RG - ANNEXE I

Analyse vectorielle dans $ℝ^3$

• Pour l'analyse vectorielle dans

ℝ^3

, un grand nombre de relations usuelles peuvent se déduire simplement à l'aide des expressions :

$ε^{ijk} \: ε_{k𝓁m}=δ_𝓁^i \: δ_m^j-δ_m^i \: δ_𝓁^j$ (qu'on peut noter $ε_{𝓁m}^{ij}$ ) ;
$ε^{ijk} \: ε_{jk𝓁}=2 \,δ_l^i$ ; $ε^{ijk} \: ε_{ijk}=6$ .

Deux relations sont toutefois moins faciles à déduire :

$\overset{→}{∇}\left(\overset{→}{A}∙\overset{→}{B}\, \right) =\left(\overset{→}{A}∙\overset{→}{∇} \, \right) \:\overset{→}{B} +\overset{→}{A} × \left(\overset{→}{∇} ×\overset{→}{B} \,\right) +\left(\overset{→}{B}∙\overset{→}{∇} \, \right) \:\overset{→}{A} +\overset{→}{B} × \left(\overset{→}{∇} ×\overset{→}{A} \,\right)$ ;
$∆\overset{→}{A}=\overset{→}{∇}\left(\overset{→}{∇}∙\overset{→}{A}\, \right) -\overset{→}{∇} × \left(\overset{→}{∇} ×\overset{→}{A} \, \right)$ .

• Pour les intégrales de surface, on utilise généralement

{dS}_i^{*}=\frac{1}{2} \: ε_{ijk} \:{dS}^{jk}

avec

{dS}^{jk}={dx}^j∧\,{dx}^k

.

◊ remarque : ceci correspond à utiliser un “vecteur surface” (pour simplifier noté

\overset{⟶}{dS}

et non

\overset{⟶}{dS}^{*}

) orthogonal à l'élément de surface.

• Le théorème d'Ostrogradski décrit alors la correspondance :

la circulation d'un champ vectoriel, le long d'un contour fermé, est égale au flux du rotationnel du champ à travers toute surface bordée par le contour : ${dx}_i↔ε_{ijk} \;{dS}^{\text{*}j} \:∂^k$ ;
le flux d'un champ vectoriel, à travers une surface fermée, est égal à l'intégrale de la divergence du champ dans le volume bordé par la surface : ${dS}_i^*↔d𝒱 \:∂_i$ (où $d𝒱=d^3 𝒱$ note ici l'élément de volume de $ℝ^3$ ).

Généralisation dans un 4-espace “quelconque”

• Le déterminant

A

d'une matrice (tel que

ε^{αβγδ} \: A_{αμ} \: A_{βν} \:A_{γρ} \: A_{δσ}=A \:ε_{μνρσ}

) est invariant dans les changements de repère cartésiens. En coordonnées curvilignes par contre,

ε^{αβγδ}

ε_{μνρσ}

ne sont pas des tenseurs ; on se propose de chercher les tenseurs

ℰ^{αβγδ}

ℰ_{μνρσ}

tenant un rôle correspondant.

Partant d'un espace plat où la métrique est

η_{μν}

, on peut effectuer un changement de repère tel que :

x^β→\underline{x}^α

;

d\underline{x}^α=∂_β \underline{x}^α\: {dx}^β

;

{dx}^β=\underline{∂}_α x^β \:d\underline{x}^α

. Alors

A_{μν}

se transforme en

\underline{A}_{μν}=\underline{∂}_μ x^α \: \underline{∂}_ν x^β \: A_{αβ}

; ainsi

A

se transforme en

\displaystyle \underline{A}=\frac{A}{J^2}

où

J=\mathrm{det}\left(∂_β \underline{x}^α \right)

est le jacobien de la transformation. En particulier la nouvelle métrique

g_{μν}

est telle que

\displaystyle g=-\frac{1}{J^2}

; en supposant qu'on se limite à des transformations ne retournant pas l'orientation, on peut écrire

\displaystyle J=\frac{1}{\sqrt{|g|}}

.

De façon analogue

ε^{αβγδ}

ε_{μνρσ}

deviennent donc :

$\displaystyle ℰ^{αβγδ}=∂_μ \underline{x}^α \: ∂_ν \underline{x}^β \: ∂_ρ \underline{x}^γ \: ∂_σ \underline{x}^δ \: ε^{μνρσ}=J\:ε^{αβγδ}=\frac{1}{\sqrt{|g|}} \: ε^{αβγδ}$ ;
$\displaystyle ℰ_{μνρσ}=\underline{∂}_μ x^α \: \underline{∂}_ν x^β \:\underline{∂}_ρ x^γ \: \underline{∂}_σ x^δ \: ε_{αβγδ}=\frac{1}{J} \: ε_{μνρσ}=\sqrt{|g|} \; ε_{μνρσ}$ .

