RG IV - ÉQUATIONS DU CHAMP DE GRAVITATION

Courbure (et torsion intrinsèque)

• Les quantités

DA^α=D_μ A^α \:dx^μ

ont été construites pour remédier au fait que, dans un changement de coordonnées, les quantités

dA^α=∂_μ A^α \:dx^μ

ne se comportent pas comme les composantes d'un vecteur.

En étudiant de façon analogue les quantités

D(DA^α )=D_μ D_ν A^α \:dx^μ \:dx^ν

, on constate qu'en outre, contrairement aux dérivées “simples”, les dérivées covariantes ne commutent généralement pas :

D_μ D_ν A^α≠D_ν D_μ A^α

.

• De façon générale (compte tenu de

∂_μ ∂_ν A^α=∂_ν ∂_μ A^α

) :

$D_μ D_ν A^α-D_ν D_μ A^α=\left(Γ_{\phantom{.}μν}^λ-Γ_{\phantom{.}νμ}^λ \right) \:D_λ A^α \;⋯$
$⋯\;+\left(∂_μ Γ_{\phantom{.}λν}^α-∂_ν Γ_{\phantom{.}λμ}^α+ Γ_{\phantom{.}ρμ}^α \:Γ_{\phantom{.}λν}^ρ-Γ_{\phantom{.}ρν}^α \:Γ_{\phantom{.}λμ}^ρ \right) \:A^λ$ .

La “torsion intrinsèque” est décrite par l'expression

Γ_{\phantom{.}μν}^λ-Γ_{\phantom{.}νμ}^λ

(antisymétrique) ; elle est nulle dans un espace de Riemann.

La courbure est décrite par le tenseur de Riemann :

$R_{\phantom{.}λμν}^α=∂_μ Γ_{\phantom{.}λν}^α-∂_ν Γ_{\phantom{.}λμ}^α+Γ_{\phantom{.}λν}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρμ}^α -Γ_{\phantom{.}λμ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρν}^α$ ;

$D_μ D_ν A^α-D_ν D_μ A^α=R_{\phantom{.}λμν}^α \:A^λ$ ;
$D_μ D_ν A_β-D_ν D_μ A_β=-R_{\phantom{.}βμν}^λ \:A_λ$ ;
$D_μ D_ν A_{\phantom{.}β}^α-D_ν D_μ A_{\phantom{.}β}^α=R_{\phantom{.}λμν}^α \:A_{\phantom{.}β}^λ -R_{\phantom{.}βμν}^λ \:A_{\phantom{.}λ}^α$ .

Transport parallèle le long d'un contour fermé

• Cette notion de courbure est associée à la variation d'un vecteur lors d'un transport parallèle selon un contour fermé.

Par exemple en coordonnées sphériques :

le transport de $\overset{→}{u}_θ(0\,;φ)$ jusqu'à l'équateur donne $\overset{→}{u_θ}\left(\frac{π}{2}\,;φ\right)$ ;
puis le transport jusqu'à une autre longitude donne $\overset{→}{u}_θ\left(\frac{π}{2}\,;φ'\right)$ ;
enfin le retour jusqu'au pôle donne $\overset{→}{u}_θ(0\,;φ')≠\overset{→}{u}_θ(0\,;φ)$ .

• De façon plus générale (d'après Stokes-Ostrogradski) :

$ΔA^α=∮\,∂_ν A^α \,dx^ν =-∮\;Γ_{\phantom{.}μν}^α \:A^μ \:dx^ν =-\frac{1}{2} \:∫ \,ε_{ρσ}^{νβ} \:∂_β (Γ_{\phantom{.}μν}^α \:A^μ \,) \:dS^{ρσ}$ ;
$ΔA^α=-\frac{1}{2} \:∫\,\left( ∂_σ (Γ_{\phantom{.}μρ}^α \:A^μ \,) -∂_ρ (Γ_{\phantom{.}μσ}^α \:A^μ \,)\right) \:dS^{ρσ}$ ;
$ΔA^α=\frac{1}{2} \,∫\,R_{\phantom{.}λρσ}^α \:A^μ \:dS^{ρσ}$ .

