DIAGRAMME DE KRUSKAL-SZEKERES - exercices



Discontinuité d'une coordonnée

1.     • Dans un plan, on considère une droite passant par l'origine, décrite en coordonnées polaires ( r,θ ) (r,θ) avec  r>0 r>0  (distance à l'origine) et  θ∈[0,2π[ θ∈\left[0,2π\right[ .
        • Représenter le lieu des points correspondants sur un graphique cartésien orthonormé, avec r r en abscisse et θ θ en ordonnée. Commenter.

2.     • On considère de même un cercle passant par l'origine, décrit en coordonnées polaires. Représenter le lieu des points correspondants sur un graphique cartésien. Commenter.


Métrique d'Eddington-Finkelstein

        • Afin d'éviter la singularité en  r=rs r=r_s  de la métrique en coordonnées classiques de Schwarzschild,  ds2= A(r) c2 dt2 −C(r) dr2 −r2 dΩ2 {ds}^2=A(r) \:c^2 \,{dt}^2-C(r) \:{dr}^2-r^2 \:{dΩ}^2  avec  A(r)= 1C(r) =1−rsr \displaystyle A(r)=\frac{1}{C(r)}=1-\frac{r_s}{r}   et   rs= 2 𝒢M c2 \displaystyle r_s=\frac{2 \,𝒢 \:M}{c^2}  ,  Eddington et Finkelstein ont proposé un changement pour des coordonnées (U,V) (U,V) telles que les géodésiques radiales “nulles” correspondent :
        ☞ remarque : pour prolonger, on suppose ici  r<rs r<r_s  au delà de l'horizon.

1.     • Résoudre les équations des géodésiques radiales.

2.     • Exprimer la métrique avec les notations d'Eddington-Finkelstein pour un mouvement radial.

3.     a) Représenter quelques courbes correspondant à  ct =Cste c \,t=Cste  et/ou  r=Cste r=Cste  dans le plan des coordonnées (U,V) (U,V) .
        b) Préciser les limites du domaine des coordonnées (U,V) (U,V) “acceptables” (pour la partie  r<rs r<r_s ).


Coordonnées de Kruskal-Szekeres et de Lemaître

1.     • On considère la même méthode que celle utilisée pour construire le repérage de Kruskal-Szekeres à partir des coordonnées d'Eddington-Finkelstein, associées aux mouvements des photons, mais en l'appliquant aux particules massives en chute libre radiale avec une vitesse “initiale” nulle à l'infini.
        a) Montrer qu'on peut définir ainsi deux familles de trajectoires, associées à deux paramètre (qu'on peut noter U U et V V ) analogues à ceux d'Eddington-Finkelstein, permettant un repérage dans le demi-plan (r,c t ) (r,c \,t) .
        b) Exprimer la métrique en fonction de U U et V V ; commenter.

2.     • Pour essayer de simplifier on peut proposer d'utiliser seulement l'une de ces deux familles de courbes (celle correspondant à la chute, dont on notera R R le paramètre) et de choisir comme seconde variable le temps propre T T mesuré le long de la trajectoire.
        a) Préciser la quantité  cdT c \,dT ,  le long d'une courbe, en fonction de r r et  t t .
        b) Pour un déplacement quelconque dans le demi-plan ( r,ct ) (r,c \,t) ,  généraliser le résultat précédent.
        c) En déduire l'expression de la métrique correspondante.


Métrique de Kruskal-Szekeres

        • Pour éviter la singularité en  r=rs r=r_s  dans la métrique en coordonnées classiques de Schwarzschild,  ds2= A(r) c2 dt2 −C(r) dr2 −r2 dΩ2 {ds}^2=A(r) \:c^2 \,{dt}^2-C(r) \:{dr}^2-r^2 \:{dΩ}^2  avec  A(r)= 1C(r) =1−rsr \displaystyle A(r)=\frac{1}{C(r)}=1-\frac{r_s}{r}   et   rs= 2𝒢 M c2 \displaystyle r_s=\frac{2 \,𝒢 \:M}{c^2} ,  Kruskal et Szekeres proposent pour  r>rs r>r_s  les coordonnées :  u= rrs−1 e r/2rs cosh ( ct 2 rs ) \displaystyle u=\sqrt{\frac{r}{r_s} -1} \:\: \mathrm{e}^{r/2r_s} \:\: \cosh\left(\frac{c \,t}{2 \,r_s}\right)  ;  v= rrs−1 e r/2rs sinh ( ct 2rs ) \displaystyle v=\sqrt{\frac{r}{r_s} -1} \:\: \mathrm{e}^{r/2r_s} \:\: \sinh\left(\frac{c \,t}{2 \,r_s}\right)  ;  région (I) (I) .

