RG - ANNEXE III

Groupe des isométries

• Dans un changement de coordonnées

x^μ→\underline{x}^μ

, la métrique se transforme selon :

$g_{αβ} \left(x^μ \,\right)→\underline{g}_{αβ} \left(\underline{x}^μ\, \right)=\underline{∂}_α x^ρ \:\underline{∂}_β x^σ \:g_{ρσ} \left(x^μ \,\right)$ ;
$g_{αβ} \left(x^μ \,\right)=∂_α \underline{x}^ρ \:∂_β \underline{x}^σ \:\underline{g}_{ρσ} \left(\underline{x}^μ \,\right)$ .

Une isométrie est une transformation qui laisse invariante l'expression de la métrique :

\underline{g}_{ρσ} \left(\underline{x}^μ\, \right)=g_{ρσ} \left(\underline{x}^μ \,\right)

. Dans ce cas :

g_{αβ} \left(x^μ \,\right)=∂_α \underline{x}^ρ \:∂_β \underline{x}^σ \:g_{ρσ} \left(\underline{x}^μ \,\right)

.

• On peut simplifier les raisonnements en étudiant les générateurs infinitésimaux du groupe des isométries, c'est-à-dire des transformations particulières de la forme infinitésimale :

\underline{x}^μ=x^μ+ε \:\:ξ^μ \left(x^ν \,\right)

avec

\left|ε\right|≪ 1

.

À l'ordre le plus bas, la condition d'isométrie peut s'écrire :

$g_{αβ} \left(x^μ \,\right)=\left[ δ_α^ρ+ε \:\,∂_α ξ^ρ \left(x^μ \,\right) \right] \:\left[δ_β^σ+ε \:\,∂_β ξ^σ \left(x^μ \,\right)\right] \:g_{ρσ} \left(\underline{x}^μ \,\right)$ ;
$g_{αβ} \left(x^μ \,\right)≈ε \:\,∂_α ξ^ρ \left(x^μ \,\right) \:δ_β^σ \:g_{ρσ} \left(x^μ \,\right)+δ_α^ρ \:ε \:\,∂_β ξ^σ \left(x^μ \,\right) \:g_{ρσ} \left(x^μ \,\right)\:\:⋯$
$⋯\:+δ_α^ρ \:δ_β^σ .\left[g_{ρσ} \left(x^μ \,\right)+∂_κ g_{ρσ} \left(x^μ \,\right) \;ε \:\:ξ^κ \left(x^μ \,\right)\right]$ .

En simplifiant (tout est calculé en

x^μ

) :

∂_α ξ^ρ \:g_{ρβ}+∂_β ξ^σ \:g_{ασ}+∂_κ g_{αβ} \;ξ^κ≈0

.

Ceci peut être écrit avec les dérivées covariantes :

$\left(D_α ξ^ρ-Γ_{\phantom{x}γα}^ρ \:ξ^γ\, \right) \:g_{ρβ}+\left(D_β ξ^σ-Γ_{\phantom{x}γβ}^σ \:ξ^γ\, \right) \:g_{ασ}+∂_κ g_{αβ} \:ξ^κ≈0$ ;
$D_α ξ^ρ \:g_{ρβ}+D_β ξ^σ \:g_{ασ}+\left(∂_γ g_{αβ}-Γ_{\:\:\:γα}^ρ \:g_{ρβ}-Γ_{\:\:\:γβ}^σ \:g_{ασ} \right) \;ξ^γ≈0$ ;
$D_α ξ_β+D_β ξ_α+D_γ g_{αβ} \;ξ^γ≈0$ .

D_γ g_{αβ} =0

; la condition d'isométrie est donc :

D_α ξ_β+D_β ξ_α=0

Dérivée de Lie

• La dérivée de Lie d'une quantité

f\left(\,\overset{↔}{M} \,\right)

dépendant de la position (ou de même pour

f^α

...) dans la direction d'un vecteur

\overset{↔}{ξ}

peut être définie comme la limite :

$ℒ_{\,\overset{↔}{ξ}} f=\underset{ε→0}{\mathrm{lim}}\: {\displaystyle{\frac{f\left(\overset{↔}{M}+ε \;\overset{↔}{ξ} \right)-f\left(\,\overset{↔}{M} \,\right)}{ε}}}$ .