📖 exercices n° I et II.

Propriétés du tenseur de courbure

• La relation de définition montre simplement l'antisymétrie sur les deux dernier indices :

R_{\phantom{.}λνμ}^α=-R_{\phantom{.}λμν}^α

.

On vérifie aussi la symétrie par permutation circulaire sur les trois derniers indices :

R_{\phantom{.}λμν}^α+R_{\phantom{.}μνλ}^α+R_{\phantom{.}νλμ}^α=0

.

• Plus de propriétés peuvent êtres mises en évidence sous forme totalement covariante, où on peut ré-exprimer les dérivées des

Γ

à l'aide de la métrique :

$R_{κλμν}=\frac{1}{2} \,\left(∂_{λμ} g_{κν}+∂_{κν} g_{λμ}-∂_{κμ} g_{λν}-∂_{λν} g_{κμ} \right)+g_{αβ} .\left(Γ_{\phantom{.}λμ}^α \:Γ_{\phantom{.}κν}^β-Γ_{\phantom{.}κμ}^α \:Γ_{\phantom{.}λν}^β \right)$ .

Sous cette forme, on constate les symétries et antisymétries (dont certaines sont équivalentes à celles vues précédemment) :

$R_{κλμν}=R_{μνκλ}$ ;
$R_{κλμν}=-R_{λκμν}=R_{λκνμ}=-R_{κλνμ}$ ;
$R_{κλμν}+R_{κμνλ}+R_{κνλμ}=0$ (donc aussi : $ℰ^{κλμν} \:R_{κλμν}=0$ ).

• On peut par ailleurs considérer les combinaisons de dérivées :

$(D_{αβ}-D_{βα} ) \,D_μ A_ν+\mathrm{p.circ.}(αβμ) =D_μ (D_{αβ}-D_{βα} ) \,A_ν+\mathrm{p.circ.}(αβμ)$ ;
$R_{\phantom{.}μαβ}^λ \:D_λ A_ν+\mathrm{p.circ.}(αβμ) =A_λ \:D_μ R_{\phantom{.}ναβ}^λ+\mathrm{p.circ.}(αβμ)$ ;
$0=A_λ .\left(D_μ R_{\phantom{.}ναβ}^λ+D_α R_{\phantom{.}νβμ}^λ+D_β R_{\phantom{.}νμα}^λ \right)$ .

Puisque

A_λ

est quelconque ; les dérivées du tenseur de Riemann sont liées par l'identité de Bianchi :

D_μ R_{\phantom{.}ναβ}^λ+D_α R_{\phantom{.}νβμ}^λ+D_β R_{\phantom{.}νμα}^λ=0

.

◊ remarque : compte tenu de

D_μ g_{κλ}=0

, il en est de même sous forme totalement covariante :

D_μ R_{λναβ}+D_α R_{λνβμ}+D_β R_{λνμα}=0

.

📖 exercice n° III.

Tenseur de Ricci et courbure scalaire

• D'après les symétries et antisymétries sur les indices, il n'y a (au signe près) qu'une seule façon de contracter le tenseur de courbure pour obtenir un tenseur du second ordre :

$g^{κλ} \:R_{κλμν}=g^{μν} \:R_{κλμν}=0$ ;
$R_{μν}=R_{\phantom{.}μλν}^λ=g^{κλ} \:R_{κμλν}=g^{κλ} \:R_{μκνλ}=-g^{κλ} \:R_{κμνλ}=-g^{κλ} \:R_{μκλν}$ .

Le tenseur de Ricci ainsi défini est symétrique :

$R_{μν}=R_{νμ}=R_{\phantom{.}μκν}^κ=∂_κ Γ_{\phantom{.}μν}^κ-∂_ν Γ_{\phantom{.}μκ}^κ+Γ_{\phantom{.}μν}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^κ-Γ_{\phantom{.}μκ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}νρ}^κ$ .