1.     a) Représenter quelques courbes correspondant à  r=Cste r=Cste  et/ou à  ct =Cste c \,t=Cste  dans le plan des coordonnées (u,v) (u,v) .
        b) Établir les expressions inverses  c t(u,v) c \,t(u, v)  et  r(u,v) r(u, v) .
        c) Représenter quelques courbes correspondant à  u=Cste u=Cste  et/ou à  v=Cste v=Cste  dans le plan des coordonnées (r,c t) (r, c \,t) .

2.     • Établir l'expression de la métrique avec les notations de Kruskal-Szekeres.


Représentation de Penrose-Carter

1.     a) La représentation de Penrose-Carter est une anamorphose du diagramme de Kruskal-Szekeres obtenue selon les relations  u˜+ v˜= 2 arctan (u+v) \tilde{u}+\tilde{v}=2 \; \arctan⁡(u+v)   et   u˜− v˜= 2 arctan (u−v) \tilde{u}-\tilde{v}=2 \; \arctan⁡(u-v) .  Représenter l'allure des courbes  u=Cste u=Cste  et   v=Cste v=Cste  dans le repérage (u˜, v˜) (\tilde{u},\tilde{v}) .

        b) On nomme “transformation conforme” une bijection qui conserve localement les angles. En particulier si deux familles de courbes sont orthogonales, alors leurs images sont deux familles de courbes également orthogonales. Il est parfois indiqué que la représentation de Penrose-Carter correspond à une transformation conforme. Considérer les deux familles de courbes  {u=Cste} \{u=Cste\}  et  {v=Cste} \{v=Cste\}  ainsi que leurs images par l'anamorphose de Penrose-Carter ; commenter.

2.     • En se limitant à  r>rs r>r_s  (région (I) (I) ) représenter l'allure des courbes  r=Cste r=Cste  et   ct= Cste c \,t=Cste  dans le repérage (u˜, v˜) (\tilde{u},\tilde{v}) .  Considérer les deux familles de courbes  {r= Cste} \{r=Cste\}  et  {ct= Cste} \{c \,t=Cste\}  ainsi que leurs images par l'anamorphose de Penrose-Carter ; commenter.


Métrique de Kruskal-Szekeres

        • Pour éviter la singularité en  r=rs r=r_s  dans la métrique en coordonnées classiques de Schwarzschild,  ds2= A(r) c2 dt2 −C(r) dr2 −r2 dΩ2 {ds}^2=A(r) \:c^2 \,{dt}^2-C(r) \:{dr}^2-r^2 \:{dΩ}^2  avec  A(r)= 1C(r) =1−rsr \displaystyle A(r)=\frac{1}{C(r)}=1-\frac{r_s}{r}   et   rs= 2𝒢 M c2 \displaystyle r_s=\frac{2 \,𝒢 \:M}{c^2}  ,  Kruskal et Szekeres proposent  pour  r<rs r<r_s  les coordonnées :  u= 1−rrs e r/2rs sinh ( ct 2rs ) \displaystyle u=\sqrt{1-\frac{r}{r_s}} \:\: \mathrm{e}^{r/2r_s} \:\: \sinh\left(\frac{c \,t}{2 \,r_s}\right)  ;  v= 1−rrs e r/2rs cosh ( ct 2rs ) \displaystyle v=\sqrt{1-\frac{r}{r_s}} \:\: \mathrm{e}^{r/2r_s} \:\: \cosh\left(\frac{c \,t}{2 \,r_s}\right)  ;  région (II) (II) .
        ◊ remarque : on omet la composante imaginaire de  ct c \,t  (“compensée” par les expressions utilisées).

