ÉQUATIONS DU CHAMP DE GRAVITATION

Transport parallèle le long d'un contour fermé

• On raisonne en partant de la variation

∆B^α=\frac{1}{2} \,∫ R_{\phantom{.}μρσ}^α \:B^μ \:{dS}^{ρσ}

; cela étant vrai pour toute surface (bordée par le contour étudié), on peut se ramener à l'étude sur une surface infinitésimale (associée à un contour infinitésimal) :

δB^α=\frac{1}{2} R_{\phantom{.}μρσ}^α \:B^μ \:{dS}^{ρσ}

.
• On peut considérer, pour un scalaire :

$0=δ(A_α \,B^α \,)=δ(A_α ) \:B^α+A_α \:δ(B^α \,)=δ(A_α ) \:B^α+\frac{1}{2} \,R_{\phantom{.}μρσ}^α \:A_α \:B^μ \:{dS}^{ρσ}$ ;
$0=\left[δA_α+\frac{1}{2} \,R_{\phantom{.}αρσ}^μ \:A_μ \:{dS}^{ρσ} \right] \:B^α$ ;
$δA_α=-\frac{1}{2} \,R_{\phantom{.}αρσ}^μ \:A_μ \:{dS}^{ρσ}$ puisque cela est vrai quel que soit $B^α$ ;
$∆A_α=-\frac{1}{2} \,∫ R_{\phantom{.}αρσ}^μ \:A_μ \:{dS}^{ρσ}$ .

◊ remarque : pour factoriser

B^α

, alors qu'on envisage les variations de ce vecteur, il est indispensable de se ramener à une variation infinitésimale, dans la limite où les termes du second ordre peuvent être négligés.

Déviation géodésique

1.	• Le mouvement d'un point matériel soumis uniquement à l'effet de la gravitation est décrit par l'équation : $\displaystyle \frac{Du^μ}{dτ}=\frac{d^2 x^μ}{{dτ}^2} +Γ_{\phantom{.}αβ}^μ \:\frac{dx^α}{dτ} \frac{dx^β}{dτ}=0$ .

2.a.

• Pour décrire le mouvement de deux points matériels proches, on peut comparer les équations :

$\displaystyle \frac{d^2 x^μ}{{dτ}^2} +Γ_{\phantom{.}αβ}^μ (X\,) \:\frac{dx^α}{dτ} \frac{dx^β}{dτ}=0$ ;
$\displaystyle \frac{d^2 (x^μ+δx^μ \,)}{{dτ}^2} +Γ_{\phantom{.}αβ}^μ (X+δX\,) \:\frac{d(x^α+δx^α \,)}{dτ} \,\frac{d(x^β+δx^β \,)}{dτ}=0$ .

• La différence, étudiée au premier ordre pour

δx^μ

(petit), peut s'écrire :

$\displaystyle \frac{d^2 (δx^μ \,)}{{dτ}^2} +(∂_ν Γ_{\phantom{.}αβ}^μ \:δx^ν \,) \:\frac{dx^α}{dτ} \frac{dx^β}{dτ}+2 \:Γ_{\phantom{.}αβ}^μ \frac{dx^α}{dτ} \,\frac{d(δx^β\,)}{dτ}=0$ .

2.b.

• On peut considérer :

$\displaystyle \frac{D(δx^μ \,)}{dτ}=\frac{d(δx^μ \,)}{dτ}+Γ_{\phantom{.}κλ}^μ \:δx^λ \:\frac{dx^κ}{dτ}$ ;
$\displaystyle \frac{D^2 (δx^μ \,)}{{dτ}^2} =\frac{D}{dτ} \left(\frac{D(δx^μ \,)}{dτ}\right)=\frac{d}{dτ} \left(\frac{D(δx^μ \,)}{dτ}\right)+Γ_{\phantom{.}κλ}^μ \frac{D(δx^λ \,)}{dτ} \,\frac{dx^κ}{dτ}$ ;
$\displaystyle \frac{D^2 (δx^μ \,)}{{dτ}^2} =\frac{d^2 (δx^μ \,)}{{dτ}^2} +\frac{d}{dτ} \left(Γ_{\phantom{.}κλ}^μ \:δx^λ \:\frac{dx^κ}{dτ}\right)+Γ_{\phantom{.}κλ}^μ \frac{D(δx^λ \,)}{dτ} \,\frac{dx^κ}{dτ}$ ;
$\displaystyle \frac{D^2 (δx^μ \,)}{{dτ}^2} =\frac{d^2 (δx^μ \,) }{{dτ}^2}+\frac{d}{dτ} (Γ_{\phantom{.}κλ}^μ ) \:δx^λ \:\frac{dx^κ}{dτ}+Γ_{\phantom{.}κλ}^μ \frac{d(δx^λ \,)}{dτ} \,\frac{dx^κ}{dτ}+Γ_{\phantom{.}κλ}^μ \:δx^λ \:\frac{d^2 x^κ}{{dτ}^2}\:⋯$

$\displaystyle ⋯\:+Γ_{\phantom{.}κλ}^μ \frac{d(δx^λ )}{dτ} \,\frac{dx^κ}{dτ}+Γ_{\phantom{.}κλ}^μ \:Γ_{\phantom{.}αν}^λ \:δx^ν \:\frac{dx^α}{dτ} \,\frac{dx^κ}{dτ}$ .

• Compte tenu de :

\displaystyle \frac{d^2 (δx^μ \,)}{{dτ}^2} +2\: Γ_{\phantom{.}κλ}^μ \frac{d(δx^λ \,)}{dτ} \,\frac{dx^κ}{dτ}=-(∂_ν Γ_{\phantom{.}κλ}^μ \:δx^ν \,) \:\frac{dx^κ}{dτ} \,\frac{dx^λ}{dτ}

, ceci donne :

$\displaystyle \frac{D^2 (δx^μ \,)}{{dτ}^2} =∂_ν Γ_{\phantom{.}κλ}^μ \:\frac{dx^ν}{dτ} \:δx^λ \:\frac{dx^κ}{dτ}-∂_ν Γ_{\phantom{.}κλ}^μ \:δx^ν \:\frac{dx^κ}{dτ} \,\frac{dx^λ}{dτ}+Γ_{\phantom{.}κλ}^μ \:δx^λ \:\frac{d^2 x^κ}{{dτ}^2}\:⋯$

$\displaystyle ⋯\:+Γ_{\phantom{.}κλ}^μ \:Γ_{\phantom{.}αν}^λ \:δx^ν \:\frac{dx^α}{dτ} \,\frac{dx^κ}{dτ}$ .

• Compte tenu de :

\displaystyle \frac{d^2 x^κ}{{dτ}^2} =-Γ_{\phantom{.}αβ}^κ \:\frac{dx^α}{dτ} \,\frac{dx^β}{dτ}

, ceci donne :

$\displaystyle \frac{D^2 (δx^μ \,)}{{dτ}^2} =∂_ν Γ_{\phantom{.}κλ}^μ \:\frac{dx^ν}{dτ} \:δx^λ \:\frac{dx^κ}{dτ}-∂_ν Γ_{\phantom{.}κλ}^μ \:δx^ν \:\frac{dx^κ}{dτ} \,\frac{dx^λ}{dτ}\:⋯$

$\displaystyle ⋯\:+Γ_{\phantom{.}κλ}^μ \:Γ_{\phantom{.}αν}^λ \:δx^ν \:\frac{dx^α}{dτ} \,\frac{dx^κ}{dτ}-Γ_{\phantom{.}κλ}^μ \:Γ_{\phantom{.}αβ}^κ \:δx^λ \:\frac{dx^α}{dτ} \,\frac{dx^β}{dτ}$ .

• En réorganisant les termes, on obtient finalement :

\displaystyle \frac{D^2 (δx^μ \,)}{{dτ}^2} =-R_{\phantom{.}ανβ}^μ \:δx^ν \:\frac{dx^α}{dτ} \,\frac{dx^β}{dτ}

.
◊ remarque : l'effet est donc observé si et seulement si l'espace est “courbé” par les effets de la gravitation.

Propriétés du tenseur de Riemann

• En exprimant la connexion affine

Γ

à l'aide des dérivées du tenseur métrique, on obtient :

$R_{κλμν}=g_{κσ} .\left(∂_μ Γ_{\phantom{.}λν}^σ-∂_ν Γ_{\phantom{.}λμ}^σ+Γ_{\phantom{.}λν}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρμ}^σ-Γ_{\phantom{.}λμ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρν}^σ \right)$ ;
$R_{κλμν}=g_{κσ} .[∂_μ (g^{σβ} \:Γ_{βλν} )-∂_ν (g^{σβ} \:Γ_{βλμ} )]+g_{κσ} .(Γ_{\phantom{.}λν}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρμ}^σ-Γ_{\phantom{.}λμ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρν}^σ )$ ;
$R_{κλμν}=\frac{1}{2} \,g_{κσ} .\left[∂_μ \{g^{σβ} .(∂_λ g_{νβ}+∂_ν g_{λβ}-∂_β g_{λν} )\}-∂_ν \{g^{σβ} .(∂_λ g_{μβ}+∂_μ g_{λβ}-∂_β g_{λμ} )\}\right]\:⋯$

$⋯\:+g_{κσ} \:(Γ_{\phantom{.}λν}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρμ}^σ-Γ_{\phantom{.}λμ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρν}^σ )$ ;

$R_{κλμν}=g_{κσ} .\left[∂_ν g^{σβ} \:Γ_{βλμ} +\frac{1}{2} \,g^{σβ} \:∂_ν (∂_λ g_{μβ}-∂_β g_{λμ} )\right]\:⋯$

$⋯\:-g_{κσ} .\left[∂_μ g^{σβ} \:Γ_{βλν} +\frac{1}{2} \,g^{σβ} \:∂_μ (∂_λ g_{νβ}-∂_β g_{λν} )\right]+g_{κσ} .(Γ_{\phantom{.}λν}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρμ}^σ-Γ_{\phantom{.}λμ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρν}^σ )$ ;

$R_{κλμν}=g_{κσ} .(∂_μ g^{σβ} \:Γ_{βλν}-∂_ν g^{σβ} \:Γ_{βλμ} )+\frac{1}{2} \,(∂_{μλ} g_{νκ}-∂_{μκ} g_{λν}-∂_{νλ} g_{μκ}+∂_{νκ} g_{λμ} )\:⋯$

$⋯\:+g_{κσ} .(Γ_{\phantom{.}λν}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρμ}^σ-Γ_{\phantom{.}λμ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρν}^σ )$ .

2.a.	• On peut considérer : $0=∂_ν δ_κ^β=∂_ν (g_{κσ} \:g^{σβ} )=g_{κσ} \:∂_ν g^{σβ}+g^{σβ} \:∂_ν g_{κσ}$ ; $g_{κσ} \:∂_ν g^{σβ}=-g^{σβ} \:∂_ν g_{κσ}$ . • Par ailleurs : $D_ν g_{κσ}=∂_ν g_{κσ}-Γ_{σκν}-Γ_{κσν}=0$ ; donc : $∂_ν g_{κσ}=Γ_{σκν}+Γ_{κσν}$ . • Finalement : $g_{κσ} \:∂_ν g^{σβ}=-g^{σβ} .(Γ_{σκν}+Γ_{κσν} )$ .

2.b.	• On obtient en substituant : $R_{κλμν}=\left((Γ_{σκν}+Γ_{κσν} ) \:Γ_{\phantom{.}λμ}^σ-(Γ_{σκμ}+Γ_{κσμ} ) \:Γ_{\phantom{.}λν}^σ \right)+\frac{1}{2} \,(∂_{μλ} g_{νκ}-∂_{μκ} g_{λν}-∂_{νλ} g_{μκ}+∂_{νκ} g_{λμ} )\:⋯$ $⋯\:+g_{κσ} .(Γ_{\phantom{.}λν}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρμ}^σ-Γ_{\phantom{.}λμ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρν}^σ )$ ; $R_{κλμν}=\frac{1}{2} \,(∂_{λμ} g_{κν}+∂_{κν} g_{λμ}-∂_{κμ} g_{λν}-∂_{λν} g_{κμ} )+g_{αβ} .(Γ_{\phantom{.}λμ}^α \:Γ_{\phantom{.}κν}^β-Γ_{\phantom{.}κμ}^α \:Γ_{\phantom{.}λν}^β )$ .

