RG XII - MÉTRIQUE À LA NOVIKOV - INTERPRÉTATION



1. Élaboration d'un diagramme à la Novikov

1.1. Diagramme basique

• Pour construire un diagramme, on peut commencer par chercher une fonction 𝒻(R)𝒻(R) , si possible la plus simple, qui respecte des propriétés semblant logiques (on utilise de façon générale  F=rsF=r_s ).

Puisque les repérages de Lemaître généralisés montrent que  α>1α>1  n'apporte rien d'utile, on peut de même se limiter à  𝒻∞=0𝒻_∞=0 . Si de tels repérages ne peuvent pas représenter de façon comobile les particules atteignant l'infini avec une vitesse non nulle, ils peuvent tout de même les représenter.

Puisque les particules ne peuvent pas avoir d'extremum  r0≤rsr_0≤r_s ,  on peut se limiter à  𝒻rs=−1𝒻_{r_s}=-1 .

◊ remarque : les notations 𝒻∞𝒻_∞ et 𝒻rs𝒻_{r_s} tiennent compte du fait qu'on n'a pas encore précisé la façon dont RR est relié à ces limites.

• On peut à ce niveau proposer simplement  𝒻(R)=−rsR\displaystyle 𝒻(R)=-\frac{r_s}{R}  avec  R>rsR>r_s .

Pour  T=0T=0  ceci correspond à :  η=πη=π  ;  r=r0=F|𝒻|=R\displaystyle r=r_0=\frac{F}{|𝒻|} =R  (avec les notations de Novikov), donc la variable RR est simplement égale à l'extremum ; 𝒻∞𝒻_∞ correspond à  R=r0=∞R=r_0=∞  ;  𝒻rs𝒻_{r_s} correspond à  R=r0=rsR=r_0=r_s .

Puisque le repérage de Lemaître généralisé utilise  α=A(r0)=1+𝒻α=A(r_0)=1+𝒻  avec r0r_0 et 𝒻𝒻 constants, il semble logique de retrouver ici  1+𝒻=A(r0)1+𝒻 =A(r_0)  avec 𝒻𝒻 et r0r_0 variables.

• On obtient ainsi :  r=R2[1−cos(η)]\displaystyle r=\frac{R}{2} \left[1-\cos(η) \right]   ;   cT=R3/22rs[π−η+sin(η)]\displaystyle c \,T=\frac{R^{3/2}}{2 \,\sqrt{r_s}} \, \left[π-η+\sin(η) \right] .

Ceci permet une représentation paramétrique des courbes  r=Cster=Cste .

IntNovikov_Im/Novikov_5.jpg

On y constate qu'il semble exister une zone non représentée  (R<rsR<r_s)  dans la région  r<rsr<r_s  ;  cette zone semblerait faire la jonction entre les “moitiés”  R>0R>0  des régions (II)(II) et (IV)(IV) du diagramme de Novikov.

Ceci n'est toutefois qu'une illusion : cette zone décrirait des particules qui partent de la singularité centrale, montent jusqu'à un  r0<rsr_0<r_s  puis retombent jusqu'à la singularité en faisant demi-tour sans s'arrêter puisque dans cette zone  v≥cv≥c  par rapport au repérage de Schwarzschild.

Cette zone est non physique pour la description de l'espace vide : la matière (en expansion puis en contraction) créant le trou-blanc/trou-noir (dynamiquement) doit forcément avoir un sommet de trajectoire au delà, donc la région correspondante ne peut être décrite que par les équations intérieures.

• Les courbes  t=Cstet=Cste  peuvent comme précédemment être tracées par des méthodes numériques. On obtient ainsi respectivement les graphiques ci-après pour les régions  r>rsr>r_s  puis  r<rsr<r_s .

IntNovikov_Im/Novikov_6.jpg

IntNovikov_Im/Novikov_7.jpg

 📖 exercice n° I.

1.2. Prolongement de Novikov

• La comparaison avec le diagramme de Kruskal-Szekeres (publié trois ans avant les travaux de Novikov) incite à y constater une ressemblance notable.

Cela est alors d'autant plus intéressant que Kruskal et Szekeres ont obtenu leur diagramme par une combinaison mathématique dépourvue de justification physique : les différentes parties semblent bien se raccorder, mais on doit se demander quelle en est la signification. En obtenant un diagramme comparable, par une méthode basée sur un raisonnement physique, Novikov semble avoir résolu ce problème.