• Il faut toutefois noter que le comportement n'est pas totalement celui de tenseurs ; ainsi en “abaissant les indices”, on obtient :

$η_{αμ} \: η_{βν} \: η_{γρ} \: η_{δσ} \: ε^{αβγδ}=- ε_{μνρσ}$ ;
$g_{αμ} \: g_{βν} \: g_{γρ} \: g_{δσ} \: ε^{αβγδ}=- ℰ_{μνρσ}$ .

• D'autre part, l'élément d'intégration

d^4 x=dx^0 \: dx^1 \: dx^2 \: dx^3

se transforme en

\displaystyle \frac{1}{J} \: d^4 \underline{x}=\frac{1}{J} \: d\underline{x}^0 \: d\underline{x}^1 \: d\underline{x}^2 \: d\underline{x}^3

; l'élément d'intégration invariant est donc :

d^4 𝒱=\sqrt{|g|} \; d^4 \underline{x}

.

Il est de ce fait aussi plus pratique de remplacer la distribution

δ^4 \left(X^α \right)

par

\displaystyle \tilde{δ} ^4 \left(\underline{X}^α \right)=\frac{1}{\sqrt{|g|}} \: δ^4 \left(\underline{X}^α \right)

telle que

\tilde{δ}^4 \left(\underline{X}^α \right) \: d^4 𝒱 =δ^4 \left(\underline{X}^α \right) \: d^4 \underline{x}

.

• Si on souhaite séparer l'intégration temporelle, on peut utiliser le temps local

{dt}_{𝓁oc}=\sqrt{g_{00}} \:\: dt

et l'intégration spatiale selon

d^3 𝒱=\sqrt{ℊ} \:\: d^3 \underline{x}

, d'après la métrique spatiale :

{d𝓁}^2=ℊ_{ij} \: {dx}^i \: {dx}^j

avec

\displaystyle ℊ_{ij}=\frac{g_{0i} \: g_{0j}}{g_{00}} -g_{ij}

telle que

g^{ij} \: ℊ_{jk}=δ_k^i

(donc l'inverse de la partie spatiale

g^{ij}=ℊ^{ij}

).

Ainsi

d^4 𝒱=c \,{dt}_{𝓁oc} \: d^3 𝒱

; il est alors de même plus pratique de remplacer la distribution

δ^3 \left(X^i \right)

par

\displaystyle \tilde{δ}^3 \left(\underline{X}^i \right) =\frac{1}{\sqrt{ℊ}} \: δ^3 \left(\underline{X}^i \right)

.

• Les notations de l'analyse vectorielle peuvent se généraliser :

$ℰ^{αβγδ} \: ℰ_{δμνρ}=ε^{αβγδ} \: ε_{δμνρ}=ε_{μνρ}^{αβγ}$ ; $ℰ^{αβγδ} \: ℰ_{γδμν}=ε^{αβγδ} \: ε_{γδμν}=2 \:ε_{μν}^{αβ}$ ;
$ℰ^{αβγδ} \: ℰ_{βγδμ}=ε^{αβγδ} \: ε_{βγδμ}=6 \:δ_μ^α$ ; $ℰ^{αβγδ} \: ℰ_{αβγδ}=ε^{αβγδ} \: ε_{αβγδ}=24$ .

• Pour les intégrales de surface, on utilise généralement

{dS}_{αβ}^{*}=\frac{1}{2} \: ε_{αβμν} \: {dS}^{μν}

avec

{dS}^{μν}={dx}^μ\,∧\:{dx}^ν

; la quantité invariante est

\sqrt{ℊ} \: {dS}_{αβ}^{*}=\frac{1}{2}\, ℰ_{αβμν} \: {dS}^{μν}

.

◊ remarque : dans

ℝ^4

on ne peut pas omettre le symbole “dual”

⬚^{*}

.

• Le théorème d'Ostrogradski décrit alors par exemple la correspondance :

la circulation d'un champ vectoriel, le long d'un contour fermé, est égale au flux du rotationnel du champ à travers toute surface bordée par le contour : ${dx}^α↔ε^{αμνβ} \: {dS}_{μν}^{*} \: ∂_β=\frac{1}{2} \,ε_{ρσ}^{αβ} \; {dS}^{ρσ} \: ∂_β$ .

RG - ANNEXE I

Analyse vectorielle dans ℝ3 ℝ^3

Généralisation dans un 4-espace “quelconque”

Analyse vectorielle dans $ℝ^3$