Propriétés du tenseur de Ricci

• La relation :

Γ_{καβ}=\frac{1}{2} \,(∂_α g_{βκ}+∂_β g_{ακ}-∂_κ g_{αβ} )

implique en particulier :

Γ_{\phantom{.}αβ}^β=\frac{1}{2} \,g^{βκ} \:∂_α g_{βκ}

.
• Par ailleurs, la matrice inverse de

g_{βκ}

peut s'écrire

\displaystyle g^{βκ}=\frac{γ^{βκ}}{g}

en fonction du déterminant

g

et des mineurs

γ^{βκ}

des

g_{βκ}

. Ainsi :

∂_α g=γ^{βκ} \:∂_α g_{βκ}=g \:g^{βκ} \:∂_α g_{βκ}

.
• On obtient donc finalement :

\displaystyle Γ_{\phantom{.}αβ}^β=\frac{1}{2} \,g^{βκ} \:∂_α g_{βκ}=\frac{1}{2} \frac{∂_α g}{g}=\frac{∂_α (\sqrt{|g|}\,)}{\sqrt{|g|}}

• En partant de l'expression :

R_{λν}=∂_μ Γ_{\phantom{.}λν}^μ-∂_ν Γ_{\phantom{.}λμ}^μ+Γ_{\phantom{.}λν}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρμ}^μ-Γ_{\phantom{.}λμ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρν}^μ

, on peut considérer :

$\displaystyle Γ_{\phantom{.}λμ}^μ=\frac{∂_λ (\sqrt{|g|}\,)}{\sqrt{|g|}} =∂_λ \ln(\sqrt{|g|}\,)$ ; $∂_ν Γ_{\phantom{.}λμ}^μ=∂_{λν} \ln(\sqrt{|g|}\,)$ ;
$\displaystyle ∂_μ Γ_{\phantom{.}λν}^μ+Γ_{\phantom{.}λν}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρμ}^μ=∂_μ Γ_{\phantom{.}λν}^μ+\frac{∂_ρ (\sqrt{|g|}\,)}{\sqrt{|g|}} \:Γ_{\phantom{.}λν}^ρ=∂_μ Γ_{\phantom{.}λν}^μ+\frac{∂_μ (\sqrt{|g|}\,)}{\sqrt{|g|}} \:Γ_{\phantom{.}λν}^μ=\frac{∂_μ (\sqrt{|g|} \:Γ_{\phantom{.}λν}^μ )}{\sqrt{|g|}}$ .

• Ainsi, le tenseur de Ricci peut s'écrire :

\displaystyle R_{λν}=\frac{∂_μ (\sqrt{|g|}\:Γ_{\phantom{.}λν}^μ )}{\sqrt{|g|}} -∂_{λν} \ln(\sqrt{|g|}\,)-Γ_{\phantom{.}λμ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}νρ}^μ

Ondes électromagnétiques dans le vide

1.	• On peut considérer : $❑A_α=D^μ D_μ A_α=D^μ (D_μ A_α-D_α A_μ )+D_μ D_α A^μ =D^μ F_{μα}+D_μ D_α A^μ=D_μ D_α A^μ$ (dans le vide) ; $❑A_α=D_α (D_μ A^μ\,)+R_{\phantom{.}βμα}^μ \:A^β=R_{\phantom{.}βμα}^μ \:A^β$ (jauge de Lorenz) ; $❑A_α=R_{αβ} \:A^β=0$ (dans le vide).

2.a.	• On peut considérer : $D_μ F_{αβ}+D_α F_{βμ}+D_β F_{μα}=D_μ (D_α A_β-D_β A_α )+D_α (D_β A_μ-D_μ A_β )+D_β (D_μ A_α-D_α A_μ )$ $=(D_μ D_α-D_α D_μ ) A_β+(D_α D_β-D_β D_α ) A_μ+(D_β D_μ-D_μ D_β ) A_α$ $=-(R_{\phantom{.}βμα}^λ+R_{\phantom{.}μαβ}^λ +R_{\phantom{.}αβμ}^λ ) \:A_λ=0$ . ◊ remarque : par antisymétrie, la relation (faisant partie des équations de Maxwell) peut s'écrire avec les dérivées simples, donc elle découle simplement de celle en relativité restreinte.

2.b.	• On peut considérer : $❑F_{αβ}=D^μ D_μ F_{αβ}=D^μ (D_μ D_α A_β-D_μ D_β A_α )=D^μ \left(D_α D_μ A_β-R_{\phantom{.}βμα}^λ \:A_λ-D_β D_μ A_α +R_{\phantom{.}αμβ}^λ \:A_λ \right)$ . • Puisque $D_μ D^μ A_β=❑A_β=0$ et $R_{\phantom{.}λμα}^μ=R_{λα}=0$ , le premier et le troisième termes donnent : $D^μ D_α (D_μ A_β )=D_α D_μ (D^μ A_β )+R_{\phantom{.}λμα}^μ \:D^λ A_β-R_{\phantom{.}βμα}^λ \:D^μ A_λ=-R_{\phantom{.}βμα}^λ \:D^μ A_λ$ ; $D^μ D_β (D_μ A_α )=-R_{\phantom{.}αμβ}^λ \:D^μ A_λ$ ; ainsi : $D^μ (D_α D_μ A_β-D_β D_μ A_α )=-R_{λαμβ} \:F^{λμ}$ . • Par ailleurs : $(-R_{\phantom{.}βμα}^λ+R_{\phantom{.}αμβ}^λ ) \:D^μ A_λ=-R_{λαμβ} .(D^λ A^μ-D^μ A^λ \,)=-R_{λαμβ} \:F^{λμ}$ . • Enfin, compte tenu de $R_{μαλβ}-R_{μβλα}=R_{μλαβ}$ (d'après permutations $αλβ$ ) : $D^μ (-R_{\phantom{.}βμα}^λ+R_{\phantom{.}αμβ}^λ ) \:A_λ=D^μ R_{λμαβ} \:A^λ$ ; $❑F_{αβ}=-R_{αβμλ} \:F^{μλ}-D^μ R_{αβμλ} \:A^λ$ . ◊ remarque : on vérifie l'antisymétrie $αβ$ ; en outre seule une partie $μλ$ antisymétrique peut donner un produit non nul avec $F^{μλ}$ (l'écriture avec $μλ$ antisymétrique n'est pas indispensable mais elle simplifie). • Puisque la relation $❑F_{αβ}=0$ (covariante) est valable en relativité restreinte (où les dérivées permutent), elle semble devoir être valable aussi en relativité générale... même si ce n'est pas évident... • Un doute peut toutefois subsister, car les termes supplémentaires apparaissant ici ont eux aussi une forme covariante ; or, s'ils sont nuls dans un espace plat pour $R_{αβμλ}=0$ , il n'est pas évident qu'ils le soient dans un espace courbe.

2.c.	• On peut considérer : $❑F_{αβ}=D^μ D_μ F_{αβ} =D_μ D_α F_{\phantom{.}β}^μ-D_μ D_β F_{\phantom{.}α}^μ$ . • Puisque dans le vide $D_μ F_{\phantom{.}β}^μ=0$ mais aussi $R_{\phantom{.}λμα}^μ=R_{λα}=0$ , on peut écrire (et de même pour le second terme) : $D_μ D_α F_{\phantom{.}β}^μ=D_α (D_μ F_{\phantom{.}β}^μ)+R_{\phantom{.}λμα}^μ \:F_{\phantom{.}β}^λ-R_{λβμα} \:F^{μλ}=-R_{λβμα} \:F^{μλ}$ . • Au total, compte tenu de $R_{μαλβ}-R_{μβλα}=R_{μλαβ}$ (d'après permutations $αλβ$ ) on obtient : $❑F_{αβ}=-2 R_{μαλβ} \:F^{μλ}=-R_{αβμλ} \:F^{μλ}$ . • Il est intéressant de constater que le terme $D^μ R_{αβμλ} \:A^λ$ obtenu par un calcul précédent n'apparait pas ici, ce qui semble indiquer qu'il est nul, alors que cela n'a rien d'évident. • Puisque la relation $❑F_{αβ}=0$ (covariante) est valable en relativité restreinte (où les dérivées permutent), elle semble devoir être valable aussi en relativité générale... Cela n'a rien d'évident, mais il est tout aussi possible que le terme $R_{αβμλ} \:F^{μλ}$ soit lui aussi nul...

Statique des fluides

• La loi de conservation du tenseur d'énergie-impulsion peut s'écrire :

D_β T^{αβ}=0

, avec pour un fluide :

T^{αβ}=(\,𝓅+ε_0 ) \:u^α \,u^β-𝓅 \;g^{αβ}

.
• Ceci peut s'écrire :

∂_β (\,𝓅+ε_0 ) \:u^α \,u^β +(\,𝓅+ε_0 ) \:D_β (u^α \,u^β \,)-∂_β 𝓅 \;g^{αβ}=0

.
• Puisque la seule composante non nulle de

u^β

est

u^0

, l'indépendance du cas statique par rapport au temps permet de simplifier :

(\,𝓅+ε_0 ) \:D_β (u^α \,u^β \,)-∂_β 𝓅 \;g^{αβ}=0

.
• On peut utiliser :

$D_β (u^α \,u^β \,)=∂_β (u^α \,u^β \,)+Γ_{\phantom{.}λβ}^α \:u^λ \,u^β+Γ_{\phantom{.}λβ}^β \:u^α \,u^λ$ ;
$\displaystyle D_β (u^α \,u^β \,)=Γ_{\phantom{.}λβ}^α \:u^λ \,u^β +\frac{1}{\sqrt{|g|}} \:∂_β \left(\sqrt{|g|} \:u^α \,u^β\, \right)=Γ_{\phantom{.}λβ}^α \:u^λ \,u^β=Γ_{\phantom{.}00}^α \:u^0 \,u^0$ ;
$(\,𝓅+ε_0 ) \:Γ_{μ00} \:u^0 \,u^0-∂_μ 𝓅=0$ ; $(\,𝓅+ε_0 ) \: \frac{1}{2} \,∂_μ g_{00} \:u^0 \,u^0+∂_μ 𝓅=0$ .

• Compte tenu de :

g_{αβ} \:u^α \,u^β=g_{00} \:u^0 \,u^0=1

, on obtient (pour les composantes non nulles) :

$\displaystyle ∂_i 𝓅=-(\,𝓅+ε_0 ) \:\frac{1}{2 \,g_00} \:∂_i g_00=-(\,𝓅+ε_0 ) \:∂_i \left(\ln(\sqrt{g_{00}}\,)\right)$ .

• Par comparaison à la loi non relativiste, ceci revient à considérer la force volumique de gravitation comme décrite par le produit :

d'une “masse volumique équivalente” $\displaystyle μ_0+\frac{𝓅}{c^2}$ (incluant en plus l'effet de la pression) ;
d'un champ volumique dérivant du potentiel : $𝒱=c^2 \;\ln(\sqrt{g_{00}}\,)$ .

• La limite non relativiste correspond à :

|\,T_{ij} |≪|T_{00} |

; si on suppose

G_{ij}

négligeable (par rapport à

G_{00}

), on peut donc considérer :

R_{ij}≈\frac{1}{2} \,g_{ij} \:R

.
• L'approximation du champ faible correspond à :

g_{αβ}≈η_{αβ}

; ainsi :

$R_{11}≈R_{22}≈R_{33}≈-\frac{1}{2} \,R$ ; $R≈R_{00}+\frac{3}{2} \,R$ ; $R≈-2 \:R_{00}$ ; $G_{00}≈2 \:C \:R_{00}$ .

• Pour des champs faibles, selon un système de coordonnées asymptotiquement minkowskien, on peut négliger les termes quadratiques du tenseur de courbure :

$R_{λν}=g^{κμ} \:R_{κλμν}$ avec $R_{κλμν}≈\frac{1}{2} \, (∂_{λμ} g_{κν}+∂_{κν} g_{λμ}-∂_{κμ} g_{λν}-∂_{λν} g_{κμ} )$ .

• Ainsi, puisque les dérivées temporelles sont nulles pour le cas statique :

$R_{00}=-\frac{1}{2} \,g^{ij} \:∂_{ij} g_{00}$ ; $G_{00}≈-C \:g^{ij} \:∂_{ij} \:g_{00}≈-C \:η^{ij} \:∂_{ij} g_{00}=C \:\overset{→}{∇}^2 g_{00}$ .

• La condition limite

G_{00}=\overset{→}{∇}^2 g_{00}

impose donc

C=1

Constante cosmologique

1.a.	• Les équations du champ de gravitation peuvent s'écrire : $R^{αβ}-\frac{1}{2} \,g^{αβ} \:R=χ \:T^{αβ}$ , mais cela implique : $R-2 \:R=-R =χ \:T$ . • Ainsi : $R^{αβ}-\frac{1}{4} \,g^{αβ} \:R =\frac{1}{4} \,g^{αβ} \:R+χ \:T^{αβ}=χ .(T^{αβ}-\frac{1}{4} \,g^{αβ} \:T)$ .

1.b.	• Si on suppose que cette dernière forme est l'équation fondamentale, on ne peut rien en déduire directement sur la relation entre $R$ et $T$ (on obtient $0=0$ ). • Par contre, l'identité de Bianchi implique : $D_α (R^{αβ}-\frac{1}{2} \,g^{αβ} \:R)=0$ , donc : $D_α R^{αβ}=\frac{1}{2} \,g^{αβ} \:∂_α R$ . • Compte tenu de : $D_α T^{αβ}=0$ , on obtient : $\frac{1}{4} \,g^{αβ} \:∂_α R=χ .(-\frac{1}{4} \,g^{αβ} \:∂_α T)$ donc : $∂_α R=-χ \:∂_α T$ .

1.c.	• On obtient ainsi en intégrant : $R=-χ .(T+4 \,Λ)$ , où $Λ$ est une constante d'intégration (généralement nommée “constante cosmologique”). • En reportant dans l'équation précédente, peut généraliser les équations sous la forme : $R^{αβ}-\frac{1}{2} \,g^{αβ} \:R=-\frac{1}{4} \,g^{αβ} \:R+χ .(T^{αβ}-\frac{1}{4} \,g^{αβ} \:T)=χ .(T^{αβ}+Λ \:g^{αβ} )$ .

