INTERPRÉTATION DU CHAMP SPHÉRIQUE EXTÉRIEUR - exercices


I. Comportement étrange des coordonnées “isotropes”

        • On considère un astre créant dans le vide environnant un champ statique à symétrie sphérique. La métrique “classique” peut s'écrire :  ds2=A(r)c2dt2−C(r)dr2−r2dΩ2{ds}^2=A(r) \:c^2 \,{dt}^2-C(r) \:{dr}^2-r^2 \:{dΩ}^2   avec   dΩ2=dθ2+sin2(θ)dφ2{dΩ}^2={dθ}^2+\sin^2(θ) \:{dφ}^2  ;  A(r)=1C(r)=1−rsr\displaystyle A(r)=\frac{1}{C(r)}=1-\frac{r_s}{r} .
        • On peut aussi utiliser la forme “isotrope” :  ds2=A(r_)c2dt2−C_(r_)(dr_2+r_2dΩ2){ds}^2=A(\underline{r}) \:c^2 \,{dt}^2-\underline{C}(\underline{r}) \:\left({d\underline{r}}^2+\underline{r}^2 \:{dΩ}^2 \right) .  Compte tenu de l'équivalence  r≈r_r≈\underline{r}  à l'infini, la concordance des deux métriques impose :  r=r_.(1+r_sr_)2\displaystyle r=\underline{r} \,.\left(1+\frac{\underline{r}_s}{\underline{r}}\right)^2 avec  r_s=rs4\displaystyle \underline{r}_s=\frac{r_s}{4} .  On obtient ensuite :  A(r_)=(r_−r_s)2(r_+r_s)2\displaystyle A(\underline{r})=\frac{(\underline{r}-\underline{r}_s )^2}{(\underline{r}+\underline{r}_s )^2}    et   C_(r_)=(1+r_sr_)4\displaystyle \underline{C}(\underline{r})=\left(1+\frac{\underline{r}_s}{\underline{r}}\right)^4.
        • Une propriété importante est que  r(r_)r(\underline{r})  passe par un minimum  (r=rsr=r_s)  pour  r_=r_s\underline{r}=\underline{r}_s .  Ceci évite, respectivement pour  A(r_)A(\underline{r})  et  C_(r_)\underline{C}(\underline{r}) ,  le changement de signe comme pour A(r)A(r) ainsi que la divergence comme pour C(r)C(r).
        ◊ remarque : dans ce cas particulier les deux effets sont liés car  C=1A\displaystyle C=\frac{1}{A}  en notations “classiques” ; cela est usuellement considéré comme conséquence d'une transformation de Lorentz supraluminique.

1.     • D'autres coordonnées radiales peuvent avoir des propriétés semblables, on peut par exemple proposer r˜\tilde{r} telle que :  r=r˜.(1+r˜s2r˜2)\displaystyle r=\tilde{r} .\left(1+\frac{\tilde{r}_s^{\:2}}{\tilde{r}^2} \right) .
        a) Déterminer la valeur de la constante r˜s\tilde{r}_s .
        b) Déterminer la métrique correspondante :  ds2=A(r˜)c2dt2−C˜(r˜)dr˜2−D(r˜)dΩ2{ds}^2=A(\tilde{r}) \:c^2 \,{dt}^2-\tilde{C}(\tilde{r}) \:{d\tilde{r}}^2-D(\tilde{r}) \:{dΩ}^2  ;  commenter.

2.     • Inversement, on peut chercher des coordonnées radiales évitant le changement de signe de AA, ce qui nécessite un minimum ; on peut proposer r˜\tilde{r} (différente de la précédente) telle que :  A(r˜)=(1−r˜sr˜)2\displaystyle A(\tilde{r})=\left(1-\frac{\tilde{r}_s}{\tilde{r}}\right)^2.
        a) Déterminer la valeur de la constante r˜s\tilde{r}_s .
        b) Déterminer la métrique correspondante :  ds2=A(r˜)c2dt2−C˜(r˜)dr˜2−D(r˜)dΩ2{ds}^2=A(\tilde{r}) \:c^2 \,{dt}^2-\tilde{C}(\tilde{r}) \:{d\tilde{r}}^2-D(\tilde{r}) \:{dΩ}^2  ;  commenter.


