RG XI - MÉTRIQUE DE NOVIKOV



1. Transformation de Lemaître généralisée

1.1. Principe de base

• On considère la métrique de Schwarzschild, avec la variable radiale rr “classique” :

 ds2=A(r)c2dt2−C(r)dr2−r2dΩ2{ds}^2=A(r) \:c^2 \, {dt}^2-C(r) \:{dr}^2-r^2 \:{dΩ}^2  ;  A=1−rsr\displaystyle A=1-\frac{r_s}{r}  ;  C=1A\displaystyle C=\frac{1}{A}  ;  rs=2𝒢Mc2\displaystyle r_s=\frac{2 \,𝒢 \:M}{c^2}  .

Pour étudier ce que subit une particule en chute libre, la transformation de Lemaître considère un repérage comobile, dans le cas particulier d'une particule chutant depuis l'infini, avec une vitesse “initiale” (limite) nulle.

Cela peut se généraliser pour une particule chutant avec d'autres conditions initiales, mais le choix d'une vitesse de chute particulière (ne dépendant que de rr , selon la vitesse à laquelle la particule passe en ce lieu) restreint l'efficacité de la méthode.

• On se propose ici de généraliser encore plus, en considérant pour chaque point  (r,ct)(r, c \,t)  la vitesse de chute, au passage en ce “lieu”, de particules parties à vitesse nulle, à  t=0t=0 ,  depuis une position r0r_0 .

Un tel repérage correspond à une métrique dépendant du temps, de façon analogue à celle de Kruskal-Szekeres.

1.2. Notations et coordonnées

• On se limite à la partie radiale (pour simplifier) :  ds2=A.[c2dt2−dr2A2]\displaystyle {ds}^2=A .\left[c^2 \,{dt}^2-\frac{{dr}^2}{A^2} \right] .

• Pour une particule en chute libre verticale, partant à vitesse nulle en  r=r0r=r_0 ,  la vitesse algébrique peut s'écrire :  v=−c1−AA0\displaystyle v=-c \;\sqrt{1-\frac{A}{A_0}}  avec  A0=A(r0)A_0=A(r_0) .

Cela correspond à  v(r,t,r0)v(r,t,r_0)  où  tt  correspond à la durée pour que la particule arrive en  rr  en partant de r0r_0 .

• Avec  v=d𝓁dt𝓁oc=CdrAdt=drAdt\displaystyle v=\frac{d𝓁\:}{{dt}_{𝓁oc}} =\frac{\sqrt{C} \: dr}{\sqrt{A} \: dt}=\frac{dr}{A \:dt} ,  pour r0r_0 fixé :  cdt=−A0A0−AdrA\displaystyle c \,dt=-\sqrt{\frac{A_0}{A_0-A}}\: \frac{dr}{A} .

◊ remarque : cela suppose  A0>0A_0>0  donc  r0>rsr_0>r_s ,  ce qui est cohérent avec le fait que pour  r0<rsr_0<r_s  aucune particule ne peut être “initialement” immobile ; la notion de repère comobile correspondant serait absurde, mais elle est inutile.

◊ remarque : si on considère le repérage de Kruskal-Szekeres, il existe des valeurs  t=0t=0  pour  r<rsr<r_s ,  régions (II)(II) et (IV)(IV), mais sans lien direct avec l'instant “initial” dans la mesure où la variable  tt  diverge pour  r=rsr=r_s .

• En prenant  rsr_s  comme unité, la date de passage correspond ainsi à :

 ct(r,r0)=r0−1∫rr0rr−1rr0−rdr\displaystyle c \,t(r,r_0)=\sqrt{r_0-1} \; ∫_r^{r_0} \frac{r}{r-1} \,\frac{r}{\sqrt{r_0-r}} \: dr  ;
ct(r,r0)=r0−1r.(r0−r)c \,t(r,r_0)=\sqrt{r_0-1} \; \sqrt{r .(r_0-r)} 

+(1+r02)r0−1[arcsin(1−2rr0)+π2]+arcosh(r0r−2r+r0r0.|r−1|)\displaystyle +\left(1+\frac{r_0}{2}\right) \; \sqrt{r_0-1} \; \left[\arcsin\left(1-\frac{2 \,r}{r_0} \right)+\frac{π}{2} \right]+\mathrm{arcosh}\left(\frac{r_0 \: r-2 \,r+r_0}{r_0 .|r-1|}\right) .

◊ remarque : pour  r<rsr<r_s  ceci omet une composante imaginaire constante.