• Le terme “cosmologique” correspond à ajouter à l'énergie-impulsion “usuelle” une contribution de la forme :

{T'}^{αβ}=Λ \:g^{αβ}

.
• En comparant à l'expression générale

T^{αβ}=(\,𝓅+ε_0 ) \:u^α \,u^β-𝓅 \;g^{αβ}

, on constate que ceci décrit un (hypothétique) fluide parfait dont la pression serait négative :

𝓅=-Λ

et dont l'énergie volumique équivalente (“densité d'énergie du vide”) serait :

ε_0=Λ

Énergie-impulsion du champ de gravitation

1.	• Si on souhaite que le terme “classiquement” avec coefficient $\frac{1}{2}$ apparaisse avec coefficient $1$ ; on choisit la forme : $R^{αβ}-g^{αβ} \:R=(R^{αβ}-\frac{1}{2} \,g^{αβ} \:R\,)-\frac{1}{2} \,g^{αβ} \:R=χ \:T^{αβ}-\frac{1}{2} \,g^{αβ} \:R=χ .(T^{αβ}+\frac{1}{2} \,g^{αβ} \:T\,)$ .

• En notant ici encore :

ℛ_{αβ}=∂_μ Γ_{\phantom{.}αβ}^μ-∂_β Γ_{\phantom{.}αμ}^μ

les termes de dérivées secondes de l'équation d'Einstein (dans la forme souhaitée) correspondent à :

ℛ_{αβ}-g_{αβ} \:ℛ

. On doit alors faire passer dans l'autre membre :

(Γ_{\phantom{.}αμ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}βρ}^μ-Γ_{\phantom{.}αβ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρμ}^μ )-g_{αβ} \:g^{λν} .(Γ_{\phantom{.}λμ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}νρ}^μ-Γ_{\phantom{.}λν}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρμ}^μ )

; il faudrait donc pouvoir interpréter ces termes comme :

χ .(\tilde{𝒯}_{αβ}+\frac{1}{2} g_{αβ} \:\tilde{𝒯} )

.
• On peut poser pour simplifier :

χ \:\tilde{t}_{αβ}=Γ_{\phantom{.}αμ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}βρ}^μ-Γ_{\phantom{.}αβ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρμ}^μ

; ainsi :

𝒯_{αβ}=\tilde{t}_{αβ}-\frac{1}{2} \,g_{αβ} \:\tilde{t}

.
• En reportant dans l'équation d'Einstein, l'interprétation souhaitée impose ainsi :

$\tilde{𝒯}_{αβ}+\frac{1}{2} \,g_{αβ} \:\tilde{𝒯} =\tilde{t}_{αβ}-g_{αβ} \:\tilde{t}$ ; donc : $\tilde{𝒯}=-\tilde{t}$ ;
$\tilde{𝒯}_{αβ}=-\frac{1}{2} \,g_{αβ} \:\tilde{𝒯}+\tilde{t}_{αβ}-g_{αβ} \:\tilde{t}=\tilde{t}_{αβ}-\frac{1}{2} \,g_{αβ} \:\tilde{t}=𝒯_{αβ}$ .

• Ainsi le choix (semblant arbitraire) des coefficients dans l'écriture de l'équation d'Einstein ne change pas l'expression de

𝒯_{αβ}

Référentiel en rotation

1.a.	• La métrique du référentiel initial peut s'écrire : ${ds}^2=c^2 \,{dt}^2-{dr}^2-r^2 \:{dθ}^2-{dz}^2$ . • On décrit une rotation uniforme à la vitesse angulaire $ω$ par un simple changement de repérage : $θ'=θ-ω \:t$ . Ceci donne : ${ds}^2=(c^2-r^2 \:ω^2 ) \:{dt}^2-2 \,r^2 \:ω\:dt \:dθ'-{dr}^2-r^2 \:{dθ'}^2-{dz}^2$ .

1.b.	• Pour synchroniser les horloges en deux points voisins $A$ et $B$ , on peut émettre un signal en $A$ et le “renvoyer” dès son arrivée en $B$ . On peut alors considérer comme synchrones l'indication de l'horloge en $B$ , à l'instant du passage du signal, avec celle de l'horloge en $A$ au milieu de l'intervalle. • Des événements simultanés en $A$ et $B$ sont alors décalés : $\displaystyle dx^0=\frac{1}{2} \,[dx^0 (AB)-dx^0 (BA)] =-\frac{g_{0i} \:dx^i}{g_{00}}$ . Dans le cas considéré ici : $\displaystyle dt=\frac{2 \,r^2 \:ω \:dθ'}{c^2-r^2 \:ω^2}$ . • La synchronisation des horloges de proche en proche ne permet alors pas de synchroniser dans tout l'espace : l'intégrale sur un contour fermé n'est pas forcément nulle. Par exemple pour un cercle de rayon $r$ et d'axe $(Oz)$ , la “combinaison” de $t$ avec $θ'$ , défini modulo $2\,π$ , implique pour la variable temporelle une ambiguïté modulo $\displaystyle ∆t=\frac{2 \,r \:ω}{c^2-r^2 ω^2} \,\frac{2\,π \,r}{c}$ .

1.c.	• Les composantes $g_{tt}$ et $g_{tθ}$ dépendent de $r$ ; on peut donc (en principe) imaginer qu'un changement de coordonnées dépendant de $r$ puisse faire intervenir des contributions qui compensent les termes non diagonaux. On peut par exemple penser à une rotation à vitesse $ω(t,\,r)$ non nécessairement uniforme, mais la recherche d'une telle transformation (extrêmement improbable) n'est pas simple par cette approche.

2.a.	• Pour une métrique de la forme : ${ds}^2=A(r) \:c^2 \,{dt}^2-C(r) \:{dr}^2-r^2 \:{dθ}^2-E(r) \:{dz}^2$ , on obtient : $g_{00}=A$ ; $g_{11}=-C$ ; $g_{22}=-r^2$ ; $g_{33}=-E$ ; $\displaystyle g^{00}=\frac{1}{A}$ ; $\displaystyle g^{11}=-\frac{1}{C}$ ; $\displaystyle g^{22}=-\frac{1}{r^2}$ ; $\displaystyle g^33=-\frac{1}{E}$ ; $\displaystyle Γ_{001}=-Γ_{100}=\frac{A'}{2}$ ; $\displaystyle Γ_{111}=-\frac{C'}{2}$ ; $Γ_{221}=-Γ_{122}=-r$ ; $\displaystyle Γ_{331}=-Γ_{133}=-\frac{E'}{2}$ ; $\displaystyle Γ_{\phantom{.}01}^0=\frac{A'}{2\,A}$ ; $\displaystyle Γ_{\phantom{.}00}^1=\frac{A'}{2\,C}$ ; $\displaystyle Γ_{\phantom{.}11}^1=\frac{C'}{2\,C}$ ; $\displaystyle Γ_{\phantom{.}21}^2=\frac{1}{r}$ ; $\displaystyle Γ_{\phantom{.}22}^1=-\frac{r}{C}$ ; $\displaystyle Γ_{\phantom{.}31}^3=\frac{E'}{2\,E}$ ; $\displaystyle Γ_{\phantom{.}33}^1=-\frac{E'}{2\,C}$ .

2.b.	• On en déduit les équations du champ de gravitation qui, dans le vide, correspondent à : $R_{μν}=0$ ; en simplifiant : $\displaystyle \frac{A''}{A'}-\frac{A'}{2\,A}-\frac{C'}{2\,C}+\frac{1}{r}+\frac{E'}{2\,E}=0$ ( $R_{00}$ ) ; $\displaystyle -\frac{A''}{2\,A}+\frac{{A'}^2}{4 \,A^2}-\frac{E''}{2\,E} +\frac{{E'}^2}{4 \,E^2}+\frac{C'}{2\,C} \:\left(\frac{A'}{2\,A}+\frac{1}{r}+\frac{E'}{2\,E}\right)=0$ ( $R_{11}$ ) ; $\displaystyle \frac{C'}{2\,C}-\frac{A'}{2\,A}-\frac{E'}{2\,E}=0$ ( $R_{22}$ ) ; $\displaystyle \frac{E''}{E'}+\frac{A'}{2\,A}-\frac{C'}{2\,C} +\frac{1}{r}-\frac{E'}{2\,E}=0$ ( $R_{33}$ ).

2.c.	• La loi de la statique des fluides peut s'écrire : $\displaystyle 𝓅'=-(ε+𝓅) \:\frac{A'}{2\,A}$ ; la grandeur $\displaystyle -\frac{A'}{2\,A}$ y tient un rôle équivalent au champ de gravitation classique. Dans le cas d'un effet centrifuge, il faudrait donc une limite correspondant à : $\displaystyle -\frac{A'}{2\,A}≈\frac{r \:ω^2}{c^2}$ . • L'intégration donne : $\displaystyle A≈Cste .\left(1-\frac{r \:ω^2}{c^2} \right)$ ; avec $A=1$ sur l'axe, c'est effectivement ce qu'on obtient dans la question précédente.

2.d.	• La troisième équation donne : $\displaystyle \frac{C}{A\:E}=Cste$ ; donc d'après les conditions sur l'axe : $A \:E=C$ . • La combinaison avec la quatrième équation donne : $\displaystyle \frac{E''}{E'}+\frac{1}{r}-\frac{E'}{E}=0$ , puis : $\displaystyle \frac{r \,E'}{E}=α=Cste$ . • Une seconde intégration donne : $\displaystyle \frac{E}{r^α} =Cste$ ; donc d'après les conditions sur l'axe : $α=0$ ; $E=1$ . • Le report dans la troisième équation donne : $A=C$ . • Les deux premières équations se simplifient par ailleurs : $\displaystyle \frac{A''}{A'}-\frac{A'}{2\,A}-\frac{C'}{2\,C}+\frac{1}{r}=0$ ; $\displaystyle \frac{A''}{A'}-\frac{A'}{2\,A}-\frac{C'}{2\,C}-\frac{2\,A}{A'} \,\frac{C'}{2\,C} \,\frac{1}{r}=0$ . • La comparaison donne : $A \:C=Cste$ ; donc d'après les conditions sur l'axe : $A \:C=1$ . Ainsi finalement : $A=C=1$ . ◊ remarque : si on utilise $A=C$ dans les deux premières équations, elles deviennent équivalentes à : $\displaystyle \frac{A''}{A'}-\frac{A'}{A}+\frac{1}{r}=0$ ; on en déduit : $\displaystyle \frac{r\,A'}{A}=Cste$ , puis $A=1$ (comme pour $E$ ). • Il apparaît que, à part pour le référentiel d'inertie considéré initialement, il n'existe aucune métrique diagonale respectant les conditions requises (ce qui interdit toute synchronisation globale des horloges dans l'ensemble du référentiel).

Densité lagrangienne du champ de gravitation

• On peut partir de l'expression du tenseur de Ricci :

$\sqrt{|g|} \:R=\sqrt{|g|} \:g^{αβ} \: \left[∂_μ Γ_{\phantom{.}αβ}^μ-∂_β Γ_{\phantom{.}αμ}^μ +Γ_{\phantom{.}αβ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρμ}^μ -Γ_{\phantom{.}αμ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}βρ}^μ \right]$ .

• Le premier terme du second ordre peut s'écrire :

$\sqrt{|g|} \:g^{αβ} \:∂_μ Γ_{\phantom{.}αβ}^μ=∂_μ \left(\sqrt{|g|} \:g^{αβ} \:Γ_{\phantom{.}αβ}^μ \right)-g^{αβ} \:Γ_{\phantom{.}αβ}^μ \:∂_μ (\sqrt{|g|}\,)-\sqrt{|g|} \;Γ_{\phantom{.}αβ}^μ \:∂_μ g^{αβ}$ .

• On peut alors considérer :

$∂_μ (\sqrt{|g|}\,)=\sqrt{|g|} \;Γ_{\phantom{.}μρ}^ρ$ ;
$D_μ g^{αβ}=0$ ; $∂_μ g^{αβ}=-Γ_{\phantom{.}ρμ}^β \:g^{αρ}-Γ_{\phantom{.}ρμ}^α \:g^{ρβ}$ .

• Ceci donne en regroupant :

$\sqrt{|g|} \:g^{αβ} \:∂_μ Γ_{\phantom{.}αβ}^μ=∂_μ \left(\sqrt{|g|} \:g^{αβ} \:Γ_{\phantom{.}αβ}^μ \right)+\sqrt{|g|} \:g^{αβ} \:[2 \,Γ_{\phantom{.}αρ}^μ \:Γ_{\phantom{.}βμ}^ρ-Γ_{\phantom{.}αβ}^μ \:Γ_{\phantom{.}μρ}^ρ ]$ .

• Le deuxième terme du second ordre peut s'écrire :

$\sqrt{|g|} \:g^{αβ} \:∂_β Γ_{\phantom{.}αμ}^μ=∂_β \left(\sqrt{|g|} \:g^{αβ} \:Γ_{\phantom{.}αμ}^μ \right)-g^{αβ} \:Γ_{\phantom{.}αμ}^μ \:∂_β (\sqrt{|g|}\,)-\sqrt{|g|} \:Γ_{\phantom{.}αμ}^μ \:∂_β g^{αβ}$ .

• On peut alors considérer :

$∂_β (\sqrt{|g|}\,)=\sqrt{|g|} \;Γ_{\phantom{.}βρ}^ρ$ ;
$D_β g^{αβ} =0$ ; $∂_β g^{αβ}=-Γ_{\phantom{.}ρβ}^β \:g^{αρ}-Γ_{\phantom{.}ρβ}^α \:g^{ρβ}$ .

• Ceci donne en regroupant :

$\sqrt{|g|} \:g^{αβ} \:∂_β Γ_{\phantom{.}αμ}^μ=∂_β \left(\sqrt{|g|} \:g^{αβ} \:Γ_{\phantom{.}αμ}^μ \right)+\sqrt{|g|} \:g^{αβ} \:[Γ_{\phantom{.}αβ}^μ \:Γ_{\phantom{.}μρ}^ρ ]$ .