II. Distances radiales

1.     a) On considère un astre décrit par la métrique “classique” de Schwarzschild ; exprimer la distance spatiale ρρ en fonction de rr :  d𝓁=±rr−rsdr=dρ\displaystyle d𝓁=±\sqrt{\frac{r}{r-r_s}} \; dr=dρ  (en nommant ρρ cette longueur).
        b) Ceci peut-il se généraliser pour  r<rs r<r_s ?

2.     a) Exprimer de même la distance spatiale ρρ en fonction de r_\underline{r} “isotrope” :  d𝓁=(1+r_sr_)2dr_=dρ\displaystyle d𝓁=\left(1+\frac{\underline{r}_s}{\underline{r}}\right)^2 d\underline{r}=dρ .
        b) Comparer les deux descriptions de  ρρ ,  en particulier pour ce qui concerne  r<rsr<r_s  et/ou  r_<r_s\underline{r}<\underline{r}_s  .


III. Métrique “artificiellement” divergente

1.     • On part d'une métrique :  ds2=c2dt2−dρ2−ρ2dΩ2{ds}^2=c^2 \,{dt}^2-{dρ}^2-ρ^2 \:{dΩ}^2  (décrivant un espace plat). On applique ensuite un changement de notation :  ρ=r2−a2ρ=\sqrt{r^2-a^2}  (où  aa  est une constante).
        a) Établir inversement l'expression de r(ρ)r(ρ) ; en tracer une représentation graphique.
        b) Établir l'expression de  dρdρ  en fonction de  rr  et  drdr  ;  en déduire l'expression de la métrique.
        c) Justifier que la divergence pour  r=a r=a  n'est qu'apparente ; considérer en particulier le cas d'un point matériel en mouvement uniforme radial vers l'origine et dépassant la limite  r=ar=a .

2.     • On applique maintenant un changement de notation :  ρ=a+r2−a2ρ=a+\sqrt{r^2-a^2} .
        a) Établir inversement l'expression de r(ρ)r(ρ) ; en tracer une représentation graphique.
        b) Établir l'expression de  dρdρ  en fonction de  rr  et  drdr  ;  en déduire l'expression de la métrique.
        c) Justifier que la divergence pour  r=ar=a  n'est qu'apparente, mais qu'elle pose ici une réelle difficulté d'interprétation ; considérer en particulier le cas d'un point matériel en mouvement uniforme radial vers l'origine et dépassant la limite  r=ar=a .


IV. Métrique “artificiellement” divergente

1.     • On considère les différentes métriques statiques :  ds2=A(r)c2dt2−C(r)dr2−D(r)dΩ2{ds}^2=A(r) \:c^2 \,{dt}^2-C(r) \:{dr}^2-D(r) \:{dΩ}^2  pour lesquelles il intervient une divergence de C(r)C(r) .
        • Justifier qu'un premier cas de telle divergence, qu'on peut nommer “asymptotique” (d'après la représentation graphique de la distance spatiale en fonction des variations de la variable radiale), correspond au cas de  C_(r_)=(1+r_sr_)4\displaystyle \underline{C}(\underline{r})=\left(1+\frac{\underline{r}_s}{\underline{r}}\right)^4  pour  r_→0\underline{r}→0  en coordonnées isotropes.

2.     • Montrer qu'un second cas, qu'on peut nommer “point d'inflexion”, peut être expliqué en partant de la droite réelle, décrite par la coordonnée cartésienne xx avec la métrique euclidienne, puis en effectuant le changement de variable  η=x3α2\displaystyle η=\frac{x^3}{α^2}  (qui permet de décrire l'ensemble de la droite réelle) où αα est une longueur constante arbitraire servant à faire correspondre les unités.