On peut alors écrire :

$ℒ_{\:\overleftrightarrow{ξ}} f=ξ^1 \;\underset{ε→0}{\mathrm{lim}} \: {\displaystyle{\frac{f\left(x^1+ε \;ξ^1,\,x^2,⋯ \right) -f\left(x^1,\,x^2,⋯ \right)}{ε \;ξ^1}}} + ⋯$
$⋯\:+ξ^2 \; \underset{ε→0}{\mathrm{lim}}\: {\displaystyle{\frac{f\left(x^1,\,x^2+ε \;ξ^2,⋯ \right) -f\left(x^1,\,x^2,⋯ \right)}{ε \;ξ^2}}}+ ⋯$ ;
$ℒ_{\:\overset{↔}{ξ}} f=ξ^μ \:∂_μ f\left(\,\overset{↔}{M} \,\right)$ .

◊ remarque : les vecteurs de base “naturels” en géométrie riemannienne correspondent à :

\overset{↔}{e}_α=∂_α \overset{↔}{M}

; ceci est analogue à une dérivée de Lie de

M^μ

dans la direction d'un vecteur

\overset{↔}{ξ}_{(α)}

de coordonnées

ξ_{(α)}^{\phantom{x}μ}=δ_α^μ

Vecteur de Killing

• On nomme “vecteur de Killing” un vecteur

\overset{↔}{ξ}

tel que la dérivée de Lie de la métrique dans sa direction soit nulle :

ℒ_{\:\overset{↔}{ξ}} \:g_{μν}=0

.

Dans la mesure où cela revient à dire que la métrique est invariante dans une transformation infinitésimale selon

\overset{↔}{ξ}

, on peut aussi le traduire par “l'équation de Killing” :

D_α ξ_β+D_β ξ_α=0

.

• En particulier tout vecteur de Killing a une divergence nulle :

$D_α ξ^α=\frac{1}{2} \,g^{αβ}.\left(D_α ξ_β+D_β ξ_α \right)=0$ .

• Compte tenu de la non commutation des dérivées de tout vecteur, les vecteurs de Killing vérifient :

D_μ D_ν ξ_β-D_ν D_μ ξ_β=-R_{\phantom{x}βμν}^λ \:ξ_λ

.

Mais d'après l'identité de Bianchi :

R_{\phantom{x}βμν}^λ+R_{\phantom{x}μνβ}^λ+R_{\phantom{x}νβμ}^λ=0

; ainsi avec la relation de Killing :

$\left(D_μ D_ν ξ_β-D_ν D_μ ξ_β \right)+\left(D_ν D_β ξ_μ-D_β D_ν ξ_μ \right)+\left(D_β D_μ ξ_ν-D_μ D_β ξ_ν \right)=0$ ;
$D_μ \left(D_ν ξ_β-D_β ξ_ν \right)+D_ν \left(D_β ξ_μ-D_μ ξ_β \right)+D_β \left(D_μ ξ_ν-D_ν ξ_μ \right)=0$ ;
$D_μ D_ν ξ_β-D_ν D_μ ξ_β=-D_β D_μ ξ_ν$ .

On obtient donc finalement :

D_β D_μ ξ_ν=R_{\phantom{x}βμν}^λ \:ξ_λ

.

• Cette équation montre que si on connait un vecteur de Killing et ses dérivées premières en un point, on peut (en principe) le calculer partout par intégration.

Avec le d'alembertien

❑=g^{βμ} \:D_β D_μ

on peut aussi en déduire une forme plus simple :

❑ξ_ν=-R_{\phantom{x}ν}^λ \:ξ_λ

Constantes du mouvement

• En notant

u^α=\frac{dx^α}{ds}

le vecteur tangent à une géodésique, cette dernière est caractérisée par l'invariance :

\displaystyle \frac{Du^α}{ds}=u^β \:D_β u^α=0

.

• À tout vecteur de Killing

ξ_μ

correspond une constante du mouvement

u^α \:ξ_α

.

Compte tenu de l'antisymétrie de

D_β ξ_α

on peut en effet écrire :

${\displaystyle{\frac{D\left(u^α \:ξ_α\right)}{ds}}}=u^β \:D_β \left(u^α \:ξ_α \right)=u^β \:u^α \:D_β ξ_α+ξ_α \:u^β \:D_β u^α=0$ .

◊ remarque : ceci suppose que le mouvement suit une géodésique, donc concerne une particule libre (en présence d'effets électromagnétiques, il faudrait étudier de même les transformations laissant invariant le 4-potentiel

A^μ

).

• Dans le cas d'une particule massive libre, cela n'est pas indépendant du théorème de Nœther : « à toute transformation infinitésimale qui laisse invariante l'intégrale d'action correspond une grandeur qui se conserve ».

En effet l'action s'écrit dans ce cas :

𝒮=-m\,c\:∫ ds

, donc son invariance est conséquence de celle de la métrique.