ÉQUATIONS DU CHAMP DE GRAVITATION - exercices


Transport parallèle le long d'un contour fermé

        • En utilisant le fait que Aα Bα A_α \,B^α est un scalaire, retrouver l'expression de la variation ∆Aα ∆A_α lors d'un transport parallèle selon un contour fermé, par comparaison à ∆Bα ∆B^α supposé connu.


Déviation géodésique

1.     • Rappeler l'équation du mouvement d'un point matériel (de position xμ x^μ ) soumis uniquement à l'effet de la gravitation.

2.     • Les effets de la gravitation sont tels qu'il est toujours possible de choisir en chaque point un référentiel d'inertie (en “chute libre”) tel que tout effet gravitationnel disparaisse en ce point.
        • Toutefois, pour deux points matériels voisins, les référentiels d'inertie associés diffèrent un peu : il reste donc possible de détecter l'effet de la pesanteur en étudiant ces différences.
        a) En considérant deux points matériels très proches, en  X { xμ } X\;\{x^μ \,\}    et   X + δX { xμ + δxμ } X+δX\;\{x^μ+δx^μ \,\} ,  montrer que l'équation d'évolution de l'écart δxμ δx^μ peut s'écrire : 
d2 ( δxμ ) dτ2 + ( ∂ν Γ . αβ μ δxν ) dxα dτ dxβ dτ + 2 Γ . αβ μ dxα dτ d ( δxβ ) dτ =0 \displaystyle \frac{d^2 (δx^μ\,)}{{dτ}^2} +(∂_ν Γ_{\phantom{.}αβ}^μ \:δx^ν \,) \: \frac{dx^α}{dτ} \frac{dx^β}{dτ}+2 \,Γ_{\phantom{.}αβ}^μ \frac{dx^α}{dτ} \frac{d(δx^β\,)}{dτ}=0 .
        b) Justifier que ceci peut s'écrire à l'aide du tenseur de courbure :  D2 ( δxμ ) dτ2 = − R . ανβ μ δxν dxα dτ dxβ dτ \displaystyle \frac{D^2 (δx^μ \,)}{{dτ}^2} =-R_{\phantom{.}ανβ}^μ \:δx^ν \:\frac{dx^α}{dτ} \frac{dx^β}{dτ} .


Propriétés du tenseur de Riemann

1.     • En exprimant la connexion affine Γ Γ à l'aide des dérivées du tenseur métrique, montrer que :
R κλμν = gκσ . ( ∂μ gσβ Γ βλν − ∂ν gσβ Γ βλμ ) ⋯ R_{κλμν}=g_{κσ} .\left(∂_μ g^{σβ} \:Γ_{βλν}-∂_ν g^{σβ} \:Γ_{βλμ} \right) \:⋯
⋯ + 12 ( ∂μλ gνκ − ∂μκ gλν − ∂νλ gμκ + ∂νκ gλμ ) + gκσ . ( Γ . λν ρ Γ . ρμ σ − Γ . λμ ρ Γ . ρν σ ) ⋯\:+\frac{1}{2} \,\left(∂_{μλ} g_{νκ}-∂_{μκ} g_{λν}-∂_{νλ} g_{μκ} +∂_{νκ} g_{λμ} \right) +g_{κσ} .\left(Γ_{\phantom{.}λν}^ρ Γ_{\phantom{.}ρμ}^σ-Γ_{\phantom{.}λμ}^ρ Γ_{\phantom{.}ρν}^σ \right) .

2.     a) Montrer que :  gκσ ∂ν gσβ = − gσβ ∂ν gκσ = − gσβ . ( Γ σκν + Γ κσν ) g_{κσ} \:∂_ν g^{σβ}=-g^{σβ} \:∂_ν g_{κσ}=-g^{σβ} .(Γ_{σκν}+Γ_{κσν} ) .
        b) En déduire :  R κλμν = 12 ( ∂λμ gκν + ∂κν gλμ − ∂κμ gλν − ∂λν gκμ ) + gαβ . ( Γ . λμ α Γ . κν β − Γ . κμ α Γ . λν β ) R_{κλμν}=\frac{1}{2} \,\left(∂_{λμ} g_{κν}+∂_{κν} g_{λμ}-∂_{κμ} g_{λν}-∂_{λν} g_{κμ} \right)+g_{αβ} .\left(Γ_{\phantom{.}λμ}^α \:Γ_{\phantom{.}κν}^β-Γ_{\phantom{.}κμ}^α \:Γ_{\phantom{.}λν}^β\right) .