1.     a) Représenter quelques courbes correspondant à  r=Cste r=Cste  et/ou à  ct= Cste c \,t=Cste  dans le plan des coordonnées (u,v) (u,v) .
        b) Établir les expressions inverses  ct (u,v) c \,t(u, v)  et  r(u,v) r(u, v) .
        c) Représenter quelques courbes correspondant à  u=Cste u=Cste  et/ou à  v=Cste v=Cste  dans le plan des coordonnées ( r,ct ) (r, c \,t) .

2.     • Établir l'expression de la métrique avec les notations de Kruskal-Szekeres.


Représentation de Penrose-Carter

1.     • La représentation de Penrose-Carter est une anamorphose du diagramme de Kruskal-Szekeres obtenue selon les relations  u˜+ v˜= 2 arctan⁡ (u+v) \tilde{u}+\tilde{v}=2 \; \arctan⁡(u+v)   et   u˜− v˜= 2 arctan⁡ (u−v) \tilde{u}-\tilde{v}=2 \; \arctan⁡(u-v) .  En se limitant à  r<rs r<r_s  (région (II) (II) ) représenter l'allure des courbes  r=Cste r=Cste   et   ct= Cste c \,t=Cste  dans le repérage (u˜, v˜) (\tilde{u},\tilde{v}) .

2.     • Exprimer la métrique avec les notations de Penrose-Carter.


Complétude d'une carte

        • On raisonne sur un espace ℰ ℰ correspondant à ℝ2 ℝ^2 avec la métrique eulérienne. Une carte banale peut être obtenue avec des coordonnées cartésiennes (x,y) (x,y) .
        • Pour décrire cet espace, on utilise d'autres coordonnées cartésiennes définies par  u=x u=x  et  v=a tanh(ya) \displaystyle v=a \; \tanh\left(\frac{y}{a}\right)  où  a a  est une constante.
        • Déterminer le domaine des valeurs (u,v) (u,v) décrivant ℰ ℰ . Préciser s'il peut être utile/nécessaire de compléter cette représentation.


Complétude d'une carte

1.     • Dans un plan, on considère un cercle passant par l'origine, décrit en coordonnées polaires (r,θ) (r,θ) “algébriques” avec  r∈ℝ r∈ℝ  et  θ∈[0,π[ θ∈\left[0,π\right[ .
        • Représenter le lieu des points correspondants sur un graphique cartésien orthonormé, avec r r en abscisse et θ θ en ordonnée. Représenter de même le lieu des points décrivant la tangente au cercle à l'origine. Commenter.

2.     • Peut-il être utile/nécessaire de compléter cette représentation en l'étendant à  θ∈[0,2π[ θ∈\left[0,2π\right[ ?


Complétude d'une carte

        • On raisonne sur un espace ℰ ℰ correspondant une surface conique immergée dans ℝ3 ℝ^3 avec la métrique eulérienne. Pour un cône d'angle au sommet  α=π4 α=\frac{π}{4}  (par rapport à l'axe), une carte banale peut être obtenue avec des coordonnées polaires (r,θ) (r,θ) avec  r>0 r>0  (distance à l'origine) et  θ∈[0,π[ θ∈\left[0,π\right[ .

1.     • Dans cet espace, on considère un cercle passant par l'origine. Représenter le lieu des points correspondants sur un graphique cartésien orthonormé, avec r r en abscisse et θ θ en ordonnée. Représenter de même le lieu des points décrivant la tangente au cercle à l'origine. Commenter.

2.     • Peut-il être utile/nécessaire de compléter cette représentation en l'étendant à  θ∈[0,2π[ θ∈\left[0,2π\right[ ?