La comparaison incite alors à considérer qu'il faut compléter le diagramme précédent, avec une seconde partie symétrique, ce qui semblerait devoir être mieux en  R=0R=0  (et non  R=rsR=r_s ).

◊ remarque : une telle démarche a l'inconvénient de retomber dans la même ornière, puisqu'il s'agit de combinaisons mathématiques dont on ignore s'il existe une justification physique.

• On peut commencer par décaler le diagramme, en utilisant  R=r0−rsR=r_0-r_s  (au lieu de  R=r0R=r_0 ).  Ceci revient à utiliser  𝒻(R)=−rsrs+R\displaystyle 𝒻(R)=-\frac{r_s}{r_s+R}  avec  R>0R>0 .  On obtient ainsi un équivalent de la moitié droite du diagramme de Novikov.

On peut alors symétriser en accolant une moitié gauche avec  R<0 R<0 ,  correspondant à  R=−(r0−rs)R=-(r_0-r_s)  et  𝒻(R)=−rsrs−R\displaystyle 𝒻(R)=-\frac{r_s}{r_s-R}  ;  ainsi au total :  𝒻(R)=−rsrs+|R|\displaystyle 𝒻(R)=-\frac{r_s}{r_s+\left|R\right|} .

• Un tel diagramme devient qualitativement équivalent à ceux de Kruskal-Szekeres et de Novikov, mais avec l'inconvénient que les courbes  r=Cster=Cste  (et les trajectoire de même) ont une rupture de pente au passage de  R=0R=0 .

Pour éviter cela, il suffit d'utiliser une paramétrisation quadratique avec R2R^2 au lieu de |R|\left|R\right| ;  c'est le choix de Novikov : 𝒻(R)=−rs2rs2+R2\displaystyle 𝒻(R)=-\frac{r_s^{\:2}}{r_s^{\:2}+R^2} .

◊ remarque : certains physiciens contestent le bien fondé, par l'intermédiaire des coordonnées isotropes, du raccordement d'une zone (I)(I) avec  r>rsr>r_s  et d'une zone (III)(III) avec aussi  r>rsr>r_s ,  pourtant d'une continuité mathématique irréprochable ; or il se trouve que le “bricolage” analogue du raccordement de Novikov, pourtant moins rigoureux, est approuvé par tous sans conteste.

2. Comparaison des repérages

2.1. Représentation de Schwarzschild

• On a montré précédemment que les trajectoires en chute libre verticale peuvent être représentées avec les notations  (r,ct)(r,c \,t)  de Schwarzschild. Ainsi pour une particule chutant depuis l'infini, avec une vitesse “initiale” (limite) nulle, puis atteignant  r=0r=0  à l'instant  t=0t=0 ,  on obtient (avec  rsr_s  comme unité et en omettant la composante imaginaire pour  r<rsr<r_s ) :

 ct=−23r(r+3)−ln(|r−1r+1|)\displaystyle c \,t=-\frac{2}{3} \:\sqrt{r} \: (r+3)-\ln\left(\left|\frac{\sqrt{r}-1}{\sqrt{r}+1}\right|\right) .

IntNovikov_Im/Novikov_8.jpg

Il est souvent dit que cette représentation est incomplète car elle ne décrit pas l'intégralité des trajectoires : c'est faux. Certes, on n'obtient le tracé qu'en acceptant qu'il présente une divergence pour  r=rsr=r_s  (et que  ct(r)c \,t(r)  ne soit pas bijectif), mais les courbes sont tout de même représentables en entier.

• Un tel repérage est invariant par changement de l'origine du temps. Il donne une description pour laquelle des particules peuvent tout aussi bien sortir que rentrer ; selon les circonstances, l'astre central peut ainsi autant être “trou blanc” que “trou noir”, permanent, avec les difficultés que cela implique lors des croisements de particules montantes et descendantes.

2.2. Représentations de Lemaître

• La famille des courbes précédentes, dont le décalage temporel est paramétré par la variable RR de Lemaître, permet à ce dernier de proposer son repérage comobile. La variable temporelle TT associée décrit l'évolution du temps propre des  particules de référence.

Un tel paramétrage est possible parce qu'il recouvre une fois et une seule l'ensemble du demi-plan (r,ct)(r,c \,t) par des courbes disjointes. Ainsi, la représentation de Lemaître est rigoureusement équivalente à celle de Schwarzschild.

◊ remarque : par contre, les représentations de Lemaître généralisées avec  α<1α<1  ne sont strictement complètes que pour  r≤r0r≤r_0  (il n'y a pas de particules de référence au delà ; seule l'utilisation de notations complexes peut y permettre une représentation, en fait peu pratique).