Propriétés du tenseur de Ricci

1.     • Montrer que :  Γ : αβ β = 12 gβκ ∂α gβκ = ∂α ( |g| ) |g| Γ_{\phantom{:}αβ}^β=\frac{1}{2} \,g^{βκ} \:∂_α g_{βκ}= {\displaystyle {\frac{∂_α \left(\sqrt{\left|g\right|}\,\right)}{\sqrt{\left|g\right|}}}} .

2.     • En déduire que le tenseur de Ricci peut s'écrire :
Rλν = 1 |g| ∂μ ( |g| Γ . λν μ ) − ∂λν ( ln ( |g| ) ) − Γ . λμ ρ Γ . νρ μ R_{λν}={\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{\left|g\right|}}}\: ∂_μ \left(\sqrt{\left|g\right|} \;Γ_{\phantom{.}λν}^μ \right)-∂_{λν} \left(\ln\left(\sqrt{\left|g\right|}\,\right) \right)-Γ_{\phantom{.}λμ}^ρ \:Γ_{\phantom{.}νρ}^μ .


Ondes électromagnétiques dans le vide

1.     • Montrer qu'on retrouve la même équation de propagation qu'en relativité restreinte :  ❏ Aα = 0 ❏A_α=0 .

2.     a) À l'aide des symétries du tenseur de Riemann, retrouver la relation :  Dμ Fαβ + Dα Fβμ + Dβ Fμα =0 D_μ F_{αβ}+D_α F_{βμ}+D_β F_{μα}=0 .
        b) D'après la définition de  Fαβ F_{αβ} ,  retrouve-t-on de même l'équation de propagation :  ❏ Fαβ =0 ❏F_{αβ}=0  ?   Commenter.
        c) En repartant de l'équation de Maxwell précédente, retrouve-t-on de même l'équation de propagation ?  Commenter.


Statique des fluides

        • À partir de la loi de conservation du tenseur d'énergie-impulsion, établir et interpréter la loi de la statique des fluides soumis uniquement à la gravitation.


Équations du champ de gravitation

        • On cherche les équations du champ de gravitation sous la forme  Gαβ = χ Tαβ G_{αβ}=χ \:T_{αβ} ,  avec un tenseur de la forme :  Gαβ = C. ( Rαβ − 12 gαβ R) G_{αβ}=C .(R_{αβ}-\frac{1}{2} \,g_{αβ} \:R) .  Montrer que la condition limite  G00 ≈ ∇→ 2 g00 G_{00}≈\overset{→}{∇}^2 g_{00}   impose  C=1 C=1 .


Constante cosmologique

1.     a) Montrer que des équations du champ de gravitation peuvent s'écrire à partir des tenseurs de trace nulle :  Rαβ − 14 gαβ R = χ. ( Tαβ − 14 gαβ T ) R^{αβ}-\frac{1}{4} \,g^{αβ} \:R=χ .(T^{αβ}-\frac{1}{4} \,g^{αβ} \:T) .
        b) Supposant que les propriétés fondamentales du champ de gravitation soient celles décrites par cette dernière formulation, montrer que l'identité de Bianchi implique alors :  ∂α R = −χ ∂αT ∂_α R=-χ \:∂_α T .
        c) En déduire qu'on peut généraliser les équations sous la forme :  Rαβ − 12 gαβ R = χ. ( Tαβ + Λ gαβ ) R^{αβ}-\frac{1}{2} \,g^{αβ} \:R=χ .(T^{αβ}+Λ \:g^{αβ} \,) ,  où Λ Λ est une “constante cosmologique”.

2.     • Montrer que le terme “cosmologique” décrit un (hypothétique) fluide parfait ; calculer la masse volumique et la pression correspondantes.


Énergie-impulsion du champ de gravitation

1.     • Les équations d'Einstein peuvent s'écrire (α) :  Rαβ − 12 gαβ R = χ Tαβ R^{αβ}-\frac{1}{2} \,g^{αβ} \:R=χ \:T^{αβ} ,  mais aussi (entre autres) sous la forme (β) :  Rαβ = χ. ( Tαβ − 12 gαβ T ) R^{αβ}=χ .(T^{αβ}-\frac{1}{2} \,g^{αβ} \:T\,) .  Déterminer la forme (γ) des équations telle que le membre de gauche soit :  Rαβ − gαβ R R^{αβ}-g^{αβ} \:R .

2.     • En se basant sur la forme (α), on peut réinterpréter la partie “dérivées premières” du membre de gauche comme associée à un pseudo-tenseur énergie-impulsion  𝒯αβ 𝒯^{αβ}   du champ gravitationnel. Déterminer l'expression analogue  𝒯˜ αβ \widetilde{𝒯}^{αβ}   obtenue de même en partant de la forme (γ).