• Cette expression décrit une famille de courbes correspondant aux différentes valeurs de r0r_0 . Elle permet de connaître “formellement” celle des courbes qui passe par un point (r,ct)(r, c \,t) donné, donc de connaître la position dont elle est partie :  r0(r,ct)r_0 (r, c \,t) .

◊ remarque : il faut toutefois procéder par des méthodes numériques car la relation précédente n'est pas inversible.

• Pour généraliser la transformation de Lemaître comme envisagé, on peut partir d'une transformation de Lorentz avec une vitesse d'entraînement dépendant aussi de tt :  ve=−c1−A(r)A(r0(r,t))\displaystyle v_e=-c \;\sqrt{1-\frac{A(r)}{A(r_0 (r, t))}}  .

On obtient ainsi :

 dR_=A0A[drA+1−AA0Acdt]=A0drA+A0−Acdt\displaystyle d\underline{R}=\sqrt{\frac{A_0}{A}} \; \left[\frac{dr}{\sqrt{A}}+\sqrt{1-\frac{A}{A_0}} \;\sqrt{A} \: c \,dt\right]=\sqrt{A_0} \; \frac{dr}{A}+\sqrt{A_0-A} \; c \,dt   ;
cdT=A0A[Acdt+1−AA0drA]=A0cdt+A0−AdrA\displaystyle c \,dT=\sqrt{\frac{A_0}{A}} \; \left[\sqrt{A} \; c \,dt+\sqrt{1-\frac{A}{A_0}} \: \frac{dr}{\sqrt{A}}\right]=\sqrt{A_0} \; c \,dt+\sqrt{A_0-A} \; \frac{dr}{A} .

◊ remarque : il faut être attentif à l'interprétation des notations AA , A0A_0 et r0r_0 .

• On peut alors montrer que cdTc \,dT est une différentielle totale, mais l'intégrer “n'est pas évident”... On peut ensuite espérer trouver un facteur intégrant pour dR_d\underline{R} mais l'intégration de la différentielle totale dRdR correspondante semble de même quelque peu illusoire...

C'est pour ce genre de raison que Novikov n'a pas résolu le problème en partant de la métrique de Schwarzschild (comme ont fait Lemaître, Kruskal et Szekeres), mais en repartant des équations d'Einstein.

📖 exercices n° I et II.

2. Métrique à la Novikov dans le vide

2.1. Expression générale

• On peut considérer un gaz de poussière dont la densité d'énergie est εε et la pression pp ; le cas du vide s'obtient pour  p=0p=0  et  ε=0ε=0 .  On suppose ce gaz sans rotation et comobile avec le repérage.

• Les équations du champ peuvent s'écrire  𝐑ρσ−12gρσ𝐑=χ𝐓ρσ\mathbf{R}^{ρσ}-\frac{1}{2} g^{ρσ} \:\mathbf{R}=χ \:\mathbf{T}^{ρσ}  où on note les tenseurs 𝐑\mathbf{R} et 𝐓\mathbf{T} pour ne pas confondre avec les coordonnées RR et TT .

Par ailleurs :  𝐓ρσ=(p+ε)uρuσ−pgρσ\mathbf{T}^{ρσ}=(p+ε) \:u^ρ \:u^σ-p \:g^{ρσ} ,  où  pp  et  ε=μc2ε=μ \:c^2  sont mesurées dans le référentiel propre du fluide, ici le repérage comobile considéré.

• Pour une métrique de la forme :  ds2=e2αc2dT2−e2γdR2−e2δdΩ2{ds}^2=\mathrm{e}^{2α} \; c^2 \,{dT}^2-\mathrm{e}^{2γ} \:{dR}^2-\mathrm{e}^{2δ} \:{dΩ}^2 ,  avec α(t,r)α(t,r) ; γ(t,r)γ(t,r) ; δ(t,r)δ(t,r) à déterminer, on obtient :  u0=e−α=1u^0=\mathrm{e}^{-α}=1  et  uk=0u^k=0 .

