CHAMP CENTRAL SYMÉTRIQUE INTÉRIEUR “AVEC PRESSION” - exercices


I. Astre solide “simple”

1.     • On étudie un astre décrit par le tenseur énergie-impulsion :  Tαβ=(𝓅+ε0)uαuβ−𝓅gαβT^{αβ}=(𝓅+ε_0 ) \: u^α \: u^β-𝓅 \:g^{αβ} ,  où  𝓅𝓅  et  ε0=μ0c2ε_0=μ_0 \: c^2  désignent la pression et l'énergie volumique du solide, ici immobile.
        • Écrire les équations du champ pour une métrique :  ds2=A(r)c2dt2−C(r)dr2−D(r)dΩ2{ds}^2=A(r) \:c^2 \,{dt}^2-C(r) \:{dr}^2-D(r) \:{dΩ}^2 .

2.     • Montrer qu'on peut en déduire, entre autres :

 D′2CD(A′A+D′2D)−1D=χp\displaystyle \frac{D'}{2 \,C \:D} \, \left(\frac{A'}{A}+\frac{D'}{2 \,D}\right)-\frac{1}{D}=χ \:p  ;   −D″CD+D′2CD(C′C+D′2D)+1D=χε\displaystyle -\frac{D''}{C \:D}+\frac{D'}{2 \,C \:D} \: \left(\frac{C'}{C}+\frac{D'}{2 \,D}\right)+\frac{1}{D}=χ \:ε .


II. Statique des fluides

1.     • Établir la loi newtonienne de la statique des fluides incompressibles, soumis uniquement à la gravitation, dans un champ vertical uniforme. En déduire la pression en fonction de l'altitude zz .

2.     a) À partir de la loi de conservation du tenseur d'énergie-impulsion, établir et interpréter la loi de la statique des fluides soumis uniquement à la gravitation.
        b) Préciser dans le cas d'une métrique de la forme :  ds2=A(r)c2dt2−C(r)dr2−D(r)dΩ2{ds}^2=A(r) \:c^2 \,{dt}^2-C(r) \:{dr}^2-D(r) \:{dΩ}^2 .


III. Astre solide “simple” en coordonnées “classiques”

        • On étudie un astre décrit par le tenseur énergie-impulsion :  Tαβ=(𝓅+ε0)uαuβ−𝓅gαβT^{αβ}=(𝓅+ε_0 ) \: u^α \: u^β-𝓅 \:g^{αβ} ,  où  𝓅𝓅  et  ε0=μ0c2ε_0=μ_0 \: c^2  désignent  la pression et l'énergie volumique du solide, ici immobile.
        • Pour une métrique de la forme :  ds2=A(r)c2dt2−C(r)dr2−r2dΩ2{ds}^2=A(r) \:c^2 \,{dt}^2-C(r) \:{dr}^2-r^2 \:{dΩ}^2 ,  les équations du champ s'écrivent sous la forme :  1Cr(A′A+1r)−1r2=χp\displaystyle \frac{1}{C \:r} \: \left(\frac{A'}{A}+\frac{1}{r}\right)-\frac{1}{r^2} =χ \:p   ;   1C−rC′C2=1−χεr2\displaystyle \frac{1}{C}-\frac{r \:C'}{C^2} =1-χ \:ε \:r^2 .

1.     • Pour un astre de masse volumique uniforme, montrer que la loi de la statique peut s'intégrer sous la forme :  A.(ε+𝓅)2=(1−λR2)ε2\displaystyle A .(ε+𝓅)^2=(1-λ \:R^2 \, ) \:ε^2  où  λ=χε3\displaystyle λ=\frac{χ \:ε}{3} .

2.     • En déduire l'expression de A(r)A(r) .
        ◊ remarque : on peut utiliser les notations  α=Aα=\sqrt{A}  ;  x=1−λr2x=\sqrt{1-λ \:r^2}   et   β=1−λR2β=\sqrt{1-λ \:R^2} .

3.     • En déduire l'expression de 𝓅(r)𝓅(r) .