• Ainsi au total on peut définir

Λ

de la forme souhaitée, avec une constante multiplicative pour faire correspondre les unités (ce qui n'empêche pas de raisonner avec

R

) :

$\sqrt{|g|} \:R=\sqrt{|g|} \:2 \,c \,χ \:Λ+∂_μ \left(\sqrt{|g|} \:g^{αβ} \:Γ_{\phantom{.}αβ}^μ \right)-∂_β \left(\sqrt{|g|} \:g^{αβ} \:Γ_{\phantom{.}αμ}^μ \right)$ ;
$2 \,c \,χ \:Λ=g^{αβ} .[Γ_{\phantom{.}αβ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρμ}^μ-Γ_{\phantom{.}αμ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}βρ}^μ ]+2 \,g^{αβ} .[Γ_{\phantom{.}αμ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}βρ}^μ-Γ_{\phantom{.}αβ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρμ}^μ ]$ ;
$2 \,c \,χ \:Λ=g^{αβ} .[Γ_{\phantom{.}αμ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}βρ}^μ-Γ_{\phantom{.}αβ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρμ}^μ ]$ .

Équations d'Euler-Lagrange pour le champ de gravitation

• Quand on fait varier le “potentiel”

g_{μν}

, la variation de l'action correspond à :

$\displaystyle δ𝒮=∫ \left(\frac{∂(Λ \:\sqrt{|g|}\,)}{∂g_{μν}} \:δg_{μν} +\frac{∂(Λ \:\sqrt{|g|}\,)}{∂(∂_ρ g_{μν} )} \:δ(∂_ρ g_{μν} )\right) \; d^4 x$ .

• Le second terme peut s'écrire :

$\displaystyle ∫ \,\frac{∂(Λ \:\sqrt{|g|}\,)}{∂(∂_ρ g_{μν} )} \:δ(∂_ρ g_{μν} ) \;d^4 x=∫ \,\frac{∂(Λ \:\sqrt{|g|}\,)}{∂(∂_ρ g_{μν} )} \:∂_ρ (δg_{μν} ) \;d^4 x$
$\displaystyle =∫ \,∂_ρ \left(\frac{∂(Λ \:\sqrt{|g|}\,)}{∂(∂_ρ g_{μν} )} \:δg_{μν} \right) \;d^4 x-∫ \,∂_ρ \left(\frac{∂(Λ \:\sqrt{|g|}\,)}{∂(∂_ρ g_{μν} )}\right) \;δg_{μν} \;d^4 x$ .

• Or le quadrivecteur

\displaystyle 𝔙^ρ=\frac{∂(Λ \:\sqrt{|g|}\,)}{∂(∂_ρ g_{μν} )} \: δg_{μν}

a un flux nul à travers l'hyper-surface qui “borde” le quadri-volume d'intégration, puisque les variations

δg_{μν}

s'y annulent. D'après le théorème d'Ostrogradski, l'intégrale de sa divergence est nulle :

∫ \,∂_ρ𝔙^ρ \:d^4 x=0

.
• On peut alors simplifier :

\displaystyle δ𝒮=∫ \,\left(\frac{∂(Λ \:\sqrt{|g|}\,)}{∂g_{μν}}-∂_ρ \left(\frac{∂(Λ \:\sqrt{|g|}\,)}{∂(∂_ρ g_{μν} )} \right)\right) \;δg_{μν} \;d^4 x

.
• Ainsi l'extremum impose les relations d'Euler-Lagrange :

\displaystyle \frac{∂(Λ \:\sqrt{|g|}\,)}{∂g_{μν}}-∂_ρ \left(\frac{∂(Λ \:\sqrt{|g|}\,)}{∂(∂_ρ g_{μν} )} \right)=0

Variation de l'action du champ de gravitation

1.a.	• Puisque les $Γ_{\phantom{.}αβ}^μ$ ne sont pas des tenseurs, on peut proposer de justifier (L. Landau) que les variations $δΓ_{\phantom{.}αβ}^μ$ sont tensorielles en considérant que $Γ_{\phantom{.}αβ}^μ \:A_μ \:dx^β$ représente la variation de $A_α$ lors d'un transport parallèle infinitésimal (pour une métrique donnée). Ainsi $δΓ_{\phantom{.}αβ}^μ \:A_μ \:dx^β$ est la différence des variations de $A_α$ , avec ou sans variation de la métrique. • Les différences de vecteurs en un point donné, tant avant qu'après transport parallèle, étant des vecteurs, il semble que $δΓ_{\phantom{.}αβ}^μ \:A_μ \:dx^β$ est un vecteur et $δΓ_{\phantom{.}αβ}^μ$ est un tenseur. • Ce raisonnement comporte toutefois une ambiguïté : si la métrique n'est pas la même, rien de dit qu'on puisse simplement comparer, au point après transport parallèle, les vecteurs des espaces tangents pour les deux métriques. C'est au même point, mais ce n'est a priori pas le même espace tangent : il pourrait y avoir autant de différence entre ces deux espaces tangents qu'il y en a entre ceux avant et après transport parallèle. Si la différence est du second ordre (c'est le cas), on peut la négliger, mais ça n'apparait pas ici.

1.b.	• Il semble préférable (S. Weinberg) de développer les $δΓ_{\phantom{.}αβ}^μ$ pour les ré-exprimer en fonction de tenseurs : $Γ_{\phantom{.}αβ}^μ=g^{μρ} \:Γ_{ραβ}=g^{μρ} \:\frac{1}{2} \,(∂_α g_{βρ}+∂_β g_{αρ}-∂_ρ g_{αβ} )$ ; $δΓ_{\phantom{.}αβ}^μ=δg^{μρ} \:Γ_{ραβ}+g^{μρ} \:\frac{1}{2} \,\left(∂_α (δg_{βρ})+∂_β (δg_{αρ})-∂_ρ (δg_{αβ}) \right)$ ; $δ(g^{μρ} \:g_{ρσ} )=0$ ; $δg^{μρ}=-g^{ρσ} \:g^{μλ} \:δg_{λσ}$ ; $g^{μρ} \:Γ_{ραβ}=-g^{μλ} \:δg_{λσ} \:Γ_{\phantom{.}αβ}^σ$ ; $∂_α (δg_{βρ} )=D_α (δg_{βρ} )+Γ_{\phantom{.}βα}^λ \:δg_{λρ}+Γ_{\phantom{.}ρα}^λ \:δg_{βλ}$ (et analogues pour les deux autres termes) ; $δΓ_{\phantom{.}αβ}^μ=g^{μρ} \:\frac{1}{2} \,\left(D_α (δg_{βρ} )+D_β (δg_{αρ} )-D_ρ (δg_{αβ} )\right)$ (les autres termes se simplifient entre eux). • On peut ici encore se demander (dans l'avant dernière ligne) quels $Γ_{\phantom{.}βα}^λ$ utiliser puisque les $δg_{λρ}$ par lesquels ils sont multipliés sont des variations entre les deux métriques. Mais si on modifie au premier ordre $Γ_{\phantom{.}βα}^λ$ il est ici évident que la correction sur le produit est du second ordre, donc négligeable. • Ainsi $δΓ_{\phantom{.}αβ}^μ$ est un tenseur.

• La variation du tenseur de Ricci est un tenseur, donc pour simplifier on peut calculer la calculer dans un référentiel d'inertie (où les

Γ_{\phantom{.}αβ}^μ

sont nuls). Cela n'est possible que parce que les variations

δΓ_{\phantom{.}αβ}^μ

sont tensorielles.
• En raisonnant dans un référentiel d'inertie :

$∂_μ g^{αβ}=D_μ g^{αβ}= 0$ ;
$g^{αβ} \:δR_{αβ}=g^{αβ} \:\left(∂_μ (δΓ_{\phantom{.}αβ}^μ )-∂_β (δΓ_{\phantom{.}αμ}^μ )\right)=∂_μ \left(g^{αβ} \:δΓ_{\phantom{.}αβ}^μ-g^{αμ} \:δΓ_{\phantom{.}αβ}^β \right)$

$=D_μ (g^{αβ} \:δΓ_{\phantom{.}αβ}^μ-g^{αμ} \:δΓ_{\phantom{.}αβ}^β )$ .

• Cette dernière expression est valable dans un référentiel quelconque, ainsi :

$w^μ=g^{αβ} \:δΓ_{\phantom{.}αβ}^μ-g^{αμ} \:δΓ_{\phantom{.}αβ}^β$ est un vecteur ;
$\sqrt{|g|} \:g^{αβ} \:δR_{αβ}=\sqrt{|g|} \:D_μ w^μ=∂_μ (\sqrt{|g|}\:w^μ \,)$ .

• Dans l'action du champ gravitationnel, la contribution du tenseur de Ricci se ramène à une intégrale sur une hypersurface à l'infini, où les variations sont nulles, donc cette contribution est nulle :

$∫ \,g^{αβ} \:δR_{αβ} \:\sqrt{|g|} \;d^4 x =∫ \,∂_μ (\sqrt{|g|} \:w^μ \,) \;d^4 x$ .

Variation de l'action du champ de gravitation

1.a.

• Pour obtenir un “scalaire”

Λ

, on est amené à imposer trois contractions d'indices parmi six positions. Une représentation graphique par deux borniers triples peut aider un comptage méthodique ; chaque bornier a une position 1 “unique” et une paire de positions 2-3 équivalentes par symétrie. Une fois placées les deux premières connexions, la troisième est imposée (inutile de la représenter).
• On peut considérer les configurations sans connexions “internes” :

	en reliant entre elles les deux positions 1 : $g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{αμρ} \:Γ_{βνσ}$ (1a) (la seconde connexion peut être placée indifféremment d'après les symétries) ;

	en reliant les positions 1 à des positions autres : $g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{αμρ} \:Γ_{νβσ}$ (1b) (celles des positions 2-3 où on connecte importent peu d'après les symétries).

• On peut considérer les configurations avec connexions “internes” ; il ne peut y en avoir qu'une par bornier ; s'il y en a une sur un bornier, il n'y reste plus qu'une position, donc il y a aussi une connexion interne sur l'autre bornier :

	en reliant à une autre chacune des positions 1 : $g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{αβρ} \:Γ_{μνσ}$ (2a) (les bornes 2-3 auxquelles on connecte importent peu d'après les symétries) ;

	en reliant entre elles les positions 2-3 respectives : $g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{ραβ} \:Γ_{σμν}$ (2b) ;

	en reliant entre elles deux positions 2-3 : $g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{αβρ} \:Γ_{σμν}$ (2c) (celles des positions 2-3 connectées importent peu d'après la symétrie $Γ\;Γ$ ).

1.b.

• La combinaison utilisée pour l'expression

Λ

équivalente à

R

correspond à [(1b) − (2c)].