Coordonnées de Kruskal-Szekeres et transformation de Lorentz

1.     a) Pour  r>rs r>r_s ,  montrer que les coordonnées de Kruskal-Szekeres peuvent être obtenues, à partir des coordonnées “classiques” de Schwarzschild, par une transformation analogue à une transformation de Lorentz, avec une vitesse d'entraînement  βe=− tanh ( ct2 ) =−vu \displaystyle β_e=- \tanh\left(\frac{c \,t}{2}\right)=-\frac{v}{u} .
        b) Considérer de même le cas  r<rs r<r_s .

2.     • Préciser dans chaque cas les facteurs intégrants permettant d'obtenir les coordonnées de Kruskal-Szekeres.

3.     • Montrer qu'on peut proposer d'autres facteurs intégrants permettant d'obtenir une séparation des variables. Commenter le résultat obtenu.


Repérage de Kruskal-Szekeres et transformation de Lorentz

        • Comme celui de Lemaître, le repérage de Kruskal-Szekeres peut se déduire d'une transformation de Lorentz. On peut appliquer la transformation de Lorentz sans problème tant que  r>rs r>r_s ,  mais la généralisation pour  r<rs r<r_s  pose un problème dans la mesure où la variable r r devient du genre temps et la variable t t devient du genre espace.
        • Dans cette zone  r<rs r<r_s ,  redéfinir la vitesse d'entraînement du référentiel comobile en tenant compte des propriété des coordonnées r r et t t ,  puis montrer qu'on obtient ainsi la même transformation de Lemaître (mais avec une autre interprétation) ; commenter les résultats obtenus.


Coordonnées de Kruskal-Szekeres et de Lemaître

        • Comme celles de Lemaître, les coordonnées de Kruskal-Szekeres peuvent être obtenues à partir des coordonnées “classiques” de Schwarzschild, par une transformation analogue à une transformation de Lorentz. Dans ce cas la vitesse d'entraînement est  βe=−vu \displaystyle β_e=-\frac{v}{u}  fonction du temps.
        • Comparer avec l'expression analogue de Lemaître  βe=− rsr \displaystyle β_e=-\sqrt{\frac{r_s}{r}}  fonction de la position spatiale.


Coordonnées de Kruskal-Szekeres et de Lemaître

1.     • Pour  r<rs r<r_s  et au passage de  t=0 t=0  ( t t décroissant) la vitesse d'entraînement du référentiel de Kruskal-Szekeres par rapport à celui de Schwarzschild est  βe=− coth ( ct2 ) \displaystyle β_e=- \coth\left(\frac{c \,t}{2}\right)  (avec rs r_s comme unité) ; cette quantité diverge puis devient brusquement positive. Commenter.

2.     a) Utiliser la loi théorique de composition des vitesses pour déterminer la vitesse d'entraînement du référentiel de Kruskal-Szekeres par rapport à celui de Lemaître.
        b) Recalculer le changement de référentiel  ( dR,cdT ) → ( dr,cdt ) → ( du,dv ) (dR, c \,dT)→(dr, c \,dt)→(du, dv) ,  puis vérifier qu'on retrouve le résultat précédent.
        c) Pour  r<rs r<r_s ,  montrer que l'anomalie en  t=0 t=0  évoquée précédemment n'est qu'apparente.

3.     a) Les résultats précédents permettent-ils de déterminer les limites de la vitesse d'entraînement, pour  r↘rs r↘r_s  et  r↗rs r↗r_s  (avec dans les deux cas  t→∞ t→∞ ) ?
        b) On peut montrer que la chute libre de la particule de référence du référentiel de Lemaître correspond à :  ct2 ≈−12 ln ( | r−1 r+1 | ) −13 r (r+3)= artanh (1r)− 13 r (r+3) \displaystyle \frac{c \,t}{2}≈-\frac{1}{2} \: \ln\left(\left| \frac{\sqrt{r}-1}{\sqrt{r}+1}\right|\right)-\frac{1}{3} \: \sqrt{r} \:(r+3)=\mathrm{artanh}\left(\ frac{1}{\sqrt{r}}\right)-\frac{1}{3} \: \sqrt{r} \:(r+3) .  En déduire les limites de la vitesse d'entraînement, pour  r↘rs r↘r_s  et  r↗rs r↗r_s  (avec dans les deux cas  t→∞ t→∞ ).