◊ remarque : la symétrie, peu visible à cause du terme

∂_ν Γ_{\phantom{λ}μλ}^λ=∂_{μν} \,\ln\left(\sqrt{\left|g\right|} \,\right)

, devient évidente sous d'autres formes d'expression :

$R_{μν}=\frac{1}{2} \,g^{κλ} .\left(∂_{μλ} g_{κν}+∂_{κν} g_{μλ}-∂_{κλ} g_{μν}-∂_{μν} g_{κλ} \right) \;\;…$

$⋯\: +g^{κλ} \:g_{αβ} .\left(Γ_{\phantom{.}μλ}^α \:Γ_{\phantom{.}κν}^β-Γ_{\phantom{.}κλ}^α \:Γ_{\phantom{.}μν}^β \right)$ ;

$\displaystyle R_{μν}=\frac{1}{\sqrt{\left|g\right|}} \:∂_λ \left(\sqrt{\left|g\right|} \;Γ_{\phantom{.}μν}^λ \right)-∂_{μν}\, \ln\left(\sqrt{|g|} \,\right)-Γ_{\phantom{.}μλ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}νρ}^λ$ .

• On peut aussi définir une courbure scalaire :

R=g^{μν} \:R_{μν}

.

• Il découle alors de l'identité de Bianchi :

$D_μ R_{νβ}+D_α R_{\phantom{.}νβμ}^α-D_β R_{νμ}=0$ ;
$D_μ R-D_α \left(g^{κα} \:R_{κμ} \right)-D_β R_{\phantom{.}μ}^β =D_α \left(δ_μ^α \:R-2 \,R_{\phantom{.}μ}^α \right)=0$ ;
$D_α \left(R^{αμ}-\frac{1}{2} \,g^{αμ} \:R\right)=0$ .

📖 exercices n° IV et V.

Tenseur énergie-impulsion

• En électromagnétisme, les potentiels (et champs) sont déterminés par les répartitions de charge et de courant.

Pour la gravitation, il semble donc logique de chercher des équations reliant la métrique (et la connexion) aux répartitions de masse et au tenseur énergie-impulsion. On commence donc par préciser ce dernier.

• Le tenseur énergie-impulsion pour des particules matérielles peut s'écrire :

T^{αβ}=μ_0 \,U^α \,U^β

, où

μ_0

est la masse volumique dans le référentiel propre (associée à une distribution

\tilde{δ}

pour chaque particule).

• Pour un fluide :

T^{αβ}=(𝓅+ε_0 ) \:u^α \,u^β-𝓅 \:g^{αβ}

, où

𝓅

ε_0=μ_0 \,c^2

désignent la pression et la densité volumique d'énergie du fluide mesurées dans son référentiel propre.

☞ remarque : ici l'énergie volumique

ε_0

tient compte de l'énergie d'agitation thermique du fluide (molécules non immobiles dans son référentiel propre).

• L'expression pour le champ électromagnétique se généralise simplement depuis la relativité restreinte :

\displaystyle T^{αβ}=-\frac{1}{\mathrm{μ}_0} \,\left(g_{μν} \:F^{αμ} \:F^{νβ}-\frac{1}{4} \,g^{αβ} \:F_{μν} \:F^{νμ} \right)

.

◊ remarque : selon le contexte, il faut ne pas confondre la masse volumique au repos

μ_0

et la perméabilité magnétique

\mathrm{μ}_0

(ni l'énergie volumique

ε_0

et la permittivité diélectrique

\mathrm{ε}_0

).

📖 exercice n° VI.

Équations du champ de gravitation

• L'équation gravitationnelle non relativiste peut être écrite avec le potentiel

𝒱

Δ𝒱=\overset{→}{∇}^2 𝒱=4\,π\,𝒢 \:μ

, où

μ

est la masse volumique (dans laquelle la contribution relativiste de l'agitation thermique est négligeable).

