MÉTRIQUE DE LEMAÎTRE - exercices


I. Transformation de Lemaître et transformation de Lorentz

        • La transformation de Lemaître joue un rôle analogue à celui d'une transformation de Lorentz. Appliquer cette dernière pour un référentiel comobile par rapport à une particule en chute libre radiale, provenant de l'infini avec une vitesse “initiale” (limite) nulle ; commenter le résultat obtenu.


II. Transformation de Lemaître et transformation de Lorentz

        • La transformation de Lemaître joue un rôle analogue à celui d'une transformation de Lorentz. Pour un référentiel comobile par rapport à une particule en chute libre radiale, provenant de l'infini avec une vitesse “initiale” (limite) nulle, on peut appliquer la transformation de Lorentz sans problème tant que  r>rsr>r_s , mais la généralisation pour  r<rsr<r_s  pose un problème dans la mesure où la variable rr devient du genre temps et la variable tt devient du genre espace.
        • Dans cette zone  r<rsr<r_s ,  redéfinir la vitesse d'entraînement du référentiel comobile en tenant compte des propriété des coordonnées rr et tt, puis montrer qu'on obtient ainsi la même transformation de Lemaître (mais avec une autre interprétation) ; commenter les résultats obtenus.


III. Repérage de Lemaître

1.     • Dans l'élaboration du repérage de Lemaître, une faiblesse de raisonnement vient du fait que dans la région  r<rsr<r_s  on l'a obtenu par extrapolation de la méthode, en partant d'un référentiel non valide et en appliquant une transformation de Lorentz non valide. On souhaite ici conforter le résultat.
        • On considère un astre créant dans le vide environnant un champ à symétrie sphérique et on suppose qu'on peut se ramener à une métrique de la forme :  ds2=c2dT2−C(R−cT)dR2−D(R−cT)dΩ2{ds}^2=c^2 \,{dT}^2-C(R-c \,T) \:{dR}^2-D(R-c \,T) \:{dΩ}^2 .
        a) Exprimer dans ce cas la connexion :  ΓαβγΓ_{αβγ}  et  Γ.βγαΓ_{\phantom{.}βγ}^α .
        b) D'après les équations du champ de gravitation, en déduire les relations déterminant CC et DD.

2.     a) Montrer que ces équations impliquent :  D′2CD=Cste\displaystyle \frac{{D'}^2}{C \,D}=Cste   et   D′2D2C=Cste\displaystyle \frac{{D'}^2 \: D^2}{C}=Cste .
        b) En déduire que, pour le cas étudié, on peut considérer :  DC2=CsteD \:C^2=Cste .
        c) En déduire la forme des expressions pour CC et DD ; commenter.

3.     • Vérifier que les équations non indépendantes de celles utilisées (deux suffisent) sont compatibles avec la solution obtenue.


IV. Expressions des coordonnées

        • Déterminer l'expression de  ct(R,cT)c\,t(R,c\,T)  pour la métrique de Lemaître.


V. Accélération relative du repérage de Schwarzschild

1.     • Avec le repérage de Lemaître, on souhaite calculer l'accélération relative d'un point fixe de coordonnée r0r_0 dans le référentiel de Schwarzschild.
        a) Calculer  d2RdT2\displaystyle \frac{d^2 R}{{dT}^2}  pour ce point ; commenter.
        b) Calculer  d2Rdτ2\displaystyle \frac{d^2 R}{{dτ}^2}  ;  commenter.

2.     • Expliquer l'influence de la dépendance de la métrique de Lemaître par rapport à TT.


VI. Représentations graphiques

1.     • Représenter graphiquement les courbes  R(r,ct)=CsteR(r,c \,t)=Cste  ;  commenter.

2.     • Représenter graphiquement les courbes  cT(r,ct)=Cste c \,T(r,c \,t)=Cste  ;  commenter.


VII. Trajectoires des photons

        • Déterminer les trajectoires des photons dans le plan (R,cT)(R,c \,T).


VIII. Représentations graphiques

        • Dans le plan (R,cT)(R,c \,T) on considère la zone décrivant l'aspect “expansion” de la métrique de Lemaître.

1.     • Représenter graphiquement les courbes  R(r,ct)=CsteR(r,c \,t)=Cste  ;  commenter.

2.     • Représenter graphiquement les courbes  cT(r,ct)=Cstec \,T(r,c \,t)=Cste  ;  commenter.