RG - ANNEXE II


Variété sur 4 {ℝ}^{4}

• L'analyse géométrique peut être obtenue dans un espace courbe “quelconque” de dimension n n ,  à partir de la métrique, en supposant qu'on s'en fait une représentation incluse dans n+1 {ℝ}^{n+1} .  Les résultats semblent ne pas dépendre de la représentation utilisée. On peut toutefois se demander si c'est toujours vrai ; en outre, on peut se demander s'il existe toujours au moins une telle représentation ; il est alors intéressant de construire les raisonnements sur une base plus générale encore.

• On considère une “variété de dimension n n ”,  c'est à dire un ensemble ayant des propriétés localement semblables à celles de n {ℝ}^{n} (la notion de variété peut être définie de façon plus générale, mais ce serait compliquer inutilement ici) ; on utilisera le plus souvent  n=4 n=4 .

Plus précisément, une variété est un espace topologique :

On appelle “système de coordonnées” (ou “carte”) un homéomorphisme définissant un système de coordonnées sur un ouvert  𝒰 𝒰   (on se ramène ainsi à une représentation dans un espace plat) :

Φ Φ :
𝒰 𝒰⊂ℰ

Φ (𝒰) 4 Φ\left(𝒰\right)⊂{ℝ}^4


M M

Φ(M) = ( x0 , x1 , x2 , x3 ) Φ \left( M \right)=\left( x^0 , x^1 , x^2 , x^3 \right) .

En pratique la coordonnée x0 {x}^{0} sera ici associée au temps ; certains numérotent plutôt x4 {x}^{4} (en dernier).

◊ remarque : le principe est analogue à celui utilisé pour définir des cartes géographiques à l'aide d'une “projection” d'une partie de la surface terrestre sur une feuille plane (dans ce cas 2 {ℝ}^{2} ).

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• Les mathématiciens nomment aussi bien “carte” (ou “carte locale”) un “système de coordonnées”, mais le physicien soucieux de décrire la géométrie de l'espace-temps peut préférer une représentation graphique. Or, un même système de coordonnées peut avoir plusieurs représentations ; pour éviter l'ambiguïté, on peut nommer cela une “cartographie”.

• Par exemple pour les coordonnées terrestres (longitude φ φ ; latitude θ θ ) au voisinage de l'équateur, on peut utiliser une projection cylindrique “déroulée”.

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Dans cette cartographie, les représentants des vecteurs de base “naturels”  ei = iM \overset{→}{e}_i=∂_i\overset{→}{M}   sont naturellement dessinés de taille égale (et la même en tout point).

Par contre les représentants des vecteurs unitaires ui \overset{→}{u}_i sont dessinés (ici seulement qualitativement) d'autant plus allongés horizontalement à proximité des pôles à cause du resserrement des méridiens (décrit par la métrique).

◊ remarque : l'exemple de dimension 2 2 étudié ici n'est inclus dans 3 {ℝ}^{3} que pour visualiser l'effet géométrique de la “projection” modélisant Φ Φ ; on utilise toutefois les propriétés de cette inclusion, donc les résultats devront être validés intrinsèquement, pour justifier qu'on peut raisonner sur la modélisation de l'espace tangent par les vecteurs du plan 2 {ℝ}^{2} considéré.

• Pour le voisinage d'un pôle, il est préférable d'utiliser une projection plane “déroulée” en coordonnées polaires (cela importe peu puisqu'on sait gérer la géométrie dans un plan).

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Dans cette description, les représentants des vecteurs de base “naturels” ei \overset{→}{e}_i et des vecteurs unitaires ui \overset{→}{u}_i sont dessinés de tailles et de directions différentes selon le point.

◊ remarque : alors qu'une telle cartographie est globalement plus pratique pour le voisinage du pôle, elle est inefficace au pôle lui même à cause du caractère singulier de l'intersection des méridiens (l'angle φ φ est indéterminé).

• Pour décrire l'ensemble de la variété, on nomme “atlas” tout famille de couples  ( 𝒰k , Φk ) \left( 𝒰_k \,, Φ_k \right)   telle que  𝒰k= ⋃{𝒰}_{k}=ℰ   ;  on supposera généralement cette famille finie, ou au moins dénombrable.

◊ remarque : sur l'exemple étudié précédemment, pour obtenir une cartographie la plus simple à interpréter en un point donné, il faudrait utiliser une représentation du type projection conique tangente en ce point ; cela aurait l'inconvénient de nécessiter un atlas non dénombrable, mais ce n'est d'aucun intérêt car toute cartographie donne une représentation équivalente de l'espace tangent en chacun de ses points.