• Ces repérages sont également invariants par changement de l'origine du temps. Avec ces notations, selon qu'on donne une représentation de l'espace-temps tel qu'il est vu par des particules de référence montantes ou descendantes, il apparaît que des particules peuvent tout aussi bien sortir que rentrer. Selon les circonstances, l'astre central peut ainsi autant être “trou blanc” que “trou noir”, permanent, avec les difficultés que cela implique lors des croisements de particules montantes et descendantes.

2.3. Représentations de Novikov et Kruskal-Szekeres

• Novikov utilise une famille des courbes différentes : les trajectoires montant jusqu'à  r0>rsr_0>r_s ,  à  t=0t=0 ,  puis redescendant. L'extremum r0r_0 est paramétré par la variable RR de Novikov, qui obtient ainsi un autre repérage comobile. La variable temporelle TT associée décrit l'évolution du temps propre des  particules de référence (différent de celui de Lemaître, puisque les mouvements ne sont pas les mêmes).

◊ remarque : seule la partie  t≥0t≥0  de la représentation de Schwarzschild est montrée ci-après ; les courbes ont une partie  t≤0t≤0  symétrique.

IntNovikov_Im/Novikov_cor_1.jpg

• Un tel paramétrage est possible parce que, à condition d'inclure tous les  r0∈]rs;∞[r_0∈\left]r_s \,;∞\right[ ,  soit  𝒻∈]−1;0[𝒻∈\left]-1 \,;0\right[ ,  il recouvre une fois et une seule l'ensemble du demi-plan (r,ct)(r,c \,t) par des courbes disjointes. Ainsi, la représentation basique de Novikov est d'un certain point de vue rigoureusement équivalente à celle de Schwarzschild.

Mais l'invariance par changement d'origine du temps est ainsi brisée : on impose l'instant où la matière créant ce champ en son voisinage atteint son extension maximum, dépassant forcément rsr_s . Cela est associé dans ce type de diagrammes (celui de Kruskal-Szekeres de même) à une durée (intervalle  ]−π2rs;π2rs[\left]-\frac{π}{2} \,r_s \,; \frac{π}{2} \,r_s\right[  pour Novikov) pendant laquelle la singularité n'existe pas.

• Ce paramétrage évite la divergence de la coordonnée TT pour la descente et la montée des particules lors du passage en  r=rsr=r_s  (et cela quelles que soient leurs conditions initiales).

◊ remarque : on peut aussi essayer de proposer un repérage avec  𝒻∈]0;∞[𝒻∈\left]0 \,;∞\right[  mais il faut alors choisir une convention différente pour paramétrer les courbes, puisqu'elles n'ont plus d'extremum ; il faut dans ce cas veiller à ce que le recouvrement de l'espace-temps soit complet et unique.

3. Problème des intersections contradictoires

3.1. Interprétation modulo ππ

• Avec le repérage de Novikov, il est utile d'étudier la trajectoire limite pour  R→0R→0  (qui ne fait pas partie du diagramme de base). En notations de Schwarzschild, elle se limite au segment  r∈[0;1[r∈\left[0 \,;1\right[  pour  t=0t=0 .  Il faut ne pas y inclure l'asymptote  ct∈]−∞;∞[c \,t∈\left]-∞ \,;∞\right[  (vu la symétrie) pour  r=rsr=r_s  ;  cette droite limite indique seulement que  tt  y est indéterminé car  A(rs)dt2=0A(r_s) \:{dt}^2=0 .

◊ remarque : la situation est analogue en coordonnées polaires dans un espace plat : pour  r=0r=0 ,  l'angle θθ est indéterminé puisque  r2dθ2=0r^2 \:{dθ}^2=0 .

• En particulier, la trajectoire est la même à la montée et à la descente, parcourue en sens contraires. Pour prolonger par continuité et ajouter cette courbe à la famille utilisée, il faut inclure seulement la montée, ou la descente, de façon analogue à ce qui est fait pour les représentations de Lemaître.

• Dans le diagramme de Novikov, cela correspond aux deux moitiés du segment  −π2rs≤cT≤π2rs-\frac{π}{2} \,r_s≤c \,T≤\frac{π}{2} \,r_s  pour  R=0R=0  (ce serait aussi  R=rsR=r_s  dans le diagramme “basique”).

