avec  $A'=0$  et  $A=0$  (cela dépend du passage à la limite). Le raccordement de $A(r)$ impose une constante de normalisation tendant vers zéro à l'intérieur, mais celle-ci se simplifie dans la limite du champ (on obtient ainsi un champ infini en surface). • En fait, l'équivalent relativiste du potentiel de gravitation est  $\ln⁡\left(\sqrt{A}\,\right)$  ;  cette quantité tend vers l'infini quand  $A→0$ ,  rendant impossible le raccordement par continuité. En outre, ce potentiel étant défini à une constante additive près, tout se passe pour lui comme si $A$ était défini à une constante multiplicative près. On peut donc qualitativement omettre la constante de normalisation nulle de $A$ pour tracer le comportement qualitatif associé (sorte d'exponentielle très rapide, en pointillé rouge sur le graphique, pour  $A(0)=\text{0,001}$ ). ◊ remarque : cette étrangeté mathématique peut par contre faire douter d'une possible application physique des cas où la limite est dépassée (mais seule une étude dynamique pourrait conclure).

V. Intégrale sur la surface d'une sphère

VI. Géométrie spatiale

1.

• En notant   $ε=μ \:c^2$   et   $\displaystyle λ=\frac{χ \:ε}{3}$   on peut utiliser $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{λ}}$ comme unité de longueur pour simplifier les notations. On utilise le “rayon périphérique” $r$ comme paramètre ; on note  $r=R$  le rayon de l'astre. • On obtient à l'intérieur (en notations réduites) :  $\displaystyle A(r)=\frac{[A(R)]^{3/2}}{\sqrt{1-r^2}}$  ;  $\displaystyle C(r)=\frac{1}{1-r^2}$  ;  $ρ(r)=\arcsin(r)$ . • En adoptant la modélisation “isotrope” pour permettre le raccordement, on obtient à l'extérieur :  $\displaystyle A(r)=1-\frac{r_s}{r}$  ;  $\displaystyle C(r)=\frac{1}{A(r)}$  ;  $\displaystyle ρ(r)=r_s \: \mathrm{artanh}\left(\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}\right)+r .\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}+ρ_R$  avec  $r_s=R^3$  et où $ρ_R$ est une constante pour raccorder $ρ(R)$  ;  en outre  $A(R)=1-R^2$  pour raccorder $A(r)$ . • Dans un cas sans inversion,  $ρ(R)<\frac{π}{2}$ ,  on peut choisir par exemple  $R=\text{0,85}$  ;  on obtient la première des représentations ci-dessous (l'intérieur est en marron). • Dans le cas avec inversion, on peut choisir aussi  $R=\text{0,85}$  (puisque $r$ diminue) ; le raccordement de $ρ(r)$ est moins simple mais analogue. On obtient la seconde des représentation ci-dessus ; on remarque le champ répulsif intérieur (en rouge) et extérieur (en bleu). ◊ remarque : cette modélisation en terme de “potentiel” n'est valable que pour un raisonnement statique ; une particule en mouvement a une énergie différente dont subit en général un effet gravitationnel différent. ◊ remarque : cette modélisation n'est toutefois pas complète car on peut montrer que la pression n'est en fait pas négligeable.

2.

• Avec les mêmes notations (réduites), on obtient à l'intérieur :  ${dρ}^2={dr}^2+{dz}^2$  ;  $\displaystyle C(r)=\frac{1}{1-r^2}$  ;  ${dρ}^2=C \:{dr}^2$  ;  $\displaystyle {dz}^2=\frac{r^2 \:{dr}^2}{1-r^2}$  ;  $z=1±\sqrt{1-r^2}$  (portion de sphère de centre $1$ et de rayon $1$ , compte tenu de  $z(0)=0$ ). • On obtient à l'extérieur :  $\displaystyle A(r)=1-\frac{r_s}{r}$  ;  $\displaystyle C(r)=\frac{1}{A(r)}$  ;  $\displaystyle {dz}^2=\frac{r_s \:{dr}^2}{r-r_s}$  ;  $\displaystyle z=z_0±2 \,r_s \: \sqrt{\frac{r}{r_s}-1}$  où $z_0$ est une constante pour raccorder $z(R)$ . Cela correspond à une portion de “paraboloïde” de révolution (selon un axe parallèle à sa directrice et non son axe de symétrie). • Dans un cas sans inversion,  $ρ(R)<\frac{π}{2}$ ,  on peut choisir par exemple  $R=\text{0,85}$  ;  on obtient la représentation suivante (l'intérieur est en marron). • Dans le cas avec inversion, on peut choisir aussi  $R=\text{0,85}$  (puisque $r$ diminue) ; le raccordement de $ρ(r)$ est moins simple mais analogue. On obtient la représentation suivante ; on remarque la zone d'inversion géométrique intérieure (en rouge) et extérieure (en bleu). ◊ remarque : on considère usuellement que l'espace est “asymptotiquement plat” et cela correspond bien à la description de la question (1) ; par contre, du point de vue géométrique, il a seulement une “direction asymptotique” plane.

VII. Masse “interne” et masse “externe”   

2.a.	• Avec masse volumique $μ$ uniforme :  $M(r)=μ \: \frac{4π}{3} \: r^3$ . • Par ailleurs :  $\displaystyle C(r)=\frac{1}{1-λ \:r^2}$   avec   $\displaystyle λ=\frac{χ \:μ \:c^2}{3}$  ;  $∑ \,m(r)=$$\displaystyle 4π \:μ \:∫_0^r \frac{{r'}^2}{\sqrt{1-λ \:{r'}^2}} \: dr'$  tant que  $\displaystyle ρ≤\frac{π}{2 \,\sqrt{λ}}$ .  On obtient ainsi :  $∑ \,m(r)=$$\displaystyle \frac{2π}{λ} \, μ .\left[\frac{1}{\sqrt{λ}} \: \arcsin\left(r \:\sqrt{λ}\,\right)-r.\sqrt{1-λ \:r^2}\right]$ . • Au delà de la limite :  $\displaystyle r≤r_{max}=\frac{1}{\sqrt{λ}}$  mais  $dρ=-\sqrt{C} \: dr$  ;  il faut alors séparer l'intégration en deux parties pour ajouter constructivement la partie au delà :  $∑ \,m(r)=$$\displaystyle 4π \:μ .\left[\frac{π}{2 \,λ \:\sqrt{λ}}-∫_0^r \frac{{r'}^2}{\sqrt{1-λ \:{r'}^2}} \: dr'\right]$ .
2.b.	• Les variations sont décrites par les courbes suivantes, en fonction de $r$ et en fonction de $ρ$ (en prenant $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{λ}}$ comme unité). • On constate que, lorsque la limite est atteinte, la masse intérieure continue à croître, ainsi que la valeur absolue de l'énergie gravitationnelle, mais que le rayon “extérieur” et la masse “extérieure” rediminuent. Cet effet pourrait être lié à l'instabilité d'astres qui seraient mis temporairement dans une telle situation, qui de ce fait exploseraient en supernovas.

VIII. Masse et rayon d'un astre à la limite de stabilité (“trou sombre”)

IX. Astre solide simple en coordonnées “isotropes”