En notant  ⬚′⬚'  les dérivées par rapport à  x1=R x^1=R  et  ⬚˙\dot{⬚}  les dérivées par rapport à  x0=cT x^0=c \,T ,  les équations du champ correspondent à :

 𝐑00−12𝐑=[2γ˙δ˙+δ˙2]−e−2γ[2δ″−2γ′δ′+3δ′2]+e−2δ=χε\mathbf{R}_0^{\;0}-\frac{1}{2} \mathbf{R}=\left[2 \,\dot{γ} \: \dot{δ}+\dot{δ}^2 \right]-\mathrm{e}^{-2γ} \: \left[2 \,δ''-2 \,γ' \,δ'+3 \,{δ'}^2 \right]+\mathrm{e}^{-2δ}=χ \:ε  ;
𝐑01=2e−2δ[δ˙′−γ˙δ′+δ˙δ′]=0\mathbf{R}_0^{\;1}=2 \,\mathrm{e}^{-2δ} \; \left[\dot{δ}'-\dot{γ} \: δ'+\dot{δ} \:δ'\right]=0  ;
𝐑11−12𝐑=[2δ̈+3δ˙2]−δ′2e−2γ+e−2δ=−χp\mathbf{R}_1^{\;1}-\frac{1}{2} \mathbf{R}=\left[2 \,\ddot{δ}+3 \,\dot{δ}^2 \right]-{δ'}^2 \, \mathrm{e}^{-2γ}+\mathrm{e}^{-2δ}=-χ \:p  ;
𝐑22−12𝐑=[γ̈+δ̈+γ˙2+γ˙δ˙+δ˙2]+e−2γ[−δ″+γ′δ′−δ′2]=−χp\mathbf{R}_2^{\;2}-\frac{1}{2} \mathbf{R}=\left[\ddot{γ}+\ddot{δ}+\dot{γ}^2+\dot{γ} \: \dot{δ}+\dot{δ}^2 \right]+\mathrm{e}^{-2γ} \; \left[-δ''+γ' \,δ'-{δ'}^2 \right]=-χ \,p .

• Pour relier ces notations aux coordonnées de Schwarzschild, on note maintenant :  e2δ=r2\mathrm{e}^{2δ}=r^2 ,  où  r=r(R,T)r=r(R,T) .

L'équation sur 𝐑01\mathbf{R}_0^{\;1} donne :  e2γ=r′21+𝒻(R)\displaystyle \mathrm{e}^{2γ}=\frac{{r'}^2}{1+𝒻(R)}  où  𝒻(R)𝒻(R)  est une fonction arbitraire, mais respectant :  1+𝒻>01+𝒻>0 .

Pour  p=0p=0 ,  l'équation sur 𝐑11\mathbf{R}_1^{\;1} donne alors :  r.(r˙2−𝒻(R))=F(R)r .(\dot{r}^2-𝒻(R))=F(R)  où  F(R)F(R)  est une fonction arbitraire.

◊ remarque : pour  p=0p=0  l'équation découlant de 𝐑22\mathbf{R}_2^{\;2} n'est pas indépendante (mais elle permettrait de calculer la pression si celle-ci n'était pas nulle).

• L'équation sur 𝐑00\mathbf{R}_0^{\;0} donne ensuite :  r′r2χε=F′r' \:r^2 \: χ \:ε=F' .

Pour  ε=0ε=0  on obtient ainsi :  F=CsteF=Cste .

• La métrique peut donc s'écrire :  ds2=c2dT2−r′2(R,T)1+𝒻(R)dR2−r2(R,T)dΩ2\displaystyle {ds}^2=c^2 \,{dT}^2-\frac{{r'}^2 (R,T)}{1+𝒻(R)} \,{dR}^2-r^2 (R,T) \;{dΩ}^2   avec :  𝒻(R)=r˙2(R,T)−Fr(R,T)\displaystyle 𝒻(R)=\dot{r}^2 (R,T)-\frac{F}{r(R,T)}   (la dépendance en TT se simplifie, forcément).

Il semble donc qu'il ne manque plus que la détermination de r(R,T)r(R,T) ; mais en fait celle-ci ne peut être obtenue qu'inversement en fonction de f(R)f(R) . Cette indétermination peut être comprise en comparant avec la méthode décrite précédemment (partant des coordonnées de Schwarzschild).

La variable TT obtenue ici est, par construction, exactement la même que celle qui était évoquée précédemment par une l'autre méthode. La variable RR correspondante, si elle avait pu être obtenue, aurait alors dépendu du choix du facteur intégrant (non unique). On aboutit ici de même à un choix en partie arbitraire de RR , dépendant du choix de 𝒻(R)𝒻(R) .

 📖 exercice n° III.

2.2. Expressions des coordonnées pour  𝒻=0𝒻=0

• L'équation déduite de 𝐑11\mathbf{R}_1^{\;1} donne :  cT=±∫dr𝒻+Fr\displaystyle c \,T=±∫\frac{dr}{\sqrt{𝒻+\frac{F}{r}}} .