L'étude des trajectoires géodésiques montre par ailleurs que le cas relativiste pour les champs statiques faibles doit correspondre à :

\displaystyle g_{00}≈1+\frac{2 \,𝒱}{c^2}

.

Dans la mesure où ce cas correspond aussi à :

T_{00}=μ_0 \,c^2

, on doit chercher une équation relativiste dont la limite soit :

\overset{→}{∇}^2 g_{00}≈χ \:T_{00}

, avec la constante

\displaystyle χ=\frac{8\,π\,𝒢}{c^4}

.

• Puisque ceci suggère une équation de la forme

G_{αβ}=χ \:T_{αβ}

, on cherche à construire, à partir des dérivées premières et secondes des “potentiels”

g_{αβ}

, un tenseur

G_{αβ}

symétrique et “conservé” comme

T_{αβ}

(tel que

D_μ G^{μν}=0

) et dont la limite redonne :

G_{00}≈\overset{→}{∇}^2 g_{00}

.

Ceci peut correspondre à une combinaison :

G_{αβ}=C.(R_{αβ}+λ \:g_{αβ} \:R\,)

; on peut en fait montrer qu'il n'y en a pas d'autres.

• Puisque l'identité de Bianchi implique :

D_α \left(R^{αβ}-\frac{1}{2} \,g^{αβ} \:R\right)=0

, l'existence d'une valeur autre que

λ=-\frac{1}{2}

imposerait

∂_α R=0

.

L'équation cherchée imposant par ailleurs :

G=C.(1 + 4\,λ\,) \:R=χ \:T

(en posant

T=T_μ^{\phantom{.}μ}

), ceci conduirait à

∂_α T=0

, ce qui n'est vérifié que dans des cas particuliers.

• La condition limite

G_{00}≈\overset{→}{∇}^2 g_{00}

impose enfin

C=1

, donc l'équation cherchée est :

R^{αβ}-\frac{1}{2} \,g^{αβ} \:R=χ \:T^{αβ}

(équation d'Einstein).

◊ remarque : quand cela simplifie certains calculs, on peut aussi l'écrire sous la forme :

R^{αβ}=χ .\left(T^{αβ}-\frac{1}{2} \,g^{αβ} \:T\right)

.

• D'un autre point de vue, dans la mesure où on interprète les

Γ_{\phantom{.}μν}^λ

comme l'équivalent d'un “champ gravitationnel” (dérivé du “potentiel”

g_{μν}

), on peut se baser sur la forme du tenseur

T^{αβ}

électromagnétique pour écrire :

$χ \:𝒯_{αβ}=\left(Γ_{\phantom{.}αμ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}βρ}^μ-Γ_{\phantom{.}αβ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρμ}^μ \right)-\frac{1}{2} \,g_{αβ} \:g^{λν} .\left(Γ_{\phantom{.}λμ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}νρ}^μ-Γ_{\phantom{.}λν}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρμ}^μ \right)$ ;
$ℛ_{αβ}=∂_μ Γ_{\phantom{.}αβ}^μ-∂_β Γ_{\phantom{.}αμ}^μ$ ; $ℛ_{αβ}-\frac{1}{2} \,g_{αβ} \:ℛ=χ .(𝒯_{αβ}+T_{αβ} )$ .

On retrouve ainsi une équation analogue à celle de l'électromagnétisme : les dérivées du champ se calculent d'après les termes de source, incluant un terme gravitationnel quadratique par rapport au champ.

Le tenseur

𝒯_{αβ}

indique alors qualitativement la contribution de l'énergie du champ gravitationnel à sa propre création (contrairement à ce que peut suggérer la précédente remarque, un choix différent des coefficients

\frac{1}{2}

pour les termes de trace des tenseurs ne modifie pas

𝒯_{αβ}

).

📖 exercices n° VII, VIII, IX et X.