Référentiel en rotation

        • On considère un espace plat correspondant à un référentiel d'inertie (référentiel “galiléen”) ; on se propose d'utiliser les méthodes de la relativité générale pour chercher comment décrire un référentiel en rotation uniforme par rapport au précédent. On raisonne en coordonnées cylindriques autour de l'axe de rotation ( Oz ) (Oz) .
        ◊ remarque : un référentiel étant défini par rapport à des objets physiques, qui ne peuvent pas se déplacer plus vite que c c par rapport au référentiel galiléen, une telle rotation est forcément limitée à un voisinage restreint de l'axe.

1.     a) Montrer qu'un simple changement de repérage fait apparaître dans la métrique un terme non diagonal de la forme  dt . dθ′ dt.dθ' .
        b) Montrer que ce genre de terme non diagonal complique la synchronisation des horloges.
        c) Expliquer pourquoi la dépendance par rapport à la variable radiale r r pourrait (en principe) éventuellement permettre d'éliminer les termes non diagonaux de la métrique.

2.     • On considère un espace “vide” décrit par une métrique cylindrique de la forme :
ds2 = A ( r ) c2 dt2 − C ( r ) dr2 − D ( r ) dθ2 − E ( r ) dz2 {ds}^2=A(r) \:c^2 \,{dt}^2-C(r) \:{dr}^2-D(r) \:{dθ}^2-E(r) \:{dz}^2 .
        a) Déterminer la connexion affine en choisissant  D ( r ) = r2 D(r)=r^2 .
        b) En déduire les équations du champ de gravitation.
        c) Exprimer la limite au voisinage de l'axe qui correspondrait à un champ centrifuge classique.
        d) Chercher s'il existe des solutions redonnant sur l'axe ( Oz ) (Oz) :  A=1 A=1   ;  C=1 C=1   ;  E=1 E=1 .  Conclure.


Densité lagrangienne du champ de gravitation

        • Pour déduire les équations du champ gravitationnel par une méthode variationnelle, on souhaite déterminer l'action correspondante, de la forme :  𝒮= ∫ Λ d4𝒱 𝒮=∫ Λ \:d^4 𝒱   avec une densité lagrangienne scalaire  Λ ( gμν , ∂λ gμν ) Λ(g_{μν} \,,∂_λ g_{μν} ) ,  intégrée sur  d4𝒱 = |g| d4x d^4 𝒱=\sqrt{\left|g\right|} \:d^4 x .  La quantité  1 2 c 1χ R = 1 2 c 1χ gαβ Rαβ \frac{1}{2 \,c} \frac{1}{χ} \,R=\frac{1}{2 \,c} \frac{1}{χ} \,g^{αβ} \:R_{αβ}   semble convenir, mais cette expression contient aussi des termes du second ordre ∂λρ gμν ∂_{λρ} g_{μν} .
        • Montrer qu'il existe une grandeur ΛΛ (seulement “pseudo” scalaire) ne contenant que des termes du premier ordre, mais donnant par variation une expression correctement tensorielle.


Équations d'Euler-Lagrange pour le champ de gravitation

        • Exprimer les équations d'Euler-Lagrange en fonction de la densité lagrangienne Λ Λ pour le champ de gravitation.


Variation de l'action du champ de gravitation

1.     a) Les  Γ . αβ μ Γ_{\phantom{.}αβ}^μ   ne sont pas des tenseurs, mais les variations  δ Γ . αβ μ δΓ_{\phantom{.}αβ}^μ   sont des tenseurs. Pour le montrer, on se propose de comparer les variations  δ Γ . αβ μ Aμ dxβ δΓ_{\phantom{.}αβ}^μ \:A_μ \:dx^β   des modifications d'un vecteur Aμ A_μ par transport parallèle, lorsqu'on varie la métrique. Commenter.
        b) Une autre méthode consiste à développer les  δ Γ . αβ μ δΓ_{\phantom{.}αβ}^μ   pour les ré-exprimer en fonction de tenseurs associés aux δ gαβ δg_{αβ} . Commenter.

2.     • La variation de l'action gravitationnelle contient un terme :  ∫gαβδRαβ|g|d4x ∫ g^{αβ} \:δR_{αβ}\:\sqrt{\left|g\right|} \:d^4 x .  Montrer que cette contribution du tenseur de Ricci est nulle.