3.     a) Montrer qu'un troisième cas, qu'on peut nommer “extremum”, peut être expliqué en partant de la droite réelle, décrite par la coordonnée cartésienne xx avec la métrique euclidienne, puis en effectuant le changement de variable  ξ=x2α\displaystyle ξ=\frac{x^2}{α}  (qui ne peut décrire l'ensemble de la droite réelle qu'en adoptant une démarche permettant de distinguer des valeurs identiques de ξξ correspondant à des valeurs de xx de signes contraires).
        b) Justifier que ce cas semble être celui qui correspond à la divergence de C(r)C(r) pour  r=rsr=r_s  en coordonnées “classiques” de Schwarzschild.


V. Point matériel en chute libre

1.     • On raisonne dans le champ d'un astre à symétrie sphérique, en coordonnées “isotropes”.
        a) Écrire les équations d'une chute libre verticale pour un point matériel initialement immobile.
        b) en déduire par intégration  dtds\displaystyle \frac{dt}{ds}  et  dr_ds\displaystyle \frac{d\underline{r}}{ds} .

2.     a) Exprimer la durée locale dt𝓁oc{dt}_{𝓁oc} (mesurée par un observateur immobile) et la distance parcourue d𝓁d𝓁.
        b) En déduire la vitesse :  v=d𝓁dt𝓁oc\displaystyle v=\frac{d𝓁\,}{{dt}_{𝓁oc}}  ;  commenter.


VI. Point matériel en chute libre

1.     • On raisonne dans le champ d'un astre à symétrie sphérique, en coordonnées “classiques”.
        a) Écrire les équations d'une chute libre verticale pour un point matériel initialement immobile.
        b) En déduire par intégration  dtds\displaystyle \frac{dt}{ds}  et  drds\displaystyle \frac{dr}{ds} .

2.     a) Exprimer la durée locale dt𝓁oc{dt}_{𝓁oc} (mesurée par un observateur immobile) et la distance parcourue d𝓁d𝓁.
        b) En déduire la vitesse :  v=d𝓁dt𝓁oc\displaystyle v=\frac{d𝓁\,}{{dt}_{𝓁oc}}  ;  commenter.

3.     a) Déterminer de même par intégration  dtds\displaystyle \frac{dt}{ds}  et  drds\displaystyle \frac{dr}{ds}  dans le cas d'un mobile de vitesse initiale v0v_0 .
        b) En déduire la vitesse :  v=d𝓁dt𝓁oc\displaystyle v=\frac{d𝓁\,}{{dt}_{𝓁oc}}  ;  commenter.


VII. Point matériel en chute libre

        • On raisonne dans le champ d'un astre statique à symétrie sphérique, avec une coordonnée radiale “quelconque”. La métrique limitée au plan  θ=π2θ=\frac{π}{2}  peut s'écrire :  ds2=A(r)c2dt2−C(r)dr2{ds}^2=A(r) \:c^2 \,{dt}^2-C(r) \:{dr}^2 .
        • Les équations du mouvement d'un point matériel correspondent à :
                Acdtds=𝓀=CsteA \:c \,\frac{dt}{ds}=𝓀=Cste  (ceci est lié à la conservation de l'énergie) ;   (drds)2=𝓀2AC−1C\displaystyle \left(\frac{dr}{ds}\right)^2=\frac{𝓀^2}{A \,C}-\frac{1}{C} .

1.     • Exprimer la vitesse  vv  de chute, pour un point initialement immobile en r0r_0 .

2.     • Pour les coordonnées “classiques”,  on obtient :  A=1−rsr=1C\displaystyle A=1-\frac{r_s}{r}=\frac{1}{C}  avec  rs=2𝒢Mc2\displaystyle r_s=\frac{2 \,𝒢 \:M}{c^2} .
        a) Préciser la relation donnant  drdt\displaystyle \frac{dr}{dt}  dans ce cas. En déduire par intégration (numérique) la durée nécessaire pour que le point matériel atteigne la singularité.
        b) Préciser la relation donnant  drdτ\displaystyle \frac{dr}{dτ}  puis celle donnant  d2rdτ2\displaystyle \frac{d^2 r}{{dτ}^2}  (plus pratique à utiliser). En déduire par intégration (numérique) la durée propre nécessaire pour que le point matériel atteigne la singularité.