Énergie-impulsion du champ de gravitation

• En l'absence de champ de gravitation, la conservation de l'énergie-impulsion “totale” (particules plus champ électromagnétique) s'écrit :

∂_β T^{αβ}=0

.

Avec un champ gravitationnel, cette relation reste valable dans un repère inertiel, donc pour un repérage quelconque elle se généralise par

D_β T^{αβ}=0

. Par contre, cela ne correspond plus a priori à une loi de conservation.

• En réécrivant sous la forme :

\displaystyle D_β T^{αβ}=\frac{1}{\sqrt{\left|g \right|}} \:∂_β \left(\sqrt{\left|g \right|} \:\,T^{αβ} \right)+Γ_{\phantom{.}λβ}^α \:T^{λβ}=0

, on obtient :

∂_β \left(\sqrt{\left|g\right|} \;T^{αβ}\, \right)=-\sqrt{\left|g\right|} \;Γ_{\phantom{.}λβ}^α \:T^{λβ}=-{\displaystyle{\frac{1}{χ}}} \:\sqrt{\left|g\right|} \;Γ_{\phantom{.}λβ}^α .\left(R^{λβ}-\frac{1}{2} \,g^{λβ} \:R\right)

.

Existe-t-il

𝔱^{λβ}

tel que :

{\displaystyle{\frac{1}{χ}}} \,\sqrt{\left|g\right|} \;Γ_{\phantom{α}λβ}^α .\left(R^{λβ}-\frac{1}{2} \,g^{λβ} \:R\right)=∂_β \left(\sqrt{\left|g\right|} \;𝔱^{αβ} \,\right)

, décrivant ainsi l'énergie-impulsion du champ gravitationnel ?

Une telle quantité, a priori non nécessairement tensorielle (pseudo-tenseur ? ), correspondrait à la loi de conservation :

∂_β \left(\sqrt{\left|g\right|} \;(T^{αβ}+𝔱^{αβ} \,)\right)=0

.

D'un certain point de vue, quand on cherche à exprimer l'énergie-impulsion du champ de gravitation, cela consiste à décrire la quantité de mouvement de l'espace-temps (décrit par la métrique), par rapport à... l'espace-temps (ce qui est a priori incohérent). Cela peut toutefois avoir un intérêt pour des perturbations locales comme les ondes gravitationnelles : afin de décrire l'énergie-impulsion transportée par ces ondes dans un espace environnant plat.

Étude variationnelle

Action pour le champ de gravitation

• Pour déduire les équations du champ gravitationnel par une méthode variationnelle, il faut commencer par déterminer l'action correspondante, de la forme :

𝒮=∫ Λ \:d^4 𝒱

avec une densité lagrangienne

Λ(g_{μν} \,, ∂_λ g_{μν} )

scalaire, intégrée sur

d^4 𝒱=\sqrt{\left|g\right|} \;d^4 x

.

La seule quantité scalaire qu'on puisse former avec les quantités concernées est

R=g^{αβ} \:R_{αβ}

, mais cette expression contient aussi des termes du second ordre

∂_{λρ} g_{μν}

. On peut alors chercher s'il existe une grandeur

Λ

seulement “pseudo” scalaire, mais donnant par variation une expression correctement tensorielle ; or les termes du second ordre ne sont pas rédhibitoires si leur contribution par variation peut se ramener celle de termes du premier ordre.

• On peut alors considérer :

$\sqrt{\left|g\right|} \;R=\sqrt{\left|g\right|} \;g^{αβ} \:\left[∂_μ Γ_{\phantom{.}αβ}^μ-∂_β Γ_{\phantom{.}αμ}^μ+Γ_{\phantom{.}αβ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρμ}^μ-Γ_{\phantom{.}αμ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}βρ}^μ \right]$ .