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• Une variété topologique est dite “variété différentielle” (ou plus précisément de classe Cp {C}^{p} , ou “analytique” si C {C}^{\infty} ) si et seulement si pour toute intersection de deux cartes l'application de changement de coordonnées est différentiable (ou de classe Cp {C}^{p} , ou analytique) :

Φi Φj-1 {Φ}_{i}∘{Φ}_{j}^{-1}  :
Φj ( 𝒰i𝒰j ) 4 {Φ}_{j}\left({𝒰}_{i}⋂{𝒰}_{j}\right)⊂{ℝ}^{4}

Φi ( 𝒰i𝒰j ) 4 {Φ}_{i}\left({𝒰}_{i}⋂{𝒰}_{j}\right)⊂{ℝ}^{4}


Φj(M) = ( y0, y1, y2, y3 ) Φ_j \left( M \right) = \left( y^0 , y^1 , y^2 , y^3 \right)

Φi(M) = ( x0, x1, x2, x3 ) Φ_i \left( M \right) = \left( x^0 , x^1 , x^2 , x^3 \right) .

Dans la suite, on raisonne en principe sur des variétés différentielles, mais en pratique souvent supposées analytiques.

Courbes et vecteurs sur une variété

• Dans un espace courbe dont on utilise une représentation dans un espace de dimension supérieure, un vecteur défini en un point M M est un objet de l'espace tangent en ce point. La généralisation doit être basée sur l'image Φ(M) Φ\left(M\right) .

Dans un espace plat, un vecteur en un point M M peut être exprimé à l'aide d'une base canonique, dont les éléments sont orientés selon les variations de M M associées respectivement aux variations de chacune des coordonnées. La généralisation doit être basée sur les coordonnées de l'image Φ(M) Φ\left(M\right) , en considérant les courbes associées aux  xα=Cste {x}^{α}=Cste .

• Dans une variété ,  une courbe 𝒞 𝒞 peut être définie paramétriquement comme l'image d'une application différentiable :

 :





λ λ

M=(λ)𝒞 M=ℳ\left(λ\right)∊𝒞 .

On se ramène ainsi à décrire une courbe par ses équations paramétriques (supposées différentiables) :

Φ Φ∘ℳ  :


4 {ℝ}^{4}


λ λ

Φ(λ) = ( x0(λ) , x1(λ) , x2(λ) , x3(λ) ) Φ∘ℳ\left(λ\right)=\left(x^0(λ)\,,x^1(λ)\,,x^2(λ)\,,x^3(λ)\right) .

Ceci revient à définir quatre équations paramétriques :  xα = Xα(λ) {x}^{α}={X}^{α}\left(λ\right) ,  puis à raisonner comme dans un espace plat.

• Si on privilégie les notations de Leibniz, on peut ensuite étudier un déplacement de M M et considérer le comportement limite d'un déplacement infinitésimal :  dM = αM dxα d\overset{↔}{M}={∂}_{α}\overset{↔}{M}\;d{x}^{α}   (ici la notation 4-vectorielle, non indispensable, ne sert qu'à éviter l'ambiguïté avec les cas où on se limite à la partie spatiale).

Plus précisément, en dérivant par exemple selon la courbe définie par  x0=λ {x}^{0}=λ x1=Cste {x}^{1}=Cste x2=Cste {x}^{2}=Cste x3=Cste {x}^{3}=Cste ,  on obtient  e0 = 0M = ( 1 ; 0 ; 0 ; 0 ) \overset{↔}{e}_0=∂_{0}\overset{↔}{M}=\left(1\:;\:0\:;\:0\:;\:0\right)   ;  ceci donne une base de l'espace tangent en M M eα = αM = ( δα0 ; δα1 ; δα2 ; δα3 ) \overset{↔}{e}_α={∂}_{α}\overset{↔}{M}=\left(δ_α^0\:;\:δ_α^1\:;\:δ_α^2\:;\:δ_α^3\right) .

◊ remarque : il ne s'agit pas de vecteurs unitaires selon la métrique (précisée dans ce qui suit), mais seulement de la base “naturelle” de l'espace tangent.