Si ces deux parties représentent les mêmes points de l'espace-temps, selon qu'il est vu par les particules entrantes ou sortantes, alors on peut considérer que les trajectoires qui atteignent cette limite par la droite de la région (II)(II) continuent leur mouvement vers la droite de la région (IV)(IV), c'est à dire que les diagrammes de Novikov et de Kruskal-Szekeres devraient être interprétés “modulo ππ” : il n'y aurait pas de côté gauche.

◊ remarque : c'est une situation analogue à ce qu'on obtiendrait en coordonnées polaires dans un espace plat, si on prolongeait la variable radiale rr dans les valeurs négatives ; c'est possible, mais à condition de limiter la variable angulaire à  θ∈[0;π]θ∈[0 \,;π] ; il serait sinon inadéquat de s'imaginer qu'on a ainsi permis l'accès à une autre région de l'espace.

• Il faut alors se souvenir qu'en étudiant la vitesse d'entraînement du repérage de Kruskal-Szekeres par rapport à celui de Schwarzschild, on s'était étonné qu'au passage de l'axe  u=0u=0  cette vitesse change brutalement de signe (avec une asymptote à l'infini).

On s'était alors rassuré en vérifiant que cet effet n'existe pas pour la vitesse d'entraînement du repérage de Kruskal-Szekeres par rapport à celui de Lemaître. On avait alors simplement soupçonné que la cause en soit l'invalidité du repérage de Schwarzschild dans cette région.

Mais à la lumière des propriétés précédentes, cela viendrait seulement du fait qu'on change alors de particules de référence : en passant de celles qui descendent à celles qui montent, cela change naturellement le sens de la vitesse d'entraînement (et la représentation de Schwarzschild ne serait pas moins valide).

• Pour confirmer cette interprétation, on peut tracer la trajectoire d'un photon passant cette limite en représentation de Schwarzschild. Ceux des photons entrants pour lesquels  t0<0t_0<0  y changent effectivement de particules de référence (donc de sens d'écoulement de TT pour Novikov).

La relation  ds2=0{ds}^2=0  donne pour les photons entrants :

 cdt=−drA=−rdrr−1\displaystyle c \,dt=-\frac{dr}{A}=-\frac{r \:dr}{r-1}  ;  ct=−r−ln(|r−1|)+ct0c \,t=-r-\ln\left(\left|r-1\right|\right)+c \,t_0 .

IntNovikov_Im/Novikov_9.jpg

On peut alors tracer la même trajectoire en représentation de Kruskal-Szekeres (plus facile que pour Novikov).

IntNovikov_Im/K_phot_modPi_1.jpg

On y constate que ces photons semblent terminer leur parcours avec une évolution du temps (ici vv) en sens inverse (comme déjà observé pour les notations de Lemaître) ; c'est simplement parce qu'on a paramétré le temps d'après l'évolution des particules de référence et qu'ici on a changé ces références (descente) pour d'autres évoluant en sens contraire (montée).

• On y constate en outre que, symétriquement, les photons sortant de la région (IV)(IV) vers la région (I)(I) proviennent pour certains de la région (II)(II) : le trou noir n'en est pas un.

Qui plus est : on retrouve que si deux particules se croisent dans la région  r<rsr<r_s ,  elles ont forcément un second croisement pour  r>rsr>r_s  et que ces deux croisements sont vécus en ordre inverse par les deux particules.

• On constate enfin que l'orientation des cônes de lumière dans les régions (II)(II) et (IV)(IV) semble ne pas correspondre à ce qui est généralement supposé ; cette orientation paraît d'ailleurs plutôt difficile à interpréter.

Cela n'est pas particulier aux représentations de Kruskal-Szekeres et de Novikov : on conclut de même en notations de Schwarzschild ou Lemaître. C'est plutôt lié à l'invariance temporelle de l'interprétation.

📖 exercices n° II et III.

3.2. Interprétation brisant l'invariance temporelle

• L'intervalle de temps entre les deux courbes  r=0r=0  en représentation de Novikov (ou de Kruskal-Szekeres) conduit à penser que le diagramme décrit un trou noir “dynamique” : trou blanc dans le passé et trou noir dans le futur.

Cela est associé à une brisure de l'invariance de l'origine du temps : alors imposée à l'instant où la matière créant le champ est à son extension maximum, forcément en  r>rsr>r_s .

• On peut à ce sujet revenir sur l'exemple des photons émis depuis la région (IV)(IV) ; certains sortent vers la région (I)(I) et d'autres, incapables d'aller dans le sens entrant, semblent devoir sortir vers la région (III)(III). On peut utiliser ici la représentation de Kruskal-Szekeres, nettement plus facile à tracer que celle de Novikov.