Les termes du second ordre peuvent s'écrire :

$\sqrt{\left|g\right|} \;g^{αβ} \:∂_μ Γ_{\phantom{.}αβ}^μ=∂_μ \left(\sqrt{\left|g\right|} \;g^{αβ} \:Γ_{\phantom{.}αβ}^μ \right) \;⋯$

$⋯\; +\sqrt{\left|g\right|} \;g^{αβ} \:\left[2 \,Γ_{\phantom{.}αρ}^μ \:Γ_{\phantom{.}βμ}^ρ-Γ_{\phantom{.}αβ}^μ \:Γ_{\phantom{.}μρ}^ρ \right]$ ;

$\sqrt{\left|g\right|} \;g^{αβ} \:∂_β Γ_{\phantom{µ}αμ}^μ=∂_β \left(\sqrt{\left|g\right|} \;g^{αβ} \:Γ_{\phantom{µ}αμ}^μ \right)+\sqrt{\left|g\right|} \:g^{αβ} .\left[Γ_{\phantom{µ}αβ}^μ \:Γ_{\phantom{ρ}μρ}^ρ \right]$ .

Les termes

∂_μ \left(\sqrt{\left|g\right|} \;g^{αβ} \:Γ_{\phantom{.}αβ}^μ \right)

∂_β \left(\sqrt{\left|g\right|} \;g^{αβ} \:Γ_{\phantom{.}αμ}^μ \right)

sont des divergences dont l'intégration peut s'écrire comme le flux d'un vecteur à travers une hypersurface à l'infini, où les variations de la métrique sont nulles ; leurs contributions à la méthode variationnelle sont donc nulles.

Ainsi on peut définir

Λ

de la forme souhaitée (avec une constante multiplicative pour faire correspondre les unités) :

$\sqrt{\left|g\right|} \;R=\sqrt{\left|g\right|} \;Λ+∂_μ \left(\sqrt{\left|g\right|} \;g^{αβ} \:Γ_{\phantom{.}αβ}^μ \right)-∂_β \left(\sqrt{\left|g\right|} \;g^{αβ} \:Γ_{\phantom{.}αμ}^μ \right)$ ;
$2\,c \:χ \:Λ=g^{αβ} .\left[Γ_{\phantom{.}αβ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρμ}^μ -Γ_{\phantom{.}αμ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}βρ}^μ \right]+2 \,g^{αβ} .\left[Γ_{\phantom{.}αμ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}βρ}^μ-Γ_{\phantom{.}αβ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρμ}^μ \right]$ ;
$\displaystyle Λ=\frac{1}{2\,c} \frac{1}{χ} \,g^{αβ} .\left[Γ_{\phantom{.}αμ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}βρ}^μ-Γ_{\phantom{.}αβ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρμ}^μ \right]$ .

📖 exercices n° XI et XII.

Terme gravitationnel de l'équation d'Einstein

• Compte tenu de ce qui précède, on peut raisonner avec

R

$δ𝒮={\displaystyle{\frac{1}{2\,c} \frac{1}{χ}}} \:\,δ\left(∫ g^{αβ} \:R_{αβ} \:\sqrt{\left|g\right|} \;d^4 x\right)$ ;
$δ\left(g^{αβ} \:R_{αβ} \:\sqrt{\left|g\right|} \,\right)=R_{αβ} \:\sqrt{\left|g\right|} \;δg^{αβ}+g^{αβ} \:\sqrt{\left|g\right|} \;δR_{αβ}+R \;δ\left(\sqrt{\left|g\right|}\,\right)$ .

• On peut considérer :

$δ\left(\sqrt{\left|g\right|}\,\right) ={\displaystyle{\frac{1}{2\: \sqrt{\left|g\right|}}}} \;δg$ ;
$δg=γ^{αβ} \:δg_{αβ}$ où les $γ^{αβ}$ sont les mineurs associés ;
$\displaystyle g^{αβ}=\frac{γ^{αβ}}{g}$ est la matrice inverse de $g_{αβ}$ ;
$δg=g \:g^{αβ} \:δg_{αβ}=-g \:g_{αβ} \:δg^{αβ}$ puisque $δ\left(g_{αβ} \:g^{αβ} \right)=0$ ;
$δ\left(\sqrt{\left|g\right|}\,\right)=\frac{1}{2}\, \sqrt{\left|g\right|} \;g_{αβ} \:δg^{αβ}$ .