• Ceci doit toutefois être justifié par un passage à la limite : a priori on sait seulement que  d(Φ(M)) = α (Φ(M)) dxα d\left(Φ\left(M\right)\right)={∂}_{α}\left(Φ\left(M\right)\right)\;d{x}^{α} .  Mais puisque les systèmes de coordonnées sont des homéomorphismes, la limite induit un homéomorphisme entre espaces tangents :

Ψ Ψ  :
𝒯M() {𝒯}_{M}\left(ℰ\right)

𝒯 Φ(M) (4) {𝒯}_{Φ\left(M\right)}\left({ℝ}^{4}\right)


dM d\overset{↔}{M}

Ψ ( dM ) = ( dx0, dx1, dx2, dx3 ) Ψ\left(d\overset{↔}{M} \,\right)=\left(d{x}^{0}, d{x}^{1}, d{x}^{2}, d{x}^{3} \,\right)


ϵα = αM \overset{↔}{ϵ}_α=∂_α \overset{↔}{M}

Ψ ( ϵα ) = eα Ψ\left(\,\overset{↔}{ϵ}_α\right)=\overset{↔}{e}_α .

Par identification, on considère ainsi que  dM = ( dx0, dx1, dx2, dx3 ) d\overset{↔}{M}=\left(d{x}^{0}, d{x}^{1}, d{x}^{2}, d{x}^{3}\right)   est un vecteur dans l'espace 𝒯M() 𝒯_M \left( ℰ \right) tangent en M M à la variété (abus de notation).

En un point M M d'une courbe 𝒞 𝒞 on peut aussi considérer comme vecteur tangent (orienté) :  v = vα eα \overset{↔}{v}={v}^{α}\;\overset{↔}{e}_α   avec pour coordonnées  vα = dXα (λ) dλ \displaystyle v^α=\frac{{dX}^α\left(λ\right)}{dλ}∊ℝ .

• Dans un changement de coordonnées  (xα) (x_α) \left({x}^{α}\right)↦\left({\underline{x}}^{α}\right) ,  les vecteurs de base se transforment selon :  e_α = _α M = _α xβ eβ \overset{↔}{\underline{e}}_α={\underline{∂}}_α \overset{↔}{M}=\underline{∂}_α x^β \; \overset{↔}{e}_β   et inversement pour les coordonnées des vecteurs :  v_α = α x_β vα {\underline{v}}^{α}={∂}_{α}{\underline{x}}^{β}\;{v}^{α}   (transformation réciproque).

◊ remarque : le tableau (dxα) \left({dx}^{α}\right) décrit un vecteur, mais le tableau (xα) \left({x}^{α}\right) non ; par exemple le changement   x_=x \underline{x}=\sqrt{x}    donne   x_ x_ x x = x 2x = x_2 \displaystyle \underline{x}≠\frac{∂\underline{x}}{∂x}\;x=\frac{x}{2\:\sqrt{x}}=\frac{\underline{x}}{2} .

• Les mathématiciens, soucieux de la généralisation la plus vaste (fut-ce au prix d'une plus grande abstraction), préfèrent caractériser un vecteur par ses relations avec un champ scalaire quelconque.

À tout champ f f sur correspond un champ φ φ sur 4 {ℝ}^{4} :

f f  :





M M

f(M) f\left(M\right)

φ = fΦ-1 φ=f∘{Φ}^{-1}  :
4 {ℝ}^{4}




( x0, x1, x2, x3 ) \left( x^0 , x^1 , x^2 , x^3 \right)

φ ( x0, x1, x2, x3 ) = f(M) φ\left( x^0 , x^1 , x^2 , x^3 \right)=f\left(M\right) .

La restriction à une courbe 𝒞 𝒞 peut être décrite par une fonction ϕ ϕ sur :

ϕ=f ϕ=f∘ℳ  :





λ λ

φ ( x0(λ) , x1(λ) , x2(λ) , x3(λ) ) φ\left( x^0(λ) \,, x^1(λ) \,, x^2(λ) \,, x^3(λ) \right) .

◊ remarque : en physique, pour simplifier, on confond le plus souvent les notations comme  f f φ φ   et  ϕ ϕ   dans la mesure où on donne priorité à l'expression du résultat obtenu (et non aux relations formelles) ; on note ainsi selon les besoins :  f(M) f\left(M\right) f(λ) f\left(λ\right) f(x0,x1 ,x2,x3) f\left({x}^{0}, {x}^{1}, {x}^{2}, {x}^{3}\right) .

• On obtient ainsi en dérivant selon la courbe 𝒞 𝒞 dfdλ ] 𝒞 = αf dXα dλ = v f \displaystyle {\left. \frac{df}{dλ} \right]}_𝒞=∂_α f \; \frac{{dX}^α}{dλ}=\overset{↔}{v} \cdot \overset{↔}{∇}f .