2.a_1a.	• On peut calculer la variation de cette partie de l'action : $δ𝒮=∫ \,Λ \;δ(\sqrt{\|g\|}\,)\;d^4 x+∫ \,δΛ \;\sqrt{\|g\|} \;d^4 x$ ; $2 \,c \,χ \:Λ=g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{αμρ} \:Γ_{βνσ}$ ; $δ(\sqrt{\|g\|}\,)=\frac{1}{2} \,\sqrt{\|g\|} \:g_{αβ} \:δg^{αβ}$ . • Les contributions des dérivées $∂_μ g_{αβ}$ interviennent par des termes qui peuvent se simplifier : $\displaystyle ∫ \,\frac{∂(Λ \:\sqrt{\|g\|}\,)}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} \:δ(∂_κ g_{ηλ} ) \;d^4 x =∫ \,\frac{∂(Λ \:\sqrt{\|g\|}\,)}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} \:∂_κ (δg_{ηλ} )\;d^4 x$ $\displaystyle =∫ \,∂_κ \left(\frac{∂(Λ \:\sqrt{\|g\|}\,)}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} \:δg_{ηλ} \right) \;d^4 x\;\,-∫ \,∂_κ \left(\frac{∂(Λ \:\sqrt{\|g\|}\,)}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} \right) \;δg_{ηλ} \;d^4 x$ . • Le premier des deux termes peut s'écrire $∫ \,∂_κ W^κ \:d^4 x$ et se ramène à une intégrale sur une hypersurface à la limite du système, où les variations sont nulles. • On obtient ainsi : $2 \,c \,χ \:δ𝒮=-\frac{1}{2} \,∫ \,2 \,c \,χ \:Λ \:g_{αβ} \:δg^{αβ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x+∫ \,δg^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{αμρ} \:Γ_{βνσ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x \;\;⋯$ $⋯\: +∫ \,g^{αβ} \:δg^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{αμρ} \:Γ_{βνσ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x+∫ \,g^{αβ} \:g^{μν} \:δg^{ρσ} \:Γ_{αμρ} \:Γ_{βνσ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x \;\;⋯$ $\displaystyle ⋯\: -∫ \,∂_κ \left[g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:\frac{∂(Γ_{αμρ} \:Γ_{βνσ} )}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} \right] \:\sqrt{\|g\|} \:δg_{ηλ} \;d^4 x \;\;⋯$ $\displaystyle ⋯\: -∫ \,g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:\frac{∂(Γ_{αμρ} \:Γ_{βνσ} )}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} \:∂_κ (\sqrt{\|g\|}\,) \;δg_{ηλ} \;d^4 x$ . • On peut ensuite décomposer les termes : $\displaystyle g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:\frac{∂(Γ_{αμρ} \:Γ_{βνσ} )}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} =g^{μν} \:g^{ρσ} \:\frac{∂(Γ_{αμρ} )}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} \:Γ_{\phantom{.}νσ}^α+g^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{\phantom{.}μρ}^β \:\frac{∂(Γ_{βνσ} )}{∂(∂_κ g_{ηλ} )}$ ; $\displaystyle \frac{∂(Γ_{αμρ} )}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} =\frac{1}{2} \,(δ_μ^κ \:δ_ρ^η \:δ_α^λ+δ_ρ^κ \:δ_μ^η \:δ_α^λ-δ_α^κ \:δ_μ^η \:δ_ρ^λ )$ (et de même pour les autres) ; $\displaystyle g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:\frac{∂(Γ_{αμρ} \:Γ_{βνσ} )}{∂(∂_κ g_{ηλ} )}=\frac{1}{2} \,(g^{κν} \:g^{ησ} \:Γ_{\phantom{.}νσ}^λ+g^{ην} \:g^{κσ} \:Γ_{\phantom{.}νσ}^λ-g^{ην} \:g^{λσ} \:Γ_{\phantom{.}νσ}^κ ) \;\;⋯$ $\displaystyle ⋯\: +\frac{1}{2} \,(g^{μκ} \:g^{ρη} \:Γ_{\phantom{.}μρ}^λ+g^{μη} \:g^{ρκ} Γ_{\phantom{.}μρ}^λ-g^{μη} \:g^{ρλ} \:Γ_{\phantom{.}μρ}^κ )$ ; $\displaystyle g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:\frac{∂(Γ_{αμρ} \:Γ_{βνσ} )}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} =2 \,g^{κμ} \:g^{ηρ} \:Γ_{\phantom{.}μρ}^λ-g^{ημ} \:g^{λρ} \:Γ_{\phantom{.}μρ}^κ$ ; $\displaystyle ∂_κ \left[g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:\frac{∂(Γ_{αμρ} \:Γ_{βνσ} )}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} \right]=2\,∂_κ g^{κμ} \:g^{ηρ} \:Γ_{\phantom{.}μρ}^λ+2 \,g^{κμ} \:∂_κ g^{ηρ} \:Γ_{\phantom{.}μρ}^λ +2 \,g^{κμ} \:g^{ηρ} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}μρ}^λ \;\;⋯$ $⋯\: - ∂_κ g^{ημ} \:g^{λρ} \:Γ_{\phantom{.}μρ}^κ-g^{ημ} \:∂_κ g^{λρ} \:Γ_{\phantom{.}μρ}^κ-g^{ημ} \:g^{λρ} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}μρ}^κ$ ; $D_κ g^{αβ}=0$ ; $∂_κ g^{αβ}=-Γ_{\phantom{.}ρκ}^β \:g^{αρ}-Γ_{\phantom{.}ρκ}^α \:g^{ρβ}$ ; $\displaystyle ∂_κ \left[g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:\frac{∂(Γ_{αμρ} \:Γ_{βνσ} )}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} \right]=-2 \,g^{κρ} \:g^{ησ}\:Γ_{\phantom{.}ρκ}^μ \:Γ_{\phantom{.}μσ}^λ-2 \,g^{ρμ} \:g^{ησ} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^κ \:Γ_{\phantom{.}μσ}^λ \;\;⋯$ $⋯\: -g^{κμ} \:g^{ησ} \:Γ_{\phantom{.}σκ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}μρ}^λ-2 \,g^{κμ} \:g^{σρ} \:Γ_{\phantom{.}σκ}^η \:Γ_{\phantom{.}μρ}^λ+2 \,g^{κμ} \:g^{ηρ} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}μρ}^λ \;\;⋯$ $⋯\: +2 \,g^{ηρ} \:g^{λσ} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^μ \:Γ_{\phantom{.}μσ}^κ +g^{ρμ} \:g^{λσ} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^η \:Γ_{\phantom{.}μσ}^κ- g^{ημ} \:g^{λρ} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}μρ}^κ$ ; $∂_κ (\sqrt{\|g\|}\,)=\sqrt{\|g\|} \;Γ_{\phantom{.}κρ}^ρ$ ; $δg_{ηλ}=-g_{λβ} \:g_{ηα} \:δg^{αβ}$ ; $2 \,c \,χ \:δ𝒮=-\frac{1}{2} \,∫ \,g^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{κμρ} \:Γ_{\phantom{.}νσ}^κ \:g_{αβ} \:δg^{αβ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x\:+∫ \,δg^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{αμρ} \:Γ_{βνσ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x \;\;⋯$ $⋯\: +∫ \,g^{κη} \:δg^{αβ} \:g^{ρσ} \:Γ_{καρ} \:Γ_{ηβσ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x\:+∫ \,g^{κη} \:g^{μν} \:δg^{αβ} \:Γ_{κμα} \:Γ_{ηνβ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x \;\;⋯$ $⋯\: +∫ \,{\color{Magenta} \left[ } -2 \,g^{κρ} \:g^{ησ} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^ \:Γ_{\phantom{.}μσ}^λ-2 \,g^{ρμ} \:g^{ησ} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^κ \: Γ_{\phantom{.}μσ}^λ \;\;{\color{Magenta} ⋯ }\right.$ ${\color{Magenta} ⋯ }\: -g^{κμ} \:g^{ησ} \:Γ_{\phantom{.}σκ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}μρ}^λ-2 \,g^{κμ} \:g^{σρ} \:Γ_{\phantom{.}σκ}^η \:Γ_{\phantom{.}μρ}^λ+2 \,g^{κμ} \:g^{ηρ} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}μρ}^λ \;\;{\color{Magenta} ⋯}$ ${\color{Magenta} ⋯}\: +2 \,g^{ηρ} \:g^{λσ} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^μ \:Γ_{\phantom{.}μσ}^κ+g^{ρμ} \:g^{λσ} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^η \:Γ_{\phantom{.}μσ}^κ- g^{ημ} \:g^{λρ} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}μρ}^κ \;\;{\color{Magenta} ⋯}$ $\left. {\color{Magenta} ⋯} {}_{}^{} {\color{Magenta} \right]} \:\sqrt{\|g\|} \:g_{λβ} \:g_{ηα} \:δg^{αβ} \:d^4 x \;\;⋯$ $⋯\: +∫ \,[2 \,g^{κμ} \:g^{ηρ} \:Γ_{\phantom{.}μρ}^λ-g^{ημ} \:g^{λρ} \:Γ_{\phantom{.}μρ}^κ ] \:\sqrt{\|g\|} \:Γ_{\phantom{.}κσ}^σ \:g_{λβ} \:g_{ηα} \:δg^{αβ} \:d^4 x$ ; $D_κ g_{λβ}=0$ ; $∂_κ g_{λβ}=Γ_{βλκ}+Γ_{λβκ}$ . • Parmi les simplifications, on peut éliminer le terme antisymétrique $g^{μν} \:Γ_{αμκ} \:Γ_{\phantom{.}νβ}^κ-g^{μν} \:Γ_{βμκ} \:Γ_{\phantom{.}να}^κ$ dont le produit par $δg^{αβ}$ symétrique est identiquement nul. • On peut alors écrire : $2 \,c \,χ \:δ𝒮=∫ \,H_{αβ} \:δg^{αβ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x$ avec : ${}^{(1a)}H_{αβ} =- ∂_κ Γ_{\phantom{.}αβ}^κ+2 \,g^{κμ} \:∂_κ Γ_{βμα}+2 \,Γ_{\phantom{.}ακ}^μ \:Γ_{\phantom{.}μβ}^κ-Γ_{\phantom{.}αβ}^κ \:Γ_{\phantom{.}κσ}^σ-2 \,g^{κρ} \:Γ_{βαμ} \:Γ_{\phantom{.}κρ}^μ \;\;⋯$ $⋯\: -2 \,g^{κρ} \:Γ_{βκμ} \:Γ_{\phantom{.}αρ}^μ-g^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{αμρ} \:Γ_{βνσ}-\frac{1}{2} \,g_{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{κμρ} \:Γ_{\phantom{.}νσ}^κ$ .

2.a_1b.	• On applique la même méthode pour $2 \,c \,χ \:Λ=g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{αμρ} \:Γ_{νβσ}$ . • On obtient ainsi : $2 \,c \,χ \:δ𝒮=-\frac{1}{2} \,∫ \,2 \,c \,χ \:Λ \:g_{αβ} \:δg^{αβ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x\:+∫ \,δg^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{αμρ} \:Γ_{νβσ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x \;\;⋯$ $⋯\: +∫ \,g^{αβ} \:δg^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{αμρ} \:Γ_{νβσ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x\:+∫ \,g^{αβ} \:g^{μν} \:δg^{ρσ} \:Γ_{αμρ} \:Γ_{νβσ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x \;\;⋯$ $\displaystyle ⋯\: -∫ \,∂_κ \left[g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:\frac{∂(Γ_{αμρ} \:Γ_{νβσ} )}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} \right] \:\sqrt{\|g\|} \:δg_{ηλ} \;d^4 x \;\;⋯$ $\displaystyle ⋯\: -∫ \,g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:\frac{∂(Γ_{αμρ} \:Γ_{νβσ} )}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} \:∂_κ (\sqrt{\|g\|}\,) \:δg_{ηλ} \;d^4 x$ . • On peut ensuite décomposer les termes : $\displaystyle g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:\frac{∂(Γ_{αμρ} \:Γ_{νβσ} )}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} =g^{αβ} \:g^{ρσ} \:\frac{∂(Γ_{αμρ} )}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} \:Γ_{\phantom{.}βσ}^μ+g^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{\phantom{.}μρ}^β \:\frac{∂(Γ_{νβσ} )}{∂(∂_κ g_{ηλ} )}$ ; $\displaystyle g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:\frac{∂(Γ_{αμρ} \:Γ_{νβσ} )}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} =g^{λμ} \:g^{ησ} \:Γ_{\phantom{.}μσ}^κ$ ; $\displaystyle ∂_κ \left[g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:\frac{∂(Γ_{αμρ} \:Γ_{νβσ} )}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} \right]=∂_κ g^{λμ} \:g^{ησ} \:Γ_{\phantom{.}μσ}^κ+g^{λμ} \:∂_κ g^{ησ} \:Γ_{\phantom{.}μσ}^κ+g^{λμ} \:g^{ησ} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}μσ}^κ$ ; $\displaystyle ∂_κ \left[g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:\frac{∂(Γ_{αμρ} \:Γ_{νβσ} )}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} \right]=-g^{λρ} \:g^{ησ} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^μ \:Γ_{\phantom{.}μσ}^κ-g^{ρμ} \:g^{ησ} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^λ \:Γ_{\phantom{.}μσ}^κ-g^{λμ} \:g^{ηρ} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^σ \:Γ_{\phantom{.}μσ}^κ \;\;⋯$ $⋯\: -g^{λμ} \:g^{ρσ} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^η \:Γ_{\phantom{.}μσ}^κ+g^{λμ} \:g^{ησ} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}μσ}^κ$ ; $2 \,c \,χ \:δ𝒮=-\frac{1}{2} \,∫ \,g^{ρσ} \:Γ_{\phantom{.}μρ}^ν \:Γ_{\phantom{.}νσ}^μ \:g_{αβ} \:δg^{αβ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x\:+∫ \,δg^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{αμρ} \:Γ_{νβσ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x \;\;⋯$ $⋯\: +∫ \,g^{κη} \:δg^{αβ} \:g^{ρσ} \:Γ_{καρ} \:Γ_{βησ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x\: +∫ \,g^{κη} \:g^{μν} \:δg^{αβ} \:Γ_{κμα} \:Γ_{νηβ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x \;\;⋯$ $⋯\: +∫\,{\color{Magenta} \left[}- g^{λρ} \:g^{ησ}\: Γ_{\phantom{.}ρκ}^μ \:Γ_{\phantom{.}μσ}^κ-g^{ρμ} \:g^{ησ}\: Γ_{\phantom{.}ρκ}^λ \:Γ_{\phantom{.}μσ}^κ \;\;{\color{Magenta} ⋯}\right.$ ${\color{Magenta} ⋯}\: -g^{λμ} \:g^{ηρ} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^σ \:Γ_{\phantom{.}μρ}^λ-g^{λμ} \:g^{ρσ} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^η \:Γ_{\phantom{.}μσ}^κ+ g^{λμ} \:g^{ησ} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}μσ}^κ \;\;{\color{Magenta} ⋯}$ $\left. {\color{Magenta} ⋯} {}_{}^{} {\color{Magenta}\right]} \:\sqrt{\|g\|} \:g_{λβ} \:g_{ηα} \:δg^{αβ} \;d^4 x \;\;⋯$ $⋯\: +∫ \,[g^{λμ} \:g^{ησ} \:Γ_{\phantom{.}μσ}^κ ] \:\sqrt{\|g\|} \:Γ_{\phantom{.}κρ}^ρ \:g_{λβ} \:g_{ηα} \:δg^{αβ} \;d^4 x$ . • On peut alors écrire : $2 \,c \,χ \:δ𝒮=∫ \,H_{αβ} \:δg^{αβ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x$ avec : ${}^{(1b)}H_{αβ} = ∂_κ Γ_{\phantom{.}αβ}^κ+Γ_{\phantom{.}αβ}^κ \:Γ_{\phantom{.}κρ}^ρ-Γ_{\phantom{.}ακ}^σ \:Γ_{\phantom{.}βσ}^κ-\frac{1}{2} \,g_{αβ} \:g^{ρσ} \:Γ_{\phantom{.}μρ}^ν \:Γ_{\phantom{.}νσ}^μ$ .