• On peut en outre montrer que

g^{αβ} \:\sqrt{\left|g\right|} \;δR_{αβ}

donne une contribution nulle par intégration ; ainsi :

δ𝒮={\displaystyle{\frac{1}{2\,c} \frac{1}{χ}}} \:\,∫ \,δg^{αβ} .\left(R_{αβ}-\frac{1}{2} \,g_{αβ} \:R\right) \:\sqrt{\left|g\right|} \;d^4 x

.

◊ remarque : les variations

δg_{μν}

considérées ici sont celles qui correspondent à une modification de la géométrie spatio-temporelle, non celles associées à un changement du repérage dans un espace-temps donné ; cela n'intervient toutefois pas dans le calcul.

◊ remarque : si on préfère “par principe” l'expression en fonction des variations des variables

g_{αβ}

, on écrit :

δ𝒮=-\frac{1}{2c} \frac{1}{χ} \:\,∫ \,δg_{αβ} \:\left(R^{αβ}-\frac{1}{2} \,g^{αβ} \:R\right) \:\sqrt{\left|g\right|} \;d^4 x

.

📖 exercices n° XIII et XIV.

Terme “matériel” de l'équation d'Einstein

• En utilisant la même méthode qu'en relativité restreinte, on peut obtenir la forme symétrique du tenseur d'énergie impulsion en écrivant :

$δ𝒮={\displaystyle{\frac{1}{c} \,∫ \left(\frac{∂\left(Λ \:\sqrt{\left|g\right|}\right)}{∂g_{μν}}-∂_ρ \left(\frac{∂\left(Λ \:\sqrt{\left|g\right|}\right)}{∂(∂_ρ g_{μν} )}\right)\right) \;δg_{μν} \:d^4 x}}=-{\displaystyle{\frac{1}{2\,c}}} \:∫ \,T^{μν} \:δg_{μν} \:\sqrt{\left|g\right|} \:d^4 x$ .

◊ remarque : ce terme décrit la partie matérielle, mais aussi le champ électromagnétique.

Au total on obtient l'équation d'Einstein :

R^{μν}-\frac{1}{2} \,g^{μν} \:R=χ \:T^{μν}

.

• Pour retrouver

δ𝒮

avec

S=-m \,c \;∫ ds

pour une particule matérielle, on est conduit à considérer :

\displaystyle T^{μν}=m \,c \,∫ \:\frac{dX^μ}{ds} \frac{dX^ν}{ds} \:\tilde{δ}^4 (x-X\,) \;ds

(intégré sur la trajectoire) ; ceci est analogue au courant

\displaystyle j^μ=q \,∫ \:\frac{dX^μ}{ds} \:\tilde{δ}^4 (x-X\,) \;ds

en électromagnétisme.

L'éventuelle expression correspondante de

Λ

n'apparait pas de façon claire et semble être partout éludée (mais l'écriture du lagrangien à l'aide d'une densité lagrangienne n'est pas obligatoire). Si on pouvait considérer que, pour ce cas,

T^{μν}

ne dépend pas des

g_{μν}

alors

Λ=T=T^{μν} \:g_{μν}

donnerait

δΛ=T^{μν} \:δg_{μν}

, mais cela semble incompatible avec

S=-m \,c \;∫ ds

dépendant des

g_{μν}

.

📖 exercice n° XV.

Énergie-impulsion du champ de gravitation

• On peut appliquer, en fonction du “potentiel”

g_{μν}

, une méthode analogue à celle utilisée pour le champ électromagnétique en fonction du potentiel

A_α

.

• La densité lagrangienne est telle que :

$∂_α \left(Λ\:\sqrt{\left|g\right|}\,\right)={\displaystyle{\frac{∂\left(Λ \:\sqrt{\left|g\right|}\,\right)}{∂g_{μν}} \:∂_α g_{μν}+\frac{∂\left(Λ \:\sqrt{\left|g\right|}\,\right)} {∂(∂_ρ g_{μν} )} \:∂_α (∂_ρ g_{μν} )}}$ .