Ceci met en évidence un isomorphisme entre d'ensemble des objets de coordonnées  vα = dXα dλ \displaystyle v^α=\frac{{dX}^α}{dλ}   et l'ensemble (espace vectoriel) des opérateurs de dérivation en M M v 𝒱^ = vα ^α \overset{↔}{v}↔\widehat{𝒱}={v}^{α}\:{\widehat{∂}}_{α}   tel que   𝒱^(f) = dfdλ ] 𝒞 \displaystyle \widehat{𝒱}\left(f\right)={\left. \frac{df}{dλ} \right]}_{𝒞} .

Il est alors généralement proposé d'identifier l'espace vectoriel tangent avec cet espace d'opérateurs.

◊ remarque : afin de mieux distinguer ces notations, les “vecteurs” correspondants sont ici notés avec des symboles différents.

• En particulier, la courbe paramétrée par  λ=x0 λ={x}^{0}   (ou de même pour un autre indice) donne :  dfdx0 ] 𝒞 = ^0(f) = 0f = e0 f \displaystyle {\left. \frac{df}{{dx}^0} \right]}_𝒞={\widehat{∂}}_0 \left( f \right) =∂_0 f=\overset{↔}{e}_0 \cdot \overset{↔}{∇}f   où  e0 = ( 1 ; 0 ; 0 ; 0 ) \overset{↔}{e}_0=\left(1\:;\:0\:;\:0\:;\:0\right)   est le vecteur de base de l'axe correspondant de la carte utilisée.

• On peut aussi définir un opérateur  dM^ = 𝒱^ dλ d\widehat{M}=\widehat{𝒱}\;dλ   caractérisé par ses composantes égales à  dxα {dx}^{α}   sur la base ^α {\widehat{∂}}_{α} dM^(f) = df = f ( (λ+dλ) ) - f ( (λ) ) = α f dxα = ( dxα ^α ) (f) d\widehat{M}\left(f\right)=df=f\left(ℳ\left(λ+dλ\right)\right)-f\left(ℳ\left(λ\right)\right) ={∂}_{α}f\;d{x}^{α}=\left(d{x}^{α}\;{\widehat{∂}}_{α}\right)\left(f\right) .

◊ remarque : cette autre façon de formaliser est tout aussi acceptable mais n'apporte ici rien de plus.

Formes multilinéaires et tenseurs

• D'un point de vue mathématique général, on peut appeler “forme linéaire” une application linéaire sur les vecteurs :

ω \overset{←}{ω}  :
𝒯M() {𝒯}_{M}\left(ℰ\right)




v \overset{→}{v}

ω | v \langle \;\overset{←}{ω} \,\vert \overset{→}{v} \; \rangle


λ ∀λ∊ℝ ,
( u , v ) ∀\left(\,\overset{→}{u}\,, \overset{→}{v}\,\right) ,
ω | λ u + v = λ ω | u + ω | v \langle \; \overset{←}{ω} \,\vert λ \;\overset{→}{u}+\overset{→}{v} \; \rangle =λ\;\langle \; \overset{←}{ω} \,\vert \overset{→}{u} \; \rangle +\langle \;\overset{←}{ω} \,\vert \overset{→}{v} \; \rangle .

L'ensemble des formes linéaires sur  𝒯M() {𝒯}_{M}\left(ℰ\right)   est un espace vectoriel de même dimension (ici 4 4 ), nommé “espace dual”  𝒯 M * () {{𝒯}_{M}^{\,*}\left(ℰ\right)} .  Cette dualité canonique est telle que tout vecteur est réciproquement une forme linéaire sur  𝒯 M * () {{𝒯}_{M}^{\,*}\left(ℰ\right)} ,  c'est à dire que   𝒯M** () = 𝒯M() {{𝒯}_{M}^{**}\left(ℰ\right)}={𝒯}_{M}\left(ℰ\right) .

◊ remarque : la notation “vecteur dual” utilisée ici, pour insister sur la réciprocité, n'est pas l'usage courant (on peut l'omettre s'il n'y a pas d'ambiguïté).

• Puisque les scalaires sont invariants lors d'un changement de système de coordonnées  (xα) (x_α) \left({x}^{α}\right)↦\left({\underline{x}}^{α}\right) ,  les formes linéaires se transforment inversement aux vecteurs :  ωα = ω | eα {ω}_{α}=\langle\;\overset{←}{ω} \,\vert \overset{→}{e}_α \,\rangle   ;  ω_α = _α xβ ωβ {\underline{ω}}_{α}={\underline{∂}}_{α}{x}^{β} \;{ω}_{β} .

Par ailleurs réciproquement :  ω = ωα eα \overset{←}{ω}={ω}_{α}\;\overset{←}{e}^α   avec une base de “covecteurs” telle que :  eα | v = vα \langle \; \overset{←}{e}^α \,\vert \;\overset{→}{v} \; \rangle=v^α   ;  eα | eβ = δβα \langle \; \overset{←}{e}^α \,\vert \:\overset{→}{e}_β \, \rangle={δ}_{β}^{α} .