• Pour  𝒻=0𝒻=0  on peut écrire (pour RR fixé) :

 cT=±1F∫rdr\displaystyle c \,T=±\frac{1}{\sqrt{F}} ∫\sqrt{r} \; dr   ;   cT(r,R)=cT0(R)±23Fr3/2\displaystyle c \,T(r,R)=c \,T_0 (R)±\frac{2}{3 \,\sqrt{F}} \: r^{3/2} .

On constate alors que  r=0r=0  pour  T=T0T=T_0 ,  date à laquelle le gaz atteint la singularité centrale. Si  r>0r>0  avant, cela impose :  cT(r,R)=cT0−23Fr3/2\displaystyle c \,T(r,R)=c \,T_0-\frac{2}{3 \,\sqrt{F}} \: r^{3/2} .  Avec  F=rsF=r_s  on retrouve les notations de Lemaître pour un repérage en contraction, pour lesquelles on avait  cT0(R)=Rc \,T_0 (R)=R ,  ce qui redonne la métrique :  r′=Fr\displaystyle r'=\sqrt{\frac{F}{r}}  ;  ds2=c2dT2−rsrdR2−r2dΩ2\displaystyle {ds}^2=c^2\,{dT}^2-\frac{r_s}{r}\:{dR}^2-r^2\:{dΩ}^2 .

Mais  T=T0<0T=T_0<0  peut aussi désigner la date à laquelle le gaz quitte la singularité centrale. Si  r>0r>0  après, cela impose :  cT(r,R)=cT0+23Fr3/2\displaystyle c \,T(r,R)=c \,T_0+\frac{2}{3 \,\sqrt{F}} \: r^{3/2} .  Avec  F=rsF=r_s  on retrouve les notations de Lemaître pour un repérage en expansion, pour lesquelles on avait  cT0(R)=−Rc \,T_0 (R)=-R .

2.3. Expressions des coordonnées pour  𝒻>0𝒻>0

• Pour  𝒻>0𝒻>0 ,  avec  x=𝒻Fr\displaystyle x=\frac{𝒻}{F} \, r ,  on peut écrire (pour RR fixé) :

 cT=±F𝒻3/2∫xdxx.(x+1)\displaystyle c \,T=±\frac{F}{𝒻^{3/2}} \: ∫\frac{x \:dx}{\sqrt{x.(x+1)}}  ;
cT(r,R)=cT0(R)±F𝒻3/2x.(x+1)∓F2𝒻3/2arsinh(2x.(x+1))\displaystyle c \,T(r,R)=c \,T_0 (R)±\frac{F}{𝒻^{3/2}} \,\sqrt{x.(x+1)}∓\frac{F}{2 \,𝒻^{3/2}} \: \mathrm{arsinh}\left(2 \:\sqrt{x.(x+1)}\right) .

L'expression n'étant pas simple, on peut noter :

 η=arsinh(2x.(x+1))η =\mathrm{arsinh}\left(2 \,\sqrt{x.(x+1)}\right)  ;
cT(r,R)=cT0(R)±F2𝒻3/2[sinh(η)−η]\displaystyle c \,T(r,R)=c \,T_0 (R)±\frac{F}{2 \,𝒻^{3/2}} \: \left[\sinh(η)-η\right]  ;
x=12[cosh(η)−1]x=\frac{1}{2} \left[\cosh(η)-1\right]  ;  r=F2𝒻[cosh(η)−1]\displaystyle r=\frac{F}{2 \,𝒻} \,\left[\cosh(η)-1\right] .

• On constate alors que  r=0r=0  pour  η=0η=0  et  T=T0T=T_0 ,  date à laquelle le gaz atteint la singularité centrale. Si on considère que  r>0r>0  avant, cela impose :  cT(r,R)=cT0−F2𝒻3/2[sinh(η)−η]\displaystyle c \,T(r,R)=c \,T_0-\frac{F}{2 \,𝒻^{3/2}} \, \left[\sinh(η)-η\right] .

De même dans le “passé”,  T=T0<0T=T_0<0  est aussi la date à laquelle le gaz quitte la singularité centrale ; si on considère que  r>0r>0  après, cela impose :  cT(r,R)=cT0+F2𝒻3/2[sinh(η)−η]\displaystyle c \,T(r,R)=c \,T_0+\frac{F}{2 \,𝒻^{3/2}} \, \left[\sinh(η)-η\right] .

