MÉTRIQUE DE LEMAÎTRE - GÉNÉRALISATIONS - exercices



I. Transformation de Lemaître généralisée et transformation de Lorentz

        • La transformation de Lemaître joue un rôle analogue à celui d'une transformation de Lorentz. Appliquer cette dernière pour un référentiel comobile par rapport à une particule en chute libre radiale avec une vitesse initiale quelconque ; commenter le résultat obtenu.


II. Transformation de Lemaître généralisée et transformation classique

        • On considère la transformation de Lemaître généralisée correspondant à une vitesse d'entraînement  ve=−c1−Aα\displaystyle v_e=-c \;\sqrt{1-\frac{A}{α}}   avec   α=A01−β02\displaystyle α=\frac{A_0}{1-β_0^{\:2}} .
        • Montrer que, au voisinage de l'horizon, le comportement de cette transformation est équivalent à celui de la transformation classique  (pour  α=1α=1).


III. Expressions des coordonnées

1.     • On veut déterminer l'expression de  R−cTR-c \,T  pour la métrique de Lemaître, dans le cas d'une particule en chute libre radiale avec une vitesse initiale quelconque.
        a) Étudier le cas  α=2α=2 .
        b) Étudier le cas  α=12α=\frac{1}{2} .
        c) Généraliser au cas  α<1α<1  quelconque.

2.     • On veut déterminer l'expression de  cT−αctc \,T -\sqrt{α} \: c \,t  pour la métrique de Lemaître, dans le cas d'une particule en chute libre radiale avec une vitesse initiale quelconque.
        a) Étudier le cas  α=2α=2 .
        b) Étudier le cas  α=12α=\frac{1}{2} .
        c) Généraliser au cas  α<1α<1  quelconque.


IV. Variante de métrique

        • Appliquer le principe de la transformation de Lemaître pour une vitesse de chute  ve=−c(rsr)1/4\displaystyle v_e=-c\:\left(\frac{r_s}{r}\right)^{1/4}.


V. Variante de métrique

        • Appliquer le principe de la transformation de Lemaître pour une vitesse de chute  ve=−crsr\displaystyle v_e=-c \: \frac{r_s}{r} .


VI. Coordonnées de Lemaître-Eddington-Finkelstein

        • On souhaiterait appliquer la méthode utilisée par Lemaître pour construire son repérage comobile avec les particules en chute libre radiale, mais en l'appliquant aux photons. Cela n'est pas directement possible puisque le calcul de Lemaître équivaut à une transformation de Lorentz et qu'on ne peut pas l'appliquer pour raisonner dans le référentiel propre des photons.
        • Il existe toutefois une autre méthode aboutissant au repérage de Lemaître : on part d'une coordonnée associée à une particule en chute libre (analogue à celle d'Eddington-Finkelstein pour les photons, d'ailleurs utilisée par Kruskal et Szekeres pour construire leur repérage), puis on lui adjoint une variable temporelle correspondant au temps propre mesuré le long de la trajectoire. Cela n'est pas possible ici puisque le temps propre des photons est nul, mais on peut chercher une paramétrisation analogue. C'est cette méthode qu'on cherche à adapter.

1.     a) Rappeler la relation décrivant le mouvement radial des photons.
        b) Eddington et Finkelstein utilisent deux familles de telles trajectoires, correspondant à deux paramètres (généralement notés UU et VV) :  ct∓(r+rsln(|rrs−1|))\displaystyle c \,t∓\left(r+r_s \: \ln\left(\left|\frac{r}{r_s} -1\right|\right) \right) .  Préciser la famille de courbes décrivant les photons descendants, dont ici on notera RR le paramètre.

2.     a) La trajectoire des particules massives peut être paramétrée par le temps propre ττ (ou par ss) ; déterminer la variable “naturelle” ςς paramétrant la trajectoire des photons et proposer une variable temporelle TT correspondante (le long d'une trajectoire).
        b) Pour un déplacement quelconque dans le demi-plan (r,ct)(r,c \,t), essayer de généraliser le résultat précédent. Commenter.