3.     • Pour les coordonnées “isotropes”,  on obtient :  A=(r_−r_s)2(r_+r_s)2\displaystyle A=\frac{(\underline{r}-\underline{r}_s )^2}{(\underline{r}+\underline{r}_s )^2}   et   C_=(r_+r_sr_)4\displaystyle \underline{C}=\left(\frac{\underline{r}+\underline{r}_s}{\underline{r}}\right)^4  avec  r_s=rs4\displaystyle \underline{r}_s=\frac{r_s}{4} .
        a) Préciser les relations donnant  dr_dτ\displaystyle \frac{d\underline{r}}{dτ}  et  d2r_dτ2\displaystyle \frac{d^2 \underline{r}}{{dτ}^2}  dans ce cas. Commenter.
        b) Les équations obtenues ne permettent pas une intégration numérique assez précise au voisinage de la singularité. Utiliser la propriété  dr_2r_2=Cdr2r2\displaystyle \frac{{d\underline{r}}^2}{\underline{r}^2} =C \:\frac{{dr}^2}{r^2}   pour en déduire les résultats à partir de l'intégration obtenue en fonction de rr . Commenter.


VIII. Photon en mouvement radial

        • On raisonne dans le champ d'un astre statique à symétrie sphérique.

1.     • Avec les coordonnées “classiques” dans l'interprétation “isotrope” on peut utiliser  A=1−rsr=1C\displaystyle A=1-\frac{r_s}{r}=\frac{1}{C} .
        a) Établir les équations du mouvement radial d'un photon.
        b) Représenter graphiquement et commenter.

2.     • Avec les coordonnées “isotropes” on peut utiliser  A=(r_−r_s)2(r_+r_s)2\displaystyle A=\frac{(\underline{r}-\underline{r}_s )^2}{(\underline{r}+\underline{r}_s )^2}   et   C_=(r_+r_sr_)4\displaystyle \underline{C}=\left(\frac{\underline{r}+\underline{r}_s}{\underline{r}}\right)^4  où  r_s=rs4\displaystyle \underline{r}_s=\frac{r_s}{4} .
        a) Établir les équations du mouvement radial d'un photon.
        b) Représenter graphiquement et commenter.


IX. Gravitation “répulsive”

        • En raisonnant comme en mécanique newtonienne, mais dans un espace courbe, montrer que la “force centrifuge” peut devenir centripète dans certaines configurations spatiales.
        • En se basant sur l'interprétation inertielle de la gravitation (caractérisant la relativité générale), montrer que cela justifie qu'au delà de l'horizon les coordonnées “isotropes” semblent faire intervenir un aspect gravitationnel répulsif.


X. Particules en chute libre verticale

        • On considère une particule en chute libre verticale, à partir d'une position  r0>rsr_0>r_s  à l'instant  t=0t=0 ,  avec une vitesse initiale nulle. Dans ce cas, avec les notations de Schwarzschild, la vitesse de chute peut s'écrire :  v=−c1−AA0\displaystyle v=-c \;\sqrt{1-\frac{A}{A_0}}   où  A0=A(r0)A_0=A(r_0) .

1.     • Montrer qu'on peut en déduire l'expression  ct(r)c \,t(r)  pour r0r_0 fixé.

2.     • Représenter graphiquement ces variations.


XI. Photons en mouvement vertical

        • On raisonne dans le champ d'un astre statique à symétrie sphérique ; avec les coordonnées “classiques” on peut utiliser   A=1−rsr=1C\displaystyle A=1-\frac{r_s}{r}=\frac{1}{C} .

1.     • Établir les équations du mouvement radial d'un photon (dans l'interprétation “classique”).

2.     • Représenter graphiquement et commenter.