IV. Limite de stabilité d'un astre “simple”

1.     • On étudie un astre décrit par le tenseur énergie-impulsion :  Tαβ=(𝓅+ε0)uαuβ−𝓅gαβT^{αβ}=(𝓅+ε_0 ) \: u^α \: u^β-𝓅 \:g^{αβ} ,  où  𝓅𝓅  et  ε0=μ0c2ε_0=μ_0 \: c^2  désignent  la pression et l'énergie volumique du solide, ici immobile.
        • Pour une métrique de la forme :  ds2=A(r)c2dt2−C(r)dr2−r2dΩ2{ds}^2=A(r) \:c^2 \,{dt}^2-C(r) \:{dr}^2-r^2 \:{dΩ}^2 ,  les équations du champ s'écrivent sous la forme :

 R0,0=A″2AC−A′2AC(A′2A+C′2C−2r)=χε+3𝓅2\displaystyle R_0^{\phantom{,}0}=\frac{A''}{2 \,A \:C}-\frac{A'}{2 \,A \:C} \, \left(\frac{A'}{2 \,A}+\frac{C'}{2 \,C}-\frac{2}{r}\right)=χ \: \frac{ε+3 \:𝓅}{2}  ;
R1,1=A″2AC−A′2AC(A′2A+C′2C)−C′C2r=−χε−𝓅2\displaystyle R_1^{\phantom{,}1}=\frac{A''}{2 \,A \:C}-\frac{A'}{2 \,A \:C} \, \left(\frac{A'}{2 \,A}+\frac{C'}{2 \,C}\right)-\frac{C'}{C^2 \: r}=-χ \: \frac{ε-𝓅}{2}  ;
R2,2=R3,3=1Cr2+1Cr(A′2A−C′2C)−1r2=−χε−𝓅2\displaystyle R_2^{\phantom{,}2}=R_3^{\phantom{,}3}=\frac{1}{C \:r^2}+\frac{1}{C \:r} \, \left(\frac{A'}{2 \,A}-\frac{C'}{2 \,C}\right)-\frac{1}{r^2} =-χ \: \frac{ε-𝓅}{2} .
        • Montrer qu'on peut en déduire, entre autres :

 A″−A′2(A′A+C′C+2r)=ArC(3C′−2rC2χε)\displaystyle A''-\frac{A'}{2} \, \left(\frac{A'}{A}+\frac{C'}{C}+\frac{2}{r}\right)=\frac{A}{r \,C} \, (3 \,C'-2 \,r \:C^2 \: χ \:ε) .

2.     • En posant :  M(r)=∫0rμ(r′)4πr′2dr′M(r)=∫_0^r \;μ(r') \: 4π \:{r'}^2 \: dr'  et  𝒶(r)=χc24πM(r)=2𝒢c2M(r)\displaystyle 𝒶(r)=\frac{χ \:c^2}{4π} \, M(r)=\frac{2 \,𝒢}{c^2} \, M(r) ,  la résolution des autres équations donne par ailleurs :  C(r)=rr−𝒶(r)\displaystyle C(r)=\frac{r}{r-𝒶(r)} .
        • Montrer qu'en notant  A=α2A=α^2  on obtient :  (α′rC)′=αC2(𝒶r3)′\displaystyle \left(\frac{α'}{r \:\sqrt{C}}\right)'=\frac{α \:\sqrt{C}}{2} \: \left(\frac{𝒶}{r^3} \right)' .

3.     • On considère le cas plus général simplement supposé sans singularité de CC  (𝒶(r)<r𝒶(r)<r )  et tel que  μ(r)μ(r)  soit une fonction décroissante (condition en pratique indispensable pour un fluide stable).
        a) Montrer que les limites sur les solutions imposent  (α′rC)′≤0\displaystyle \left(\frac{α'}{r \:\sqrt{C}}\right)'≤0 .
        b) En déduire que  α′≥rs2R3r1−𝒶(r)r\displaystyle α'≥\frac{r_s}{2 \,R^3} \frac{r}{\sqrt{1-\frac{𝒶(r)}{r}}} .
        c) En déduire une limite supérieure pour α(0)α(0) , puis une limite supérieure de RR compatible avec la stabilité.