VII. Métrique d'Eddington-Finkelstein

1.     a) Eddington et Finkelstein ont proposé plusieurs coordonnées pour réinterpréter la métrique de Schwarzschild, entre autres :  ct+=ct+rsln(|rrs−1|)\displaystyle c \,t_{+}=c \,t+r_s \: \ln\left(\left|\frac{r}{r_s} -1\right|\right) .  Exprimer la métrique avec cette variable temporelle. Commenter.
        b) On peut montrer que les équations du mouvement de chute radiale peuvent s'écrire sous la forme :  Acdtdσ=αt=Cste\displaystyle A \: \frac{c \,dt}{dσ}=α_t=Cste  ;  drdσ=−αt2+αrA\displaystyle \frac{dr}{dσ}=-\sqrt{α_t^{\:2}+α_r \: A}  où  αr=Csteα_r=Cste  (αr=0α_r=0  pour les photons) et où  σ=s σ=s  pour les particules massives. Déterminer  cdt+dσ\displaystyle \frac{c \,{dt}_{+}}{dσ}  ;  montrer que, pour décrire le mouvement, ct+c \,t_{+} est un paramètre régulier au voisinage de  r=rsr=r_s  ;  montrer que sa variation est alors monotone.
        c) Ces propriétés semblent indiquer que la variable t+t_{+} est un “bon paramètre” du genre temps ; justifier que cela est contradictoire avec l'expression précédente de la métrique. Commenter.

2.     a) Montrer qu'on peut résoudre la difficulté précédente en définissant une coordonnée r+r_{+} appropriée. Préciser l'expression correspondante de la métrique.
        b) Justifier qu'une telle démarche est analogue à celle de Lemaître. Exprimer la vitesse d'entraînement correspondante.

3.     • Il peut être intéressant de représenter les trajectoires de photons entrants et sortants (cônes de lumière) dans le plan (r,ct+)(r, c \,t_{+}) plutôt qu'avec les coordonnées (r+,ct+)(r_{+} , c \,t_{+}) du type Lemaître. Montrer qu'on retrouve en conséquence le fait qu'aucune particule ne peut sortir de la zone  r<rsr<r_s .


VIII. Choix de l'origine du repère de Lemaître

        • On considère un repérage de Lemaître avec une vitesse d'entraînement centripète  ve=−c1−Aα\displaystyle v_e=-c \;\sqrt{1-\frac{A}{α}} .
        • Les relations entre  R(r,ct)R(r,c \,t)  et  cT(r,ct)c \,T(r,c \,t)  sont usuellement obtenues avec des constantes d'intégration nulles, mais pour  α<1α<1  il est prudent de vérifier la validité du choix de ces constantes, qui fixent l'origine en  R=0R=0  et  cT=0c \,T=0  pour  r=0r=0  et  ct=0c \,t=0 .
        • Si on étudie le référentiel d'une particule en ascension depuis  r=0r=0  jusqu'à  r0r_0 ,  puis retombant jusqu'à  r=0r=0 ,  on ne peut pas a priori fixer l'origine à la fois au départ et à l'arrivée. Il faut en outre se méfier du fait qu'il peut généralement exister trois occurrences de  ct=0c \,t=0 :  pour  r<rsr<r_s  au début de l'ascension, pour  r>rsr>r_s  lors du mouvement “classique”, pour  r<rsr<r_s  en fin de redescente.
        • Vérifier la cohérence de ce choix (ou en proposer un autre).


IX. Trajectoires de particules ascendantes puis descendantes

1.     • On considère un repérage de Lemaître avec une vitesse d'entraînement centripète  ve=−c1−Aα\displaystyle v_e=-c \;\sqrt{1-\frac{A}{α}}  dans le cas  α=12α=\frac{1}{2} .
        • Par rapport à ce repérage, étudier le mouvement d'une particule ascendante, ayant une vitesse  ve=c1−Aα\displaystyle v_e=c \;\sqrt{1-\frac{A}{α}}  par rapport au repère de Schwarzschild.  Montrer qu'on peut en déduire l'expression  ct(r)c \,t(r) .

2.     • Vérifier qu'on retrouve  dR=0dR=0  si on considère de façon analogue le mouvement d'une particule descendante (en comouvement avec le référentiel).


X. Extension pour un repérage de Lemaître généralisé avec  α<1α < 1

1.     • On considère un repérage de Lemaître généralisé avec  α=A0∈]0;1[α=A_0∈\left]0 \,;1\right[  ;  ceci correspond à un “sommet” de trajectoire pour  r0=11−α\displaystyle r_0=\frac{1}{1-α} .
        a) Rappeler l'inconvénient de la métrique correspondante pour  r>r0r>r_0 .
        b) Afin de chercher un prolongement de la représentation de base, pour  α∈]0;1[α∈\left]0 \,;1\right[ ,  montrer qu'on ne peut pas proposer un repérage avec une vitesse d'entraînement en expansion.