• On peut nommer “tenseur  k k   contravariant et    covariant” une application, linéaire par rapport à chacun de ses arguments, du type :

T \mathbf{T}  :
1k 𝒯M* () × 1 𝒯M () {∏}_{1}^{k} \; {𝒯_M^{*} \left(ℰ\right)} × {∏}_{1}^{ℓ} \; 𝒯_M \left(ℰ\right)



Ainsi, les vecteurs sont des tenseurs contravariants et les covecteurs sont des tenseurs covariants.

Par exemple, les coordonnées d'un tenseur 1-contravariant et 2-covariant correspondent à :   𝐓 βγ α = 𝐓 ( eα , eβ , eγ ) {\mathbf{T}}_{\;\;βγ}^α=\mathbf{T}\left({\overset{←}{e}^α}, \: \overset{→}{e}_β\:, \: \overset{→}{e}_γ\right) .

Tenseur métrique

• Dans une variété, on peut définir un tenseur métrique  g \mathbf{g} : forme bilinéaire symétrique “non dégénérée”, donc telle que :  [ v, 𝐠 ( u , v ) = 0 ] ( u = 0 ) \left[ ∀ \overset{→}{v}, \; \mathbf{g}\left( \overset{→}{u} \,, \overset{→}{v} \,\right) =0 \,\right]⇒\left( \overset{→}{u}=\overset{→}{0} \,\right) .

Le tenseur métrique, qui peut être caractérisé par ses coordonnées, définit un “produit scalaire généralisé” :
𝐠αβ = 𝐠 ( eα , eβ ) {\mathbf{g}}_{αβ}=\mathbf{g}\left( \overset{→}{e}_α \:, \overset{→}{e}_β\right)    ;   u v = 𝐠 ( u , v ) = 𝐠αβ uα vβ \overset{→}{u} \cdot \overset{→}{v}=\mathbf{g} \left( \overset{→}{u} \,, \overset{→}{v} \,\right)={\mathbf{g}}_{αβ} \: {u}^{α} \, {v}^{β} .

◊ remarque : il s'agit d'un “produit scalaire” au sens large, car au sens strict il ne peut pas exister des vecteurs non nuls dont le produit scalaire soit nul (ou même négatif).

• De ce fait ceci peut associer à tout vecteur u \overset{→}{u} (de coordonnées uα {u}^{α} ) un covecteur  u = 𝐠 ( u , eβ ) eβ \overset{←}{u}=\mathbf{g}\left( \overset{→}{u} \,, \: \overset{→}{e}_β \right) \; \overset{←}{e}^β   de coordonnées  uβ = gαβ uα {u}_{β}={\mathbf{g}}_{αβ} \: {u}^{α} .  Cette association ainsi définie étant unique (dès lors qu'on a fixé le tenseur métrique), on peut usuellement omettre la notation différente (dual) pour u \overset{←}{u} : on parle des coordonnées covariantes “de u \overset{→}{u} ”.

• Le tenseur métrique étant non dégénéré, la matrice [ gαβ ] \left[{\mathbf{g}}_{αβ}\right] est inversible. Son inverse [ gαβ ] \left[{\mathbf{g}}^{αβ}\right] est telle que  gαμ gμβ = δβα {\mathbf{g}}^{αμ} \: {\mathbf{g}}_{μβ}={δ}_{β}^{α} .  Cela définit une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur les covecteurs :  u v = 𝐠αβ uα vβ = u v \overset{←}{u} \cdot \overset{←}{v}={\mathbf{g}}^{αβ} \: u_α \, v_β =\overset{→}{u} \cdot \overset{→}{v} .

De façon générale, le tenseur métrique permet de “monter” et/ou “descendre” les indices des tenseurs.

• On peut ensuite définir une “norme” (pseudo-norme, pour la même raison que pour le produit scalaire) telle que :  u 2 = uu {\lVert\overset{→}{u}\rVert}^{2} =\overset{→}{u} \cdot \overset{→}{u}   ainsi qu'une “distance” (pseudo-distance) telle que :  ds2 = gαβ dxα dxβ {ds}^{2}={\mathbf{g}}_{αβ} \: {dx}^{α} \, {dx}^{β} .

• Finalement, on peut ainsi de proche en proche retrouver, dans un espace courbe “quelconque” le plus général, les résultats de l'analyse géométrique obtenus précédemment pour des sous-variétés incluses dans n {ℝ}^{n} .