V. Limite d'un astre “ultra-relativiste”

1.     • On étudie un astre décrit par le tenseur énergie-impulsion :  Tαβ=(𝓅+ε0)uαuβ−𝓅gαβT^{αβ}=(𝓅+ε_0 ) \: u^α \: u^β-𝓅 \:g^{αβ} ,  où  𝓅𝓅  et  ε0=μ0c2ε_0=μ_0 \: c^2  désignent  la pression et l'énergie volumique du solide, ici immobile.
        • On raisonne avec une métrique de la forme :  ds2=A(r)c2dt2−C(r)dr2−r2dΩ2{ds}^2=A(r) \:c^2 \,{dt}^2-C(r) \:{dr}^2-r^2 \:{dΩ}^2 .
        • Dans ces conditions, les équations du champ et la loi d'équilibre statique permettent d'obtenir la relation :  𝓅′=−ε+𝓅2𝒶(r)+χr3𝓅r.(r−𝒶(r))\displaystyle 𝓅'=-\frac{ε+𝓅}{2} \: \frac{𝒶(r)+χ \:r^3 \: 𝓅}{r.(r-𝒶(r))}  avec  𝒶(r)=χ∫0rε(r′)r′2dr′𝒶(r)=χ \;∫_0^r \; ε(r') \: {r'}^2 \: dr' .
        • En déduire l'équation différentielle vérifiée par 𝒶(r)𝒶(r) dans le cas ultra-relativiste  𝓅=ε3\displaystyle 𝓅=\frac{ε}{3} .

2.     a) Justifier que l'invariance d'échelle impose  𝒶″=0𝒶''=0  et  𝒶′=Cste𝒶'=Cste .
        b) Résoudre l'équation dans ces conditions.


VI. Approche de la limite d'un astre “ultra-relativiste”

1.     • On étudie un astre décrit par le tenseur énergie-impulsion :  Tαβ=(𝓅+ε0)uαuβ−𝓅gαβT^{αβ}=(𝓅+ε_0 ) \: u^α \: u^β-𝓅 \:g^{αβ} ,  où  𝓅𝓅  et  ε0=μ0c2ε_0=μ_0 \: c^2  désignent  la pression et l'énergie volumique du solide, ici immobile.
        • On raisonne avec une métrique de la forme :  ds2=A(r)c2dt2−C(r)dr2−r2dΩ2{ds}^2=A(r) \:c^2 \,{dt}^2-C(r) \:{dr}^2-r^2 \:{dΩ}^2 .
        • Dans ces conditions, les équations du champ et la loi d'équilibre statique permettent d'obtenir la relation :  𝓅′=−ε+𝓅2𝒶(r)+χr3𝓅r.(r−𝒶(r))\displaystyle 𝓅'=-\frac{ε+𝓅}{2} \, \frac{𝒶(r)+χ \:r^3 \: 𝓅}{r.(r-𝒶(r))}  avec  𝒶(r)=χ∫0rε(r′)r′2dr′𝒶(r)=χ \:∫_0^r \; ε(r') \:{r'}^2 \: dr' .
        • Pour décrire les astres dont la pression centrale s'approche de la limite ultra-relativiste  p=ε3\displaystyle p=\frac{ε}{3}  on se propose une modélisation mathématique sous la forme  ε(r)=εR+3𝓅ε(r)=ε_R+3 \,𝓅  (où  εR=ε(R)ε_R=ε(R)  correspond à une énergie volumique qui serait uniforme si l'effet de la pression était négligeable).
        ◊ remarque : cette modélisation ne correspond pas à une interprétation physique, mais simplement une façon mathématiquement simple de décrire le fait que l'augmentation de la pression implique une augmentation de la température, faute de quoi la limite ultra-relativiste serait dépassée.
        • En notant  λ=χεR3\displaystyle λ=\frac{χ \:ε_R}{3} ,  montrer qu'on peut ainsi d'écrire l'équation précédente sous la forme :

 6[𝒶″(r)r−2𝒶′(r)](r−𝒶(r))=(4𝒶′(r)−3λr2)[3λr3−3𝒶(r)−r𝒶′(r)]6 \:\left[𝒶''(r) \:r-2 \,𝒶'(r)\right] \: (r-𝒶(r))=\left(4 \,𝒶'(r)-3 \,λ \:r^2 \, \right) \: \left[3 \,λ \:r^3-3 \,𝒶(r)-r \,𝒶'(r)\right] .