IntNovikov_Im/Kruskal_mat_phot.jpg

Ces derniers coupent effectivement les courbes  r=Cster=Cste  pour des valeurs tendant vers rsr_s : ils sortent par rapport au repérage en expansion, mais “le moins vite possible”.

Ils ne peuvent toutefois pas atteindre la région (III)(III) car ils sont rattrapés (avant même d'atteindre rsr_s) par la matière qui crée le champ, alors en expansion forcément plus rapide. Pour causer un trou-blanc/trou-noir, cette matière au voisinage de rsr_s doit être très dense et ne peut pas être traversée par les photons.

Dans ce cas encore, on aboutit à la conclusion qu'il n'y a pas de côté obscur ; si le diagramme doit être complété pour  R≤0R≤0  (ou  u≤0u≤0)  c'est forcément avec une métrique décrivant le cas intérieur.

• Cela résout tous les problèmes d'intersections contradictoires et de sens anormal d'écoulement du temps. On pourrait donc conclure que les trous-noirs “permanents” sont impossibles, mais qu'ils peuvent exister de façon dynamique, brisant l'invariance temporelle.

Toutefois les repérages de Lemaître font partie de la méthode générale de Novikov, or ils respectent l'invariance temporelle... la conclusion reste donc incertaine.

• Étant donné que le prolongement déduit des coordonnées isotropes supprime certaines difficultés mais en fait apparaître d'autres, il semble finalement clair que, si les trous noirs existent, il faut peut-être chercher ailleurs leur description et leur interprétation.

Les modèles de prolongement pour  r<rsr<r_s  semblant seulement modestement crédibles (le prolongement est mathématiquement possible, mais physiquement non totalement convaincant), on peut aussi se demander si l'interprétation la plus raisonnable ne serait pas celle de L. S. Abrams, pour laquelle l'horizon rsr_s correspond au rayon “périphérique” minimum pour une particule ponctuelle.

4. Anomalie fondamentale de la singularité centrale

• Avec le repérage de Schwarzschild, on a constaté une caractéristique étrange de la singularité centrale ; pour  r=0r=0  ce point semble immobile au delà de l'horizon, ce qui fait qu'il ne peut pas être doté de propriétés physiques (tout “point matériel” devant y avoir une vitesse supraluminique).

Or, après effondrement d'un astre en trou noir, toute la matière est supposée s'y être annihilée et c'est cette singularité qui serait seule source du champ gravitationnel environnant.

Cette anomalie fondamentale est en outre confirmée avec le repérage de Lemaître et ses généralisations. Cela est aussi constaté avec le repérage de Kruskal-Szekeres, mais ce dernier n'apporte pas d'arguments aussi nets (il est simplement moins adapté pour cela).

• Il est donc important de reprendre le raisonnement avec le repérage de Novikov, analogue de celui de celui de Kruskal-Szekeres et de plus comobile.

Conformément à la métrique  d𝓁=r′1+𝒻dR\displaystyle d𝓁=\frac{\:\:r'}{\sqrt{1+𝒻}} \: dR  donc la vitesse est :  v=r′1+𝒻dRdT\displaystyle v=\frac{\:\:r'}{\sqrt{1+𝒻}} \, \frac{dR}{dT} .

Pour la singularité, “fixe” en  r=0r=0 ,  on peut écrire :  dr=r′dR+r˙cdT=0dr=r' \:dR+\dot{r} \: c \,dT=0  donc  v=c|r˙|1+𝒻\displaystyle v=c \, \frac{|\dot{r}|}{\sqrt{1+𝒻}} .

Mais par ailleurs :  |r˙|=𝒻+Fr\displaystyle |\dot{r}|=\sqrt{𝒻+\frac{F}{r}}  avec  F=rsF=r_s   et   𝒻=−11+R2rs2\displaystyle 𝒻=\frac{-1}{1+\frac{R^2}{r_s^{\:2}}} .  Or pour  r=0r=0  on obtient  cT=cT0(R)=π2rs.(1+R2rs2)3/2\displaystyle c \,T=c \,T_0 (R)=\frac{π}{2} \, r_s .\left(1+\frac{R^2}{r_s^{\:2}}\right)^{3/2}  donc pour tout TT pour lequel la singularité existe cela donne une valeur finie de RR , donc de même pour 𝒻𝒻 .

Ainsi pour  r=0r=0  on obtient  |r˙|=∞|\dot{r}|=∞   et  v=∞v=∞ .  Ceci est totalement incompatible avec l'affirmation que cette singularité mathématique puisse être une singularité physique.