2.a_2a.	• On applique la même méthode pour $2 \,c \,χ \:Λ=g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{αβρ} \:Γ_{μνσ}$ . • On obtient ainsi : $2 \,c \,χ \:δ𝒮=-\frac{1}{2} \,∫ \,2 \,c \,χ \:Λ \:g_{αβ} \:δg^{αβ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x\:+∫ \,δg^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{αβρ} \:Γ_{μνσ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x \;\;⋯$ $⋯\: +∫ \,g^{αβ} \:δg^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{αβρ} \:Γ_{μνσ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x\:+∫ \,g^{αβ} \:g^{μν} \:δg^{ρσ} \:Γ_{αβρ} \:Γ_{μνσ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x \;\;⋯$ $\displaystyle ⋯\: -∫ \,∂_κ \left[g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:\frac{∂(Γ_{αβρ} \:Γ_{μνσ} )}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} \right] \:\sqrt{\|g\|} \:δg_{ηλ} \;d^4 x \;\;⋯$ $\displaystyle ⋯\: -∫ \,g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:\frac{∂(Γ_{αβρ} \:Γ_{μνσ} )}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} \:∂_κ (\sqrt{\|g\|}\,) \:δg_{ηλ} \;d^4 x$ . • On peut ensuite décomposer les termes : $\displaystyle g^{αβ} \:g^{μν}\: g^{ρσ} \:\frac{∂(Γ_{αβρ} \:Γ_{μνσ} )}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} =\frac{1}{2} \,(g^{λκ} \:g^{ησ} \:Γ_{\phantom{.}νσ}^ν+g^{λη} \:g^{κσ} \:Γ_{\phantom{.}νσ}^ν-g^{κη} \:g^{λσ} \:Γ_{\phantom{.}νσ}^ν ) \;\;⋯$ $⋯\: +\frac{1}{2} \,(g^{λκ} \:g^{ρη} \:Γ_{\phantom{.}βρ}^β+g^{λη} \:g^{ρκ} \:Γ_{\phantom{.}βρ}^β-g^{κη} \:g^{ρλ} \:Γ_{\phantom{.}βρ}^β )$ ; $\displaystyle g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:\frac{∂(Γ_{αβρ} \:Γ_{μνσ} )}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} =g^{λκ} \:g^{ησ} \:Γ_{\phantom{.}νσ}^ν+g^{λη} \:g^{κσ} \:Γ_{\phantom{.}νσ}^ν-g^{κη} \:g^{λσ} \:Γ_{\phantom{.}νσ}^ν$ ; $\displaystyle ∂_κ \left[g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:\frac{∂(Γ_{αβρ} \:Γ_{μνσ} )}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} \right]=-g^{ρκ} \:g^{ησ} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^λ \:Γ_{\phantom{.}νσ}^ν-2 \,g^{λρ} \:g^{κσ} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^η \:Γ_{\phantom{.}νσ}^ν+g^{λκ} \:g^{ησ} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}νσ}^ν \;\;⋯$ $⋯\: -g^{λη} \:g^{κρ} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^σ \:Γ_{\phantom{.}νσ}^ν-g^{λη} \:g^{ρσ} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^κ \:Γ_{\phantom{.}νσ}^ν+g^{λη} \:g^{κσ} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}νσ}^ν \;\;⋯$ $⋯\: +g^{κρ} \:g^{λσ} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^η \:Γ_{\phantom{.}νσ}^ν-g^{κη} \:g^{λσ} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}νσ}^ν$ ; $2 \,c \,χ \:δ𝒮=-\frac{1}{2} \,∫ \,g^{ρσ} \:Γ_{\phantom{.}βρ}^β \:Γ_{\phantom{.}νσ}^ν \:g_{αβ} \:δg^{αβ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x\:+∫ \,δg^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{αβρ} \:Γ_{μνσ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x \;\;⋯$ $⋯\: +∫ \,g^{κη} \:δg^{αβ} \:g^{ρσ} \:Γ_{κηρ} \:Γ_{αβσ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x\:+∫ \,g^{κη} \:g^{μν} \:δg^{αβ} \:Γ_{κηα} \:Γ_{μνβ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x \;\;⋯$ $⋯\: +∫\,{/color{Magenta}\left[}- g^{ρκ} \:g^{ησ} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^λ \:Γ_{\phantom{.}νσ}^ν-2 \,g^{λρ} \:g^{κσ} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^η \:Γ_{\phantom{.}νσ}^ν + g^{λκ} \:g^{ησ} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}νσ}^ν \;\;{/color{Magenta}⋯}\right.$ ${/color{Magenta}⋯}\: -g^{λη} \:g^{κρ} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^σ \:Γ_{\phantom{.}νσ}^ν-g^{λη} \:g^{ρσ} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^κ \:Γ_{\phantom{.}νσ}^ν+ g^{λη} \:g^{κσ} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}νσ}^ν \;\;{/color{Magenta}⋯}$ ${/color{Magenta}⋯}\: +g^{κρ} \:g^{λσ} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^η \:Γ_{\phantom{.}νσ}^ν- g^{κη} \:g^{λσ} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}νσ}^ν \;\;{/color{Magenta}⋯}$ $\left. {/color{Magenta}⋯} {}_{}^{} {/color{Magenta}\right]} \:\sqrt{\|g\|} \:g_{λβ} \:g_{ηα} \:δg^{αβ} \;d^4 x\;\;⋯$ $⋯\: +∫\,[g^{λκ} \:g^{ησ} \:Γ_{\phantom{.}νσ}^ν+g^{λη} \:g^{κσ} \:Γ_{\phantom{.}νσ}^ν-g^{κη} \:g^{λσ} \:Γ_{\phantom{.}νσ}^ν ] \:\sqrt{\|g\|} \:Γ_{\phantom{.}κρ}^ρ \:g_{λβ} \:g_{ηα} \:δg^{αβ} \;d^4 x$ . • Parmi les simplifications, on peut éliminer les termes antisymétriques, dont le produit par $δg^{αβ}$ symétrique est identiquement nul : $∂_β Γ_{\phantom{.}να}^ν-∂_α Γ_{\phantom{.}νβ}^ν$ ; $g^{κρ} \:Γ_{ακρ} \:Γ_{\phantom{.}νβ}^ν-g^{κρ} \:Γ_{βκρ} \:Γ_{\phantom{.}να}^ν$ . • On peut alors écrire : $2 \,c \,χ \:δ𝒮=∫ \,H_{αβ} \:δg^{αβ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x$ avec : ${}^{(2a)}H_{αβ} =Γ_{\phantom{.}ακ}^κ \:Γ_{\phantom{.}νβ}^ν -\frac{1}{2} \,g_{αβ} \:[-2 \,g^{κσ} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}σν}^ν+g^{ρσ} \:Γ_{\phantom{.}κρ}^κ \:Γ_{\phantom{.}νσ}^ν+2 \,g^{κρ} \:Γ_{\phantom{.}κρ}^σ \:Γ_{\phantom{.}σν}^ν ]$ .

2.a_2b.	• On applique la même méthode pour $2 \,c \,χ \:Λ=g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{ραβ} \:Γ_{σμν}$ . • On obtient ainsi : $2 \,c \,χ \:δ𝒮=-\frac{1}{2} \,∫ \,2 \,c \:χ \:Λ \:g_{αβ} \:δg^{αβ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x\:+∫ \,δg^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{ραβ} \:Γ_{σμν} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x \;\;⋯$ $⋯\: +∫ \,g^{αβ} \:δg^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{ραβ} \:Γ_{σμν} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x\:+∫ \,g^{αβ} \:g^{μν} \:δg^{ρσ} \:Γ_{ραβ} \:Γ_{σμν} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x \;\;⋯$ $\displaystyle ⋯\: -∫ \,∂_κ \left[g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:\frac{∂(Γ_{ραβ} \:Γ_{σμν} )}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} \right] \:\sqrt{\|g\|} \:δg_{ηλ} \;d^4 x \;\;⋯$ $\displaystyle ⋯\: -∫ \,g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:\frac{∂(Γ_{ραβ} \:Γ_{σμν} )}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} \:∂_κ (\sqrt{\|g\|}\,) \:δg_{ηλ} \;d^4 x$ . • On peut ensuite décomposer les termes : $\displaystyle g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:\frac{∂(Γ_{ραβ} \:Γ_{σμν} )}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} =2 \,g^{κη} \:g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}μν}^λ-g^{ηλ} \:g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}μν}^κ$ ; $\displaystyle ∂_κ \left[g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:\frac{∂(Γ_{ραβ} \:Γ_{σμν} )}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} \right]=-2 \,g^{κρ} \:g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^η \:Γ_{\phantom{.}μν}^λ-2 \,g^{ρη} \:g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^κ \:Γ_{\phantom{.}μν}^λ \;\;⋯$ $⋯\: -4 \,g^{κη} \:g^{μρ} \:Γ_{\phantom{.}κρ}^ν \:Γ_{\phantom{.}μν}^λ+g^{κρ} \:g^{ημ} \:Γ_{\phantom{.}κρ}^ν \:Γ_{\phantom{.}μν}^λ+2 \,g^{κη} \:g^{μν} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}μν}^λ \;\;⋯$ $⋯\: +g^{ρλ} \:g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^η \:Γ_{\phantom{.}μν}^κ+2 \,g^{ηλ} \:g^{μρ} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^ν \:Γ_{\phantom{.}μν}^κ-g^{ηλ} \:g^{μν} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}μν}^κ$ ; $2 \,c \,χ \:δ𝒮=-\frac{1}{2} \,∫ \,g^{κη} \:g^{μν} \:Γ_{ρκη} \:Γ_{\phantom{.}μν}^ρ \:g_{αβ} \:δg^{αβ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x\:+∫ \,δg^{αβ} \:g^{μν}\: g^{ρσ} \:Γ_{ραβ} \:Γ_{σμν} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x \;\;⋯$ $⋯\: +∫ \,g^{κη} \:δg^{αβ} \:g^{ρσ} \:Γ_{ρκη} \:Γ_{σαβ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x\:+∫ \,g^{κη} \:g^{μν} \:δg^{αβ} \:Γ_{ακη} \:Γ_{βμν} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x \;\;⋯$ $⋯\: +∫ \,{\color{Magenta}\left[}-2 \,g^{κρ} \:g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^η \:Γ_{\phantom{.}μν}^λ-2 \,g^{ρη} \:g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^κ \:Γ_{\phantom{.}μν}^λ \;\;{\color{Magenta}⋯}\right.$ ${\color{Magenta}⋯}\: -4 g^{κη} \:g^{μρ} \:Γ_{\phantom{.}κρ}^ν \:Γ_{\phantom{.}μν}^λ+g^{κρ} \:g^{ημ} \:Γ_{\phantom{.}κρ}^ν \:Γ_{\phantom{.}μν}^λ+2 \,g^{κη} \:g^{μν} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}μν}^λ \;\;{\color{Magenta}⋯}$ ${\color{Magenta}⋯}\: +g^{ρλ} \:g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^η \:Γ_{\phantom{.}μν}^κ+2 \,g^{ηλ} \:g^{μρ} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^ν \:Γ_{\phantom{.}μν}^κ-g^{ηλ} \:g^{μν} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}μν}^κ \;\;{\color{Magenta}⋯}$ $\left. {\color{Magenta}⋯} { }_{ }^{ } {\color{Magenta}\right]} \:\sqrt{\|g\|} \:g_{λβ} \:g_{ηα} \:δg^{αβ} \;d^4 x \;\;⋯$ $⋯\: +∫ \,[2 \,g^{κη} \:g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}μν}^λ-g^{ηλ} \:g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}μν}^κ ] \:\sqrt{\|g\|} \:Γ_{\phantom{.}κρ}^ρ \:g_{λβ} \:g_{ηα} \:δg^{αβ} \;d^4 x$ . $D_α g_{λβ}=0$ ; $∂_α g_{λβ}=Γ_{βλα}+Γ_{λβα}$ . • Parmi les simplifications, on peut éliminer le terme antisymétrique, dont le produit par $δg^{αβ}$ symétrique est identiquement nul : $g^{μν} \:Γ_{αβκ} \:Γ_{\phantom{.}μν}^κ-g^{μν} \:Γ_{βακ} \:Γ_{\phantom{.}μν}^κ$ . • On peut alors écrire : $2 \,c \,χ \:δ𝒮=∫ \,H_{αβ} \:δg^{αβ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x$ avec : ${}^{(2b)}H_{αβ} =2 \,g^{μν} \:∂_α Γ_{βμν}-g^{κη} \:g^{μν} \:Γ_{ακη} \:Γ_{βμν}-4 \,g^{μρ} \:Γ_{\phantom{.}αρ}^ν \:Γ_{βμν} \;\;⋯$ $⋯\: -\frac{1}{2} \,g_{αβ} \:\left[2 \,g^{μν} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}μν}^κ+2 \,g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}μν}^κ \:Γ_{\phantom{.}κρ}^ρ-4 \,g^{μρ} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^ν \:Γ_{\phantom{.}μν}^κ+g^{κη} \:g^{μν} \:Γ_{ρκη} \:Γ_{\phantom{.}μν}^ρ \right]$ .