D'après les équations d'Euler-Lagrange :

\frac{∂\left(Λ \:\sqrt{\left|g\right|}\right)}{∂g_{μν}}=∂_ρ \left(\frac{∂\left(Λ \:\sqrt{\left|g\right|}\right)}{∂(∂_ρ g_{μν} )}\right)

; ainsi :

$∂_α \left(Λ \:\sqrt{\left|g\right|}\,\right)={\displaystyle{∂_ρ \left(\frac{∂\left(Λ \:\sqrt{\left|g\right|}\,\right)} {∂(∂_ρ g_{μν} )}\right) \:∂_α g_{μν} +\frac{∂\left(Λ \: \sqrt{\left|g\right|}\,\right)}{∂(∂_ρ g_{μν} )} \:∂_ρ (∂_α g_{μν} )}}$ ;
$δ_α^ρ \:∂_ρ \left(Λ \:\sqrt{\left|g\right|}\,\right)={\displaystyle{∂_ρ \left(\frac{∂\left(Λ \:\sqrt{\left|g\right|}\,\right)}{∂(∂_ρ g_{μν} )} \:∂_α g_{μν} \right)}}$ ;
$∂_ρ\left({\displaystyle{\frac{∂\left(Λ \:\sqrt{\left|g\right|}\right)}{∂(∂_ρ g_{μν} )}}} \:∂_α g_{μν}-δ_α^ρ \;Λ \:\sqrt{\left|g\right|}\right)=0$ .

• De façon analogue à la construction du hamiltonien associé à l'énergie d'une particule (ainsi que pour l'énergie-impulsion du champ électromagnétique à partir du “potentiel”

A_α

), on peut définir un “tenseur énergie-impulsion” associé au champ :

\displaystyle T_α^{\phantom{.}ρ}=\frac{1}{\sqrt{\left|g\right|}} \;\frac{∂\left(Λ \:\sqrt{\left|g\right|}\,\right)}{∂(∂_ρ g_{μν} )} \:∂_α g_{μν}-δ_α^ρ \:Λ =\frac{∂Λ}{∂(∂_ρ g_{μν} )} \:∂_α g_{μν}-δ_α^ρ \:Λ

.

On en déduit une contribution à la quadri-impulsion :

P^α={\displaystyle{\frac{1}{c}}} \,∫ \:T^{αβ} \:\sqrt{\left|g\right|} \:dS_β

.

◊ remarque : par contre (de même que pour le champ électromagnétique), cette méthode donne une expression non symétrique du tenseur énergie-impulsion ; ainsi, on ne peut donc pas en déduire simplement une description du moment cinétique.

📖 exercice n° XVI.

Constante cosmologique

• On peut proposer d'ajouter à l'action du champ de gravitation un terme de la forme :

𝒮=∫ \,Λ \:\sqrt{\left|g\right|} \:d^4 x

avec une densité lagrangienne

Λ(x^μ )

scalaire.

Ceci correspond à :

δ𝒮=∫ \:\left(-\frac{1}{2} g_{αβ} \:Λ\right) \:δg^{αβ} \:\sqrt{\left|g\right|} \:d^4 x

.

• Si on ajoute un terme

-\frac{1}{2} Λ \:g^{μν}

au tenseur d'Einstein

G^{μν}

, compte tenu de

D_μ G^{μν}=0

D_μ T^{μν}=0

, cela impose de même :

D_μ (Λ \:g^{μν} \,)=0

.

Puisque

D_μ g^{μν}=0

, on aboutit à

∂_μ Λ=0

, c'est à dire

Λ=Cste

.

Ce terme supplémentaire éventuel est appelé “constante cosmologique” ; son influence a été testée pour proposer des modèles décrivant l'univers.