2.     • Dans les cas étudiés ici, avec  𝒶(0)=0𝒶(0)=0 ,  cette équation n'a pas de solution s'exprimant simplement. L'intégration numérique est en outre compliquée par une singularité à l'origine.
        • Intégrer numériquement pour des conditions  {𝒶(r0)≤37r0;𝒶′(r0)≤37}\left\{𝒶(r_0)≤\frac{3}{7} r_0 \:\, ; \: 𝒶'(r_0)≤\frac{3}{7} \right\}  avec r0r_0 voisin de l'origine. Commenter.

3.     • Étudier les variations du rayon RR et de  rs=𝒶(R) r_s=𝒶(R)  en fonction de la pression centrale 𝓅0𝓅_0 .

4.     • On peut reprocher que la modélisation précédente ne respecte pas la limite :  T=ε−3𝓅→0T=ε-3 \,𝓅→0  ;  même si elle correspond à :  T=εR≪lim⁡(ε)T=ε_R≪\lim⁡(ε)  et  lim⁡(𝓅)\lim⁡(𝓅) .
        a) On peut alors proposer la relation :  ε2=εR2+9𝓅2ε^2=ε_R^{\:2}+9 \,𝓅^2  ;  vérifier qu'elle respecte la condition limite de la trace  T=TμμT=T_{\:\:μ}^μ .
        b) Montrer que cette expression a par contre l'inconvénient pour la vitesse du son :  vson=c∂𝓅∂ε→∞\displaystyle v_{son}=c\sqrt{\frac{∂𝓅}{∂ε}}→∞  pour  𝓅→0𝓅→0 .
        c) On peut alors proposer la relation :  ε(r)=3𝓅+εR2εR+𝓅\displaystyle ε(r)=3 \,𝓅+\frac{ε_R^{\:2}}{ε_R+𝓅}  ;  vérifier qu'elle respecte les deux conditions précédentes.
        d) Montrer que le rejet de la relation simple  ε(r)=εR+3𝓅ε(r)=ε_R+3 \,𝓅  (à cause de la limite de la trace TT ) n'était en fait pas vraiment justifié.
        e) Établir l'équation correspondante pour 𝒶(R)𝒶(R) .

5.     • Procéder comme précédemment pour les intégrations numériques.


VII. Géométrie spatiale

1.     • On commence par étudier un astre statique à symétrie sphérique, avec une masse volumique uniforme et en négligeant l'effet de la pression (ceci suppose que l'astre est nettement “non relativiste”, c'est à dire que son rayon de Schwarzschild est nettement inférieur à son rayon).
        • Pour représenter l'effet du champ gravitationnel, on peut tenir compte du fait que pour un champ statique la quantité  ln⁡(A)\ln⁡\left(\sqrt{A}\,\right)  se comporte comme un potentiel de gravitation ; il est alors possible d'utiliser l'analogie avec le potentiel de gravitation newtonien, qui au voisinage du sol est proportionnel à l'altitude zz (cela a pour seul intérêt de s'appuyer sur notre habitude intuitive qualitative).
        • On ne peut pas obtenir une représentation simple de l'effet dans ℝ3ℝ^3 , mais on peut utiliser des coordonnées cylindriques pour réaliser une image 3D3D (en perspective). Représenter ainsi  z=ln⁡(A)z=\ln⁡\left(\sqrt{A}\,\right)  en fonction de coordonnées polaires ρρ et θθ , où  ρ=∫Cdrρ=∫ \sqrt{C} \: dr  est le “rayon interne”.

2.     • On souhaite ensuite obtenir une représentation géométrique de la courbure d'un plan de l'espace en l'incluant en tant que surface dans ℝ3ℝ^3 .  On peut de même utiliser des coordonnées cylindriques pour réaliser une image 3D3D (en perspective)
        • Représenter ainsi une surface d'équation  z=z(r) z=z(r)  en fonction de coordonnées polaires rr et θθ , de telle façon que la distance radiale sur la surface soit égale au “rayon interne” ρρ .