2.a_2c.	• On applique la même méthode pour $2 \,c \,χ \:Λ=g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{αβρ} \:Γ_{σμν}$ . • On obtient ainsi : $2 \,c \,χ \:δ𝒮=-\frac{1}{2} \,∫ \,2 \,c \:χ \:Λ \:g_{αβ} \:δg^{αβ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x\:+∫ \,δg^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{αβρ} \:Γ_{σμν} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x \;\;⋯$ $⋯\: +∫ \,g^{αβ} \:δg^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{αβρ} \:Γ_{σμν} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x\:+∫ \,g^{αβ} \:g^{μν} \:δg^{ρσ} \:Γ_{αβρ} \:Γ_{σμν} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x \;\;⋯$ $\displaystyle ⋯\: -∫ \,∂_κ \left[g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:\frac{∂(Γ_{αβρ} \:Γ_{σμν} )}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} \right] \:\sqrt{\|g\|} \:δg_{ηλ} \;d^4 x \;\;⋯$ $\displaystyle ⋯\: -∫ \,g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:\frac{∂(Γ_{αβρ} \:Γ_{σμν} )}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} \:∂_κ (\sqrt{\|g\|}\,) \:δg_{ηλ} \;d^4 x$ . • On peut ensuite décomposer les termes : $\displaystyle g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:\frac{∂(Γ_{αβρ} \:Γ_{σμν} )}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} =\frac{1}{2} \,(g^{λκ} \:g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}μν}^η+g^{λη} \:g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}μν}^κ-g^{κη} \:g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}μν}^λ ) \;\;⋯$ $⋯\: +\frac{1}{2} \,(2 \,g^{κη} \:g^{ρλ} \:Γ_{\phantom{.}βρ}^β-g^{ηλ} \:g^{ρκ} \:Γ_{\phantom{.}βρ}^β )$ ; $\displaystyle ∂_κ \left[g^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:\frac{∂(Γ_{αβρ} \:Γ_{σμν} )}{∂(∂_κ g_{ηλ} )} \right]=\frac{1}{2}\, (-g^{λρ} \:g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^κ \:Γ_{\phantom{.}μν}^η-2 \,g^{λκ} \:g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^ν \:Γ_{\phantom{.}μν}^η+g^{λκ} \:g^{μν} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}μν}^η ) \;\;⋯$ $⋯\: +\frac{1}{2} \,(-g^{λρ} \:g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^η \:Γ_{\phantom{.}μν}^κ-g^{ρη} \:g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^λ \:Γ_{\phantom{.}μν}^κ-2 \,g^{λη} \:g^{μρ} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^ν \:Γ_{\phantom{.}μν}^κ+g^{λη} \:g^{μν} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}μν}^κ ) \;\;⋯$ $⋯\: +\frac{1}{2} \,(g^{ρη} \:g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^κ \:Γ_{\phantom{.}μν}^λ+2 \,g^{νη} \:g^{ρμ} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^λ \:Γ_{\phantom{.}μν}^κ-g^{κη} \:g^{μν} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}μν}^λ ) \;\;⋯$ $⋯\: -g^{κμ} \:g^{ρλ} \:Γ_{\phantom{.}μκ}^η \:Γ_{\phantom{.}βρ}^β-g^{μη} \:g^{ρλ} \:Γ_{\phantom{.}μκ}^κ \:Γ_{\phantom{.}βρ}^β \;\;⋯$ $⋯\: +\frac{1}{2} \,(-g^{κη} \:g^{σμ} \:Γ_{\phantom{.}μκ}^λ \:Γ_{\phantom{.}βσ}^β-2 \,g^{κη} \:g^{μλ} \:Γ_{\phantom{.}μκ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}βρ}^β+2 \,g^{κη} \:g^{ρλ} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}βρ}^β ) \;\;⋯$ $⋯\: +\frac{1}{2} \,(g^{μλ} \:g^{ρκ} \:Γ_{\phantom{.}μκ}^η \:Γ_{\phantom{.}βρ}^β+g^{ηλ} \:g^{ρμ} \:Γ_{\phantom{.}μκ}^κ \:Γ_{\phantom{.}βρ}^β+g^{ηλ} \:g^{μκ} \:Γ_{\phantom{.}μκ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}βρ}^β-g^{ηλ} \:g^{ρκ} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}βρ}^β )$ ; $2 \,c \,χ \:δ𝒮=-\frac{1}{2} \,∫ \,g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}κρ}^κ \:Γ_{\phantom{.}μν}^ρ \:g_{αβ} \:δg^{αβ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x\: +∫ \,δg^{αβ} \:g^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{αβρ} \:Γ_{σμν} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x \;\;⋯$ $⋯\: +∫ \,δg^{αβ} \:Γ_{\phantom{.}κρ}^κ \:Γ_{\phantom{.}αβ}^ρ \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x\:+∫ \,g^{μν} \:δg^{αβ} \:Γ_{\phantom{.}ρα}^ρ \:Γ_{βμν} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x \;\;⋯$ $⋯\: +\frac{1}{2} \,∫ \,{\color{Magenta}\left[}-g^{λρ} \:g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^κ \:Γ_{\phantom{.}μν}^η-2 \,g^{λκ} \:g^{μρ} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^ν \:Γ_{\phantom{.}μν}^η +g^{λκ} \:g^{μν} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}μν}^η \;\;{\color{Magenta}⋯} \right.$ ${\color{Magenta}⋯}\: -g^{λρ} \:g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^η \:Γ_{\phantom{.}μν}^κ-g^{ρη} \:g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^λ \:Γ_{\phantom{.}μν}^κ-2 \,g^{λη} \:g^{μρ} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^ν \:Γ_{\phantom{.}μν}^κ+g^{λη} \:g^{μν}\:∂_κ Γ_{\phantom{.}μν}^κ \:\:{\color{Magenta}⋯}$ ${\color{Magenta}⋯}\: +g^{ρη} \:g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^κ \:Γ_{\phantom{.}μν}^λ+2 \,g^{νη} \:g^{ρμ} \:Γ_{\phantom{.}ρκ}^λ \:Γ_{\phantom{.}μν}^κ-g^{κη} \:g^{μν} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}μν}^λ \;\;{\color{Magenta}⋯}$ ${\color{Magenta}⋯}\: -2 \,g^{κμ} \:g^{ρλ} \:Γ_{\phantom{.}μκ}^η \:Γ_{\phantom{.}βρ}^β-2 \,g^{μη} \:g^{ρλ} \:Γ_{\phantom{.}μκ}^κ \:Γ_{\phantom{.}βρ}^β \;\;{\color{Magenta}⋯}$ ${\color{Magenta}⋯}\: -g^{κη} \:g^{σμ} \:Γ_{\phantom{.}μκ}^λ \:Γ_{\phantom{.}βσ}^β-2 \,g^{κη} \:g^{μλ} \:Γ_{\phantom{.}μκ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}βρ}^β+2 \,g^{κη} \:g^{ρλ} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}βρ}^β \;\;{\color{Magenta}⋯}$ ${\color{Magenta}⋯}\: +g^{μλ} \:g^{ρκ} \:Γ_{\phantom{.}μκ}^η \:Γ_{\phantom{.}βρ}^β+g^{ηλ} \:g^{ρμ} \:Γ_{\phantom{.}μκ}^κ \:Γ_{\phantom{.}βρ}^β+g^{ηλ} \:g^{μκ} \:Γ_{\phantom{.}μκ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}βρ}^β-g^{ηλ} \:g^{ρκ} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}βρ}^β \;\;{\color{Magenta}⋯}$ $\left.{\color{Magenta}⋯} {}_{ }^{ } {\color{Magenta}\right]} \:\sqrt{\|g\|} \:g_{λβ} \:g_{ηα} \:δg^{αβ} \;d^4 x \;\;⋯$ $⋯\: +\frac{1}{2} \,∫ \,{\color{Magenta}\left[} g^{λκ} \:g^{μν} \: Γ_{\phantom{.}μν}^η+g^{λη} \:g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}μν}^κ-g^{κη} \:g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}μν}^λ+2 \,g^{κη} \:g^{ρλ} \:Γ_{\phantom{.}βρ}^β-g^{ηλ} \:g^{ρκ} \:Γ_{\phantom{.}βρ}^β \right. \:{\color{Magenta}⋯}$ $\left. {\color{Magenta}⋯} {}_{ }^{ } {\color{Magenta}\right]} \:\sqrt{\|g\|} \:Γ_{\phantom{.}κρ}^ρ \:g_{λβ} \:g_{ηα} \:δg^{αβ} \;d^4 x$ . • Parmi les simplifications, on peut éliminer les termes antisymétriques dont le produit par $δg^{αβ}$ symétrique est identiquement nul : $g^{μν} \:g_{λα} \:∂_β Γ_{\phantom{.}μν}^λ-g^{μν} \:g_{λβ} \:∂_α Γ_{\phantom{.}μν}^λ$ ; $g^{μν} \:Γ_{αβρ} \:Γ_{\phantom{.}μν}^ρ-g^{μν} \:Γ_{βαρ} \:Γ_{\phantom{.}μν}^ρ$ ; $g^{μν} \:Γ_{βμν} \:Γ_{\phantom{.}κα}^κ-g^{μν} \:Γ_{αμν} \:Γ_{\phantom{.}κβ}^κ$ ; $g^{μν} \:Γ_{βμκ} \:Γ_{\phantom{.}να}^κ-g^{μν} \:Γ_{αμκ} \:Γ_{\phantom{.}νβ}^κ$ ; $g^{σκ} \:Γ_{αβκ} \:Γ_{\phantom{.}μσ}^μ-g^{σκ} \:Γ_{βακ} \:Γ_{\phantom{.}μσ}^μ$ ; $g^{μν} \:Γ_{αμν} \:Γ_{\phantom{.}βρ}^ρ-g^{μν} \:Γ_{βμν} \:Γ_{\phantom{.}αρ}^ρ$ . • On peut alors écrire : $2 \,c \,χ \:δ𝒮=∫ \,H_{αβ} \:δg^{αβ} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x$ avec : ${}^{(2c)}H_{αβ} =∂_α Γ_{\phantom{.}σβ}^σ-\frac{1}{2} \,g_{αβ} .[g^{ρκ} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}σρ}^σ-g^{μν} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}μν}^κ+2 \,g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}μσ}^κ \:Γ_{\phantom{.}νκ}^σ-g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}μν}^κ \:Γ_{\phantom{.}κσ}^σ ]$ .

2.b.	• La combinaison $[(1b)-(2c)]$ correspond à : $G_{αβ}={}^{(1b)}H_{αβ} -{}^{(2c)}H_{αβ} =∂_κ Γ_{\phantom{.}αβ}^κ-∂_α Γ_{\phantom{.}σβ}^σ+Γ_{\phantom{.}αβ}^κ \:Γ_{\phantom{.}κρ}^ρ-Γ_{\phantom{.}ακ}^σ \:Γ_{\phantom{.}βσ}^κ \;\;⋯$ $⋯\: -\frac{1}{2} \,g_{αβ} .[g^{μν} \:∂_κ Γ_{\phantom{.}μν}^κ-g^{μν} \:∂_μ Γ_{\phantom{.}σν}^σ+g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}μν}^κ \:Γ_{\phantom{.}κρ}^ρ-g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}μκ}^σ \:Γ_{\phantom{.}νσ}^κ ]=R_{αβ}-\frac{1}{2} \,g_{αβ} \:R$ .

2.c.	• Les autres termes ne donnent aucune combinaison évidente correspondant à un tenseur. En particulier, les termes avec $g_{αβ}$ en facteur donnent une combinaison $[(2a)+(2b)]$ contenant une contribution proportionnelle à $R$ , mais il s'y ajoute des termes qu'on ne peut pas associer de façon cohérente.

Énergie-impulsion “matérielle”

• Pour étudier l'effet d'une transformation infinitésimale

x^μ→{x'}^μ=x^μ+ϵ^μ

, on peut ici omettre les variations des variables matérielles

x_n^{\,μ}

(positions des particules) et

A_μ

(quadri-potentiel électromagnétique) puisque ces termes ne font pas varier l'action (conformément aux équations d'Euler-Lagrange).
• De même, une telle “transformation de jauge” fait varier

g^{αβ}

mais ne fait pas varier la partie gravitationnelle de l'action.
• Dans une telle transformation :

$g^{αβ} (x^μ \,)→{g'}^{αβ} ({x'}^μ \,)=∂_ρ {x'}^α \:∂_σ {x'}^β \:g^{ρσ} (x^μ \,)=(δ_ρ^α+∂_ρ ϵ^α \,) (δ_σ^β+∂_σ ϵ^β \,) \,g^{ρσ} (x^μ \,)$ ;
${g'}^{αβ} ({x'}^μ \,)≈g^{αβ} (x^μ \,)+∂_σ ϵ^β \:g^{ασ} (x^μ \,)+∂_ρ ϵ^α \:g^{ρβ} (x^μ \,)$ .

• Mais pour exprimer

δg^{αβ}

et l'inclure dans une intégrale sur

d^4 x

, il faut utiliser

{g'}^{αβ} (x^μ \,)

${g'}^{αβ} ({x'}^μ \,)≈{g'}^{αβ} (x^μ \,)+∂_κ g^{αβ} (x^μ \,) \;ϵ^κ$ ; ${g'}^{αβ} (x^μ \,)≈{g'}^{αβ} ({x'}^μ \,)-∂_κ g^{αβ} (x^μ \,) \;ϵ^κ$ ;
$0=D_κ g^{αβ}=∂_κ g^{αβ}+Γ_{\phantom{.}ρκ}^α \:g^{ρβ}+Γ_{\phantom{.}ρκ}^β \:g^{αρ}$ ;
$δg^{αβ} (x^μ \,)={g'}^{αβ} (x^μ \,)-g^{αβ} (x^μ \,)=∂_σ ϵ^β \:g^{ασ} (x^μ \,)+∂_ρ ϵ^α \:g^{ρβ} (x^μ \,)+[Γ_{\phantom{.}ρκ}^α \:g^{ρβ}+Γ_{\phantom{.}ρκ}^β \:g^{αρ} \,] \;ϵ^κ$ ;
$δg^{αβ}=g^{ασ} .[∂_σ ϵ^β+Γ_{\phantom{.}σκ}^β \;ϵ^κ \,]+g^{ρβ} .[∂_ρ ϵ^α+Γ_{\phantom{.}ρκ}^α \;ϵ^κ \,]=D^α ϵ^β+D^β ϵ^α$ .