• Par exemple pour  𝒻=Cste=α_−1=1𝒻=Cste=\underline{α}-1=1  (où α_\underline{α} est le paramètre des notations de Lemaître), avec  F=rsF=r_s  on obtient :

 cT(r,R)=cT0(R)±r.(r+rs)∓rs2arsinh(2rsr.(r+rs))\displaystyle c \,T(r,R)=c \,T_0 (R)±\sqrt{r.(r+r_s )}∓\frac{r_s}{2} \: \mathrm{arsinh}\left(\frac{2}{r_s} \: \sqrt{r.(r+r_s )}\right)  ;
cT(r,R)=cT0(R)±r.(r+rs)∓rsarsinh(rrs)\displaystyle c \,T(r,R)=c \,T_0 (R)±\sqrt{r.(r+r_s )}∓r_s \: \mathrm{arsinh}\left(\sqrt{\frac{r}{r_s}} \right) .

On retrouve ainsi des notations semblables à celle de Lemaître généralisées, pour lesquelles on avait  cT0(R)=±Rc \,T_0 (R)=±R .

• L'avantage des notations de Novikov est d'être plus générales : rien n'oblige à considérer  𝒻=Cste𝒻=Cste  ;  on peut utiliser 𝒻(R)𝒻(R) pour adapter  α_=1+𝒻\underline{α}=1+𝒻  à chaque trajectoire, ce qui est exactement ce qu'on recherchait ici au début (pour  α_<1\underline{α}<1)  en fonction de r0r_0 (au lieu de RR).

◊ remarque : par contre les coordonnées de Eddington-Finkelstein ou de Kruskal-Szekeres, qui sont de la forme de Lemaître généralisée mais avec une vitesse d'entraînement non physique, ne sont pas de la forme de Novikov (elles ne sont pas comobiles).

📖 exercice n° IV.

2.4. Expressions des coordonnées pour  𝒻<0𝒻<0

• Pour  𝒻<0𝒻<0  (mais  𝒻>−1𝒻>-1),  avec  x=|𝒻|Fr\displaystyle x=\frac{|𝒻|}{F} \: r ,  on peut écrire (pour RR fixé) :

 cT=±F|𝒻|3/2∫xdxx.(1−x)\displaystyle c \,T=±\frac{F}{|𝒻|^{3/2}} \: ∫\frac{x \:dx}{\sqrt{x.(1-x)}}  ;
cT(r,R)=cT0(R)∓F|𝒻|3/2x.(1−x)±F2|𝒻|3/2arcsin(2x.(1−x))\displaystyle c \,T(r,R)=c \,T_0 (R)∓\frac{F}{|𝒻|^{3/2}} \: \sqrt{x.(1-x)}±\frac{F}{2 \,|𝒻|^{3/2}} \: \arcsin\left(2 \,\sqrt{x.(1-x)}\right) .

L'expression n'étant pas simple, on peut noter :

 η=arcsin(2x.(1−x))η=\arcsin\left(2 \:\sqrt{x.(1-x)}\right)  ;
cT(r,R)=cT0(R)±F2|𝒻|3/2[η−sin(η)]\displaystyle c \,T(r,R)=c \,T_0 (R)±\frac{F}{2 \,|𝒻|^{3/2}} \: \left[η-\sin(η) \right]  ;
x=12[1−cos(η)]\displaystyle x=\frac{1}{2} \,\left[1-\cos(η) \right]  ;  r=F2|𝒻|[1−cos(η)]\displaystyle r=\frac{F}{2\,|𝒻|} \:\left[1-\cos(η) \right] .

• On constate alors que  r=0r=0  pour  η=0η=0  et  T=T0T=T_0 ,  date à laquelle le gaz atteint la singularité centrale. Si on considère que  r>0r>0  avant, cela impose :  cT(r,R)=cT0−F2|𝒻|3/2[η−sin(η)]\displaystyle c \,T(r,R)=c \,T_0-\frac{F}{2 \,|𝒻|^{3/2}} \: \left[η-\sin(η) \right] .

De même pour  T=T0<0T=T_0<0 ,  si on considère que  r>0 r>0  après, cela impose :  cT(r,R)=cT0+F2|𝒻|3/2[η−sin(η)]\displaystyle c \,T(r,R)=c \,T_0+\frac{F}{2 \,|𝒻|^{3/2}} \: \left[η-\sin(η) \right] .