2.     • On se propose d'étudier s'il est possible de prolonger la représentation de base à l'aide de notations complexes. Pour  α=A0<1α=A_0<1  (avec rsr_s comme unité),  les relations obtenues s'écrivent :
                R−cT=r0r0arcsin(rr0)−r0r.(r0−r)\displaystyle R-c \,T= r_0 \;\sqrt{r_0} \; \arcsin\left(\sqrt{\frac{r}{r_0}}\right)-\sqrt{r_0 \,r.(r_0-r)}  ;
                cT−αct=r.(r0−r)r0+r02−1r0[arcsin(2rr0−1)+π2]−r0−1r0arcosh(r.(r0−2)+r0r0|r−1|)\displaystyle c \,T-\sqrt{α} \: c \,t=\frac{\sqrt{r.(r_0-r)}}{\sqrt{r_0}}+\frac{\frac{r_0}{2}-1}{\sqrt{r_0}}\,\left[\arcsin\left(\frac{2\,r}{r_0}-1\right)+\frac{π}{2}\right]-\frac{\sqrt{r_0-1}}{\sqrt{r_0}} \: \mathrm{arcosh}\left(\frac{r.(r_0-2)+r_0}{r_0 \:|r-1|} \right) .
        • Peut-on prolonger ces expressions dans la zone  r>r0r>r_0 ?

3.     • Pour  r0=2r_0=2  et  α=12α=\frac{1}{2}  (avec rsr_s comme unité),  déterminer et représenter  r(R,cT)r(R,c \,T)  et  ct(R,cT)c \,t(R,c \,T)  dans le prolongement de la représentation (R,cT)(R,c \,T).

4.     • Représenter ainsi la trajectoire d'une particule en chute libre depuis l'infini avec une vitesse “initiale” (limite) nulle.


XI. Anomalie fondamentale de la singularité centrale

        • Après effondrement d'un astre en trou-noir, on considère généralement que toute la matière est annihilée en une singularité centrale en  r=0r=0 .  Ceci suppose qu'ensuite cette singularité est la seule origine du champ gravitationnel, donc qu'elle serait munie de propriétés physiques.
        • Calculer la vitesse de cette singularité par rapport aux particules comobiles ; commenter.


XII. Croisement de particules entrantes et sortantes

1.     • On considère une particule PP en chute libre radiale, étudiée dans son référentiel ℛℛ en comouvement de contraction.
        • On considère de même une particule P′P' en mouvement libre radial centrifuge, étudiée dans son référentiel ℛ′ℛ' en comouvement d'expansion. Maintenant on souhaite étudier comment la particule PP “voit” la particule P′P' dans  ℛℛ . On note  cT″c \,T''  et  R″R''  les coordonnées de P′P' dans  ℛℛ .
        a) Montrer que  cT″−cT′=R″+R′c \,T''-c \,T'=R''+R'  (où  R′=CsteR'=Cste).
        b) En reportant dans l'expression de  ds2{ds}^2,  dans ℛℛ et ℛ′ℛ' , en déduire des expressions de  cdT″c \,dT''  et  dR″dR''  en fonction de  κ″=r′rs\displaystyle κ''=\sqrt{\frac{r'}{r_s}} .
        c) Intégrer pour obtenir une représentation paramétrique de la trajectoire de P′P' dans ℛℛ . Commenter.

2.     • Pour confirmer les résultats précédents, combiner les transformations de Lemaître passant du référentiel statique ℛ0ℛ_0 respectivement  à ceux ℛℛ de PP et ℛ′ℛ' de P′P'. Commenter.


XIII. Coordonnées “isotropes”

1.     • Étudier la transformation de Lemaître avec les coordonnées “isotropes”, dans le cas d'une chute libre radiale avec une vitesse “initiale” (limite) nulle à l'infini. Commenter.

2.     • Caractériser graphiquement les courbes  r_=Cste\underline{r}=Cste  en passant par l'intermédiaire de  r(R,cT)r(R,c \,T)  avec  r>rsr>r_s  pour  r_<r_s\underline{r}<\underline{r}_s .
        • Caractériser de même les courbes  ct(R,cT)c \,t(R,c \,T) correspondantes.

3.     • Dans l'espace-temps décrit par les coordonnées isotropes, les particules en chute libre radiale effectuent des oscillations de part et d'autre de l'horizon. Représenter ce mouvement dans un repérage (R,cT)(R,c \,T).