3.     • On considère maintenant un astre dont la partie centrale est ultra-relativiste. On choisit pour cela une expression de l'énergie volumique de la forme :  ε(r)=3𝓅+εR2εR+𝓅\displaystyle ε(r)=3 \,𝓅+\frac{ε_R^{\:2}}{ε_R+𝓅}  (avec εRε_R en surface, pour  𝓅=0𝓅=0 ).
        • En procédant par intégration numérique, représenter de même  z=ln⁡(A)z=\ln⁡\left(\sqrt{A}\,\right)  en fonction de coordonnées polaires ρρ et θθ .

4.     • Représenter de même une surface d'équation  z=z(r)z=z(r)  en fonction de coordonnées polaires rr et θθ , de telle façon que la distance radiale sur la surface soit égale au “rayon interne” ρρ .


VIII. Pression dans un système en pré-expansion

1.     • On raisonne ici en mécanique newtonienne pour simplement mettre en évidence les effets étudiés.
        • Soit une tranche de fluide incompressible de masse volumique uniforme μμ et de longueur LL , initialement immobile dans un tube vertical sans frottement de section SS . La tranche, située entre  z=0z=0  et  z=Lz=L ,  est soumise à un champ gravitationnel vertical vers le haut  g(z)=αz+η\displaystyle g(z)=\frac{α}{z+η}  avec αα et ηη constantes positives.
        a) Établir l'équation différentielle non relativiste décrivant le mouvement du fluide.
        b) Intégrer cette équation.
        c) En déduire l'expression de la pression dans le fluide à l'instant initial ; la représenter et commenter.

2.     • On considère une couche sphérique de fluide incompressible de masse volumique uniforme μμ et d'épaisseur LL , initialement immobile dans un cône sans frottement d'angle solide  Ω=πsrΩ=π \:\mathrm{sr} ,  entre  r=Rr=R  et  r=R+L r=R+L  (par rapport au sommet du cône).
        • Pour décrire un cas analogue à celui qu'on souhaite simuler en relativité générale, avec  rr  décroissant en fonction de la variable de position ρρ (zone d'inversion en coordonnées “isotropes”), on considère  r=η−ρr=η-ρ  (le centre, sommet du cône, correspond à  ρ=ηρ=η ).  Ainsi  ρ(R+L)<ρ(R)ρ(R+L)<ρ(R) .
        • La couche est soumise à un champ gravitationnel radial  g=αρ\displaystyle g=\frac{α}{ρ}  décroissant avec  ρρ  et orienté vers les  rr  décroissants (vers le centre).
        a) Établir une équation différentielle décrivant le mouvement du fluide.
        b) Préciser d'après la forme de l'écoulement, compte tenu de l'incompressibilité.
        c) En déduire l'expression de la pression dans le fluide à l'instant initial ; la représenter et commenter.


IX. Astre avec une couche sphérique éjectée

1.     • On cherche à résoudre les équations gravitationnelles pour une métrique à symétrie sphérique dépendant du temps, de la forme :  ds2=A(r,t)c2dt2−C(r,t)dr2−r2dΩ2{ds}^2=A(r,t) \:c^2 \,{dt}^2-C(r,t) \:{dr}^2-r^2 \:{dΩ}^2 .
        a) Calculer le tenseur de Ricci.
        b) Exprimer le tenseur énergie-impulsion à l'intérieur de la matière, puis en déduire les équations d'Einstein.
        c) Exprimer la loi de conservation du tenseur énergie-impulsion.

2.     • On suppose que, même si elle n'est pas stable et ne le reste pas, la répartition de matière est initialement immobile.
        a) Simplifier les équations d'Einstein dans ce cas. Commenter.
        b) Simplifier de même la loi de conservation du tenseur énergie-impulsion. Commenter.
        c) On suppose le fluide incompressible, écrire la loi de conservation du volume.
        d) Résoudre (numériquement si nécessaire) le système d'équations. Commenter.