◊ remarque : pour calculer

δg^{αβ}

on s'est ramené à comparer deux fonctions des mêmes variables

x^μ

; s'il s'agissait d'intégrer

{g'}^{αβ} ({x'}^μ \,)

sur

d^4 x'

on pourrait renommer les variables muettes, ce qui donnerait ainsi une intégration de

{g'}^{αβ} (x^μ \,)

sur

d^4 x

, mais ici on regroupe en facteur de

T_{αβ}

calculé en

x^μ

, donc on ne peut pas ignorer la différence ; si on négligeait le terme correspondant, le résultat qu'on obtiendrait pour

δg^{αβ}

ne serait d'ailleurs pas un tenseur.

2.a.	• On peut dire que les quatre arbitraires dans les coordonnées correspondent pour la métrique à des variations “orthogonales” au tenseur $T_{μν}$ : cela impose des relations entre les différentes coordonnées de ce tenseur, mais cela n'impose pas sa nullité. • Si au contraire on considérait des $δg^{αβ}$ quelconques, cela ferait aussi varier le terme gravitationnel de l'action et on obtiendrait bien une quantité nulle : $G^{αβ}-χ \:T^{αβ}=0$ (correspondant à l'équation d'Einstein).

2.b.	• Compte tenu de $δ(g_{αβ} \:g^{αβ} \,)=0$ et de la symétrie de $T_{μν}$ , on peut écrire : $δ𝒮=-{\displaystyle{\frac{1}{2 \,c}}} \:∫ \,T^{μν} \:δg_{μν} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x={\displaystyle{\frac{1}{2 \,c}}} \:∫ \,T_{μν} \:δg^{μν} \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x={\displaystyle{\frac{1}{c}}} \,∫ \,T_{μν} \:D^μ ϵ^ν \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x$ ; $δ𝒮={\displaystyle{\frac{1}{c}}} \,∫ \,D_μ (T_{\phantom{.}ν}^μ \:ϵ^ν \,) \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x\:-{\displaystyle{\frac{1}{c}}} \,∫ \,D_μ T_{\phantom{.}ν}^μ \;ϵ^ν \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x$ ; $∫ \,D_μ (T_{\phantom{.}ν}^μ \;ϵ^ν \,) \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x=∫ \,∂_μ (T_{\phantom{.}ν}^μ \;ϵ^ν \:\sqrt{\|g\|}\,) \;d^4 x=0$ ( $ϵ^ν=0$ aux limites de l'espace). • On obtient donc : $δ𝒮=-{\displaystyle{\frac{1}{c}}} \,∫ \,D_μ T_{\phantom{.}ν}^μ \;ϵ^ν \:\sqrt{\|g\|} \;d^4 x$ . • En considérant $δ𝒮=0$ pour $ϵ^ν$ arbitraire on en déduit : $D_μ T_{\phantom{.}ν}^μ=0$ .

Énergie-impulsion du champ de gravitation

1.a.

• Avec

Λ_{gr.}={\displaystyle{\frac{1}{2 \,c} \frac{1}{χ}}} \;g^{αβ} \:g^{ησ} \:g^{κλ} .[Γ_{ηακ} \:Γ_{λβσ}-Γ_{ηαβ} \:Γ_{κσλ} ]

on obtient :

$\displaystyle g^{αβ} \:g^{ησ} \:g^{κλ} \:\frac{∂(Γ_{ηακ} \:Γ_{λβσ} )}{∂(∂_ρ g_{μν} )} =g^{αβ} \:g^{ησ} \:\frac{∂(Γ_{ηακ} )}{∂(∂_ρ g_{μν} )} \:Γ_{\phantom{.}βσ}^κ+g^{αβ} \:g^{κλ} \:Γ_{\phantom{.}ακ}^σ \:\frac{∂(Γ_{λβσ} )}{∂(∂_ρ g_{μν} )}$ ;
$\displaystyle \frac{∂(Γ_{ηακ} )}{∂(∂_ρ g_{μν} )} =\frac{1}{2} \,(δ_α^ρ \:δ_κ^μ \:δ_η^ν+δ_κ^ρ \:δ_α^μ \:δ_η^ν-δ_η^ρ \:δ_α^μ \:δ_κ^ν \,)$ (et de même pour les autres) ;
$\displaystyle g^{αβ} \:g^{ησ} \:g^{κλ} \:\frac{∂(Γ_{ηακ} \:Γ_{λβσ} )}{∂(∂_ρ g_{μν} )} =\frac{1}{2} \,(\,g^{ρβ} \:g^{νσ} \:Γ_{\phantom{.}βσ}^μ+g^{μβ} \:g^{νσ} \:Γ_{\phantom{.}βσ}^ρ-g^{μβ} \:g^{ρσ} \:Γ_{\phantom{.}βσ}^ν ) \;\;⋯$

$⋯\: +\frac{1}{2} \,(\,g^{αρ} \:g^{κν} \:Γ_{\phantom{.}ακ}^μ+g^{αμ} \:g^{κν} \:Γ_{\phantom{.}ακ}^ρ-g^{αμ} \:g^{κρ} \:Γ_{\phantom{.}ακ}^ν )$ ;
$\displaystyle g^{αβ} \:g^{ησ} \:g^{κλ} \:\frac{∂(Γ_{ηακ} \:Γ_{λβσ} )}{∂(∂_ρ g_{μν} )} =g^{ρβ} \:g^{νσ} \:Γ_{\phantom{.}βσ}^μ+g^{μβ} \:g^{νσ} \:Γ_{\phantom{.}βσ}^ρ-g^{μβ} \:g^{ρσ} \:Γ_{\phantom{.}βσ}^ν$ ;
$[\,g^{ρβ} \:g^{νσ} \:Γ_{\phantom{.}βσ}^μ-g^{μβ} \:g^{ρσ} \:Γ_{\phantom{.}βσ}^ν ]\:∂_υ g_{μν}=[\,g^{ρσ} \:g^{νβ} \:Γ_{\phantom{.}σβ}^μ-g^{ρσ} \:g^{μβ} \:Γ_{\phantom{.}σβ}^ν ] \:∂_υ g_{μν}=0$
(termes antisymétriques $μν$ multipliés par $∂_υ g_{μν}$ symétrique) ;

$\displaystyle g^{αβ} \:g^{ησ} \:g^{κλ} \:\frac{∂(Γ_{ηακ} \:Γ_{λβσ} )}{∂(∂_ρ g_{μν} )} \:∂_υ g_{μν}=g^{μβ} \:g^{νσ} \:Γ_{\phantom{.}βσ}^ρ \:∂_υ g_{μν}=g^{μβ} \:g^{νσ} \:Γ_{\phantom{.}βσ}^ρ .(Γ_{νμυ}+Γ_{μνυ} )$ ;
$\displaystyle g^{αβ} \:g^{ησ} \:g^{κλ} \:\frac{∂(Γ_{ηακ} \:Γ_{λβσ} )}{∂(∂_ρ g_{μν} )} \:∂_υ g_{μν}=2 \,g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}μυ}^κ \:Γ_{\phantom{.}νκ}^ρ$ ;

$\displaystyle g^{αβ} \:g^{ησ} \:g^{κλ} \:\frac{∂(Γ_{ηαβ} \:Γ_{κσλ} )}{∂(∂_ρ g_{μν} )} =g^{αβ} \:g^{ησ} \:\frac{∂(Γ_{ηαβ} )}{∂(∂_ρ g_{μν} )} \:Γ_{\phantom{.}σλ}^λ+g^{αβ} \:g^{κλ} \:Γ_{\phantom{.}αβ}^σ \:\frac{∂(Γ_{κσλ} )}{∂(∂_ρ g_{μν} )}$ ;
$\displaystyle g^{αβ} \:g^{ησ} \:g^{κλ} \:\frac{∂(Γ_{ηαβ} \:Γ_{κσλ} )}{∂(∂_ρ g_{μν} )} =\frac{1}{2} \,(\,g^{ρμ} \:g^{νσ} \:Γ_{\phantom{.}σλ}^λ+g^{μρ} \:g^{νσ} \:Γ_{\phantom{.}σλ}^λ-g^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{\phantom{.}σλ}^λ ) \;\;⋯$
$⋯\: +\frac{1}{2} \,(\,g^{αβ} \:g^{νμ} \:Γ_{\phantom{.}αβ}^ρ+g^{αβ} \:g^{νρ} \:Γ_{\phantom{.}αβ}^μ-g^{αβ} \:g^{ρν} \:Γ_{\phantom{.}αβ}^μ )$ ;

$\displaystyle g^{αβ} \:g^{ησ} \:g^{κλ} \:\frac{∂(Γ_{ηαβ} \:Γ_{κσλ} )}{∂(∂_ρ g_{μν} )} =\frac{1}{2} \,\left[2 \,g^{μρ} \:g^{νσ} \:Γ_{\phantom{.}σλ}^λ-g^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{\phantom{.}σλ}^λ+g^{αβ} \:g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}αβ}^ρ \right]$ ;
$\displaystyle g^{αβ} \:g^{ησ} \:g^{κλ} \:\frac{∂(Γ_{ηαβ} \:Γ_{κσλ} )}{∂(∂_ρ g_{μν} )} \:∂_υ g_{μν}=\frac{1}{2} \,\left[2 \,g^{μρ} \:g^{νσ} \:Γ_{\phantom{.}σλ}^λ-g^{μν} \:g^{ρσ} \:Γ_{\phantom{.}σλ}^λ+g^{αβ} \:g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}αβ}^ρ \right] \:(Γ_{νμυ}+Γ_{μνυ} )$ ;
$\displaystyle g^{αβ} \:g^{ησ} \:g^{κλ} \:\frac{∂(Γ_{ηαβ} \:Γ_{κσλ} )}{∂(∂_ρ g_{μν} )} \:∂_υ g_{μν}=g^{ρμ} \:Γ_{\phantom{.}σλ}^λ \:Γ_{\phantom{.}μυ}^σ-g^{ρμ} \:Γ_{\phantom{.}μλ}^λ \:Γ_{\phantom{.}συ}^σ+g^{αβ} \:Γ_{\phantom{.}αβ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}μυ}^μ+g^{σμ} \:Γ_{\phantom{.}σλ}^λ \:Γ_{\phantom{.}μυ}^ρ$ .

• Ainsi l'expression

\displaystyle T_υ^{\phantom{.}ρ}=\frac{∂Λ}{∂(∂_ρ g_{μν} )} \:∂_υ g_{μν}-δ_υ^ρ \:Λ

correspond à :

$2 \,c \,χ \:T_{αβ}=2 \,g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}μα}^κ \:Γ_{βνκ}-g^{μν} \:Γ_{\phantom{.}λα}^λ \:Γ_{βμν}-g^{νμ} \:Γ_{\phantom{.}λν}^λ \:Γ_{βμα} \;\;⋯$
$⋯\: +Γ_{\phantom{.}μα}^μ \:Γ_{\phantom{.}νβ}^ν-Γ_{\phantom{.}μν}^μ \:Γ_{\phantom{.}αβ}^ν-g_{αβ} \:g^{μν} \:(Γ_{\phantom{.}μκ}^σ \:Γ_{\phantom{.}νσ}^κ+Γ_{\phantom{.}μν}^σ \:Γ_{\phantom{.}σκ}^κ )$ .

◊ remarque : on constate que les trois premiers termes ne sont pas symétriques, donc l'expression ne permet pas ainsi d'en déduire simplement une description du moment cinétique ; en effet, contrairement au cas analogue pour l'électromagnétisme, il n'est pas évident de trouver comment modifier pour symétriser (il ne suffit pas de symétriser mathématiquement, ce qui peut d'ailleurs se faire de plusieurs façons, il faut aussi justifier que ça laisse invariant le quadrivecteur énergie-impulsion qui s'en déduit).

1.b.

• Cette expression ressemble au pseudo-tenseur

𝒯_{αβ}

déduit de la partie “dérivées premières” du tenseur d'Einstein :

2 \,c \,χ \:𝒯_{αβ}=Γ_{\phantom{.}αμ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}βρ}^μ-Γ_{\phantom{.}αβ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}ρμ}^μ-\frac{1}{2} \:g_{αβ} \:g^{λν} .(Γ_{\phantom{.}λμ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}νρ}^μ-Γ_{\phantom{.}λν}^σ \:Γ_{\phantom{.}ρμ}^μ )

; outre la différence de coefficient pour les derniers termes, on constate la présence de trois premiers termes supplémentaires non symétriques.
• À moins qu'on puisse démontrer que l'effet global de ces deux différences donne une contribution nulle au quadrivecteur énergie-impulsion qui s'en déduit, un rapprochement semble difficile.

2.	• La méthode donnant directement $T_{αβ}$ symétrique pour l'électromagnétisme donne ici par construction les équations d'Euler-Lagrange, donc $T_{αβ}=0$ .