Variation de l'action du champ de gravitation

1.     • On peut exprimer l'action en fonction des gαβ g_{αβ} et des  ∂μ gαβ ∂_μ g_{αβ}   (ou des  Γ γαβ Γ_{γαβ} ) : 
𝒮= ∫ Λ ( gαβ , ∂μ gαβ ) |g| d4x 𝒮=∫ Λ(g_{αβ}\: ,∂_μ g_{αβ} ) \:\sqrt{\left|g\right|} \:d^4 x .
        a) On souhaite pour Λ Λ utiliser des combinaisons quadratiques de la forme  Γ Γ Γ\;Γ   ;  en dresser une liste et les numéroter.
        b) Préciser à quelle(s) combinaison(s) correspond l'expression Λ Λ généralement décrire comme équivalente à R R .

2.     a) Comparer les “parties champ” de l'équation du champ gravitationnel respectivement déduites de chacune des combinaisons précédentes.
        b) Vérifier que la combinaison considérée à la question (1b) donne :  Gαβ = Rαβ − 12 gαβ R G_{αβ}=R_{αβ}-\frac{1}{2} \,g_{αβ} \:R   (tenseur d'Einstein).
        c) Peut-on obtenir une grandeur tensorielle (symétrique) analogue en combinant les autres termes ?


Énergie-impulsion “matérielle”

        • Pour obtenir une expression symétrique du tenseur énergie impulsion Tμν T_{μν} de la matière (et du champ électromagnétique), on peut considérer la variation de l'action dans une transformation infinitésimale des coordonnées :  xμ → x′ μ = xμ + ϵμ x^μ→{x'}^μ=x^μ+ϵ^μ   ;  on se limite toutefois ici à des variations laissant invariant l'espace-temps (champ gravitationnel), c'est à dire respectant l'équation d'Einstein :  Gαβ = χ Tαβ G^{αβ}=χ \:T^{αβ} .
        ◊ remarque : cela est possible car la résolution de ces équations laisse subsister quatre arbitraires sur les coordonnées ; il s'agit d'une “transformation de jauge”, laissant invariant l'espace-temps.
        • Une telle transformation impose toutefois une variation de la métrique, donc pour la partie “matérielle” de l'action :  δ𝒮 = − 1 2 c ∫ Tμν δ gμν |g| d4x = 1 2 c ∫ Tμν δ gμν |g| d4x δ𝒮=-{\displaystyle{\frac{1}{2 \,c}}} \:∫ \:T^{μν} \:δg_{μν} \:\sqrt{\left|g\right|} \:d^4 x={\displaystyle{\frac{1}{2 \,c}}} \: ∫ \:T_{μν} \:δg^{μν} \:\sqrt{\left|g\right|} \:d^4 x   (comme pour toute variation, plus générale, de la métrique).

1.     • Déterminer les variations  δ gαβ δg^{αβ}   correspondant à cette transformation.

2.     • Dans les conditions particulières étudiées, l'action étant un scalaire ne varie pas ; mais la partie gravitationnelle de l'action ne varie pas (espace-temps invariant) ; on peut donc considérer que la partie “matérielle” de l'action est constante.
        a) Justifier que cela n'impose pas  Tμν =0 T^{μν}=0 .
        b) En déduire la conservation de l'énergie impulsion :  Dμ Tμν =0 D_μ T^{μν}=0 .


Énergie-impulsion du champ de gravitation

1.     a) Déterminer l'énergie-impulsion du champ de gravitation d'après   T υ . ρ = ∂Λ ∂ ( ∂ρ gμν ) ∂υ gμν − δ υ ρ Λ \displaystyle T_υ^{\phantom{.}ρ}=\frac{∂Λ}{∂(∂_ρ g_{μν} )} \:∂_υ g_{μν}-δ_υ^ρ \:Λ    avec la densité lagrangienne   Λ = Λ gr. = 1 2 c 1χ gαβ gησ gκλ . [ Γ ηακ Γ λβσ − Γ ηαβ Γ κσλ ] \displaystyle Λ=Λ_{gr.}=\frac{1}{2 \,c} \frac{1}{χ} \,g^{αβ} \:g^{ησ}\: g^{κλ} .\left[Γ_{ηακ} \:Γ_{λβσ}-Γ_{ηαβ} \:Γ_{κσλ} \right] .
        b) Comparer cette expression à celle du pseudo-tenseur énergie-impulsion 𝒯αβ 𝒯_{αβ} du champ gravitationnel, correspondant à la partie “dérivées premières” du tenseur d'Einstein  Rαβ − 12 gαβ R R^{αβ}-\frac{1}{2} \,g^{αβ} \:R .

2.     • La forme précédente du tenseur énergie impulsion, analogue à celle utilisée pour l'électromagnétisme, n'est pas symétrique ; or, il existe pour l'électromagnétisme une méthode (basée sur les variations de la métrique) donnant une expression équivalente symétrique. Qu'obtient-on en appliquant cette méthode symétrique au champ gravitationnel ?