• Par exemple pour  𝒻=Cste=α_−1=−12𝒻=Cste=\underline{α}-1=-\frac{1}{2} ,  avec  F=rsF=r_s  on obtient :

 cT(r,R)=cT0(R)∓2r.(2rs−r)±rs2arcsin(1rsr.(2rs−r))\displaystyle c \,T(r,R)=c \,T_0 (R)∓\sqrt{2 \,r.(2 \,r_s-r)}±r_s \: \sqrt{2} \: \arcsin\left(\frac{1}{r_s} \:\sqrt{r.(2 \,r_s-r)}\right)  ;
cT(r,R)=cT0(R)∓2r.(2rs−r)±2rs2arcsin(r2rs)\displaystyle c \,T(r,R)=c \,T_0 (R)∓\sqrt{2 \,r.(2 \,r_s-r)}±2 \,r_s \: \sqrt{2} \: \arcsin\left(\sqrt{\frac{r}{2 \,r_s}} \right) .

On retrouve ainsi des notations semblables à celle de Lemaître généralisées, pour lesquelles on avait  cT0(R)=±Rc \,T_0 (R)=±R .

📖 exercice n° V.

2.5. Propriétés générales

• La forme des solutions précédentes (pour 𝒻𝒻 pouvant varier) montre que les trajectoires comobiles avec  𝒻<0𝒻<0  on un extremum sur rr  (pour  T=0T=0)  alors que les autres n'en ont pas. Si on veut pouvoir représenter de façon comobile, sur un même diagramme, à la fois ces deux types de trajectoires, il faut choisir une expression 𝒻(R)𝒻(R) qui change de signe pour une certaine valeur de RR .

Si on choisit (par exemple)  𝒻(R)<0𝒻(R)<0  pour tout RR , cela n'empêche pas de représenter des trajectoires sans extremum (particules allant à l'infini avec une vitesse limite non nulle), mais elles ne correspondront pas à  R=CsteR=Cste.

D'un autre côté, seules les trajectoires ayant un extremum à  T=0T=0  sont dans ce cas comobiles ; celle avec extremum pour  T≠0T≠0  ne le sont pas. Ce choix, s'il simplifie, n'est donc pas vraiment réducteur.

• Avec  𝒻<0𝒻<0 ,  l'extremum pour  T=0T=0  correspond à  r0=F|𝒻|\displaystyle r_0=\frac{F}{|𝒻|}  pour  η=πη=π .  Cela impose en outre :  cT0=πF2|𝒻|3/2=π2Fr03/2\displaystyle c \:T_0=π \: \frac{F}{2 \,|𝒻|^{3/2}}=\frac{π}{2 \:\sqrt{F}} \: r_0^{\:3/2}.

3. Métrique de Novikov dans le vide

• Novikov a proposé  𝒻=−11+R2rs2\displaystyle 𝒻=\frac{-1}{1+\frac{R^2}{r_s^{\:2}}}  ;  cela impose  𝒻∈[−1;0]𝒻∈\left[-1;0\right] .

Avec  F=rsF=r_s  on obtient ainsi :  r0=rs.(1+R2rs2)>rs\displaystyle r_0=r_s .\left(1+\frac{R^2}{r_s^{\:2}}\right)>r_s  ;  R=±(r0−rs)R=±(r_0-r_s) .  On peut aussi écrire :  cT0=π2rs.(1+R2rs2)3/2\displaystyle c \,T_0=\frac{π}{2} \, r_s .\left(1+\frac{R^2}{r_s^{\:2}}\right)^{3/2}.

• Les équations paramétrées par ηη permettent de tracer les courbes  r=Cster=Cste  (ici pour  r=0;1;2;3r=0 \,;1 \,;2 \,;3  en variables réduites).

Novikov_Im/Novikov_1.jpg

Ce diagramme est qualitativement comme celui de Kruskal-Szekeres, avec ses avantages et ses inconvénients : en particulier le “côté obscur” de la région (III)(III). Il est très peu utilisé car les tracés de trajectoires (particules non comobiles, photons...) y sont moins simples.

◊ remarque : le choix par Novikov d'une fonction 𝒻𝒻 donnant un diagramme analogue à celui de Kruskal-Szekeres a peut-être été induit par les résultats obtenus trois ans plus tôt par ces derniers, avec une méthode purement mathématique ; Novikov souhaitant peut-être ainsi montrer qu'on pouvait justifier ces résultats par une approche plus physique.

• Les courbes  t=Cstet=Cste  n'ont pas de description littérale simple ; il est toutefois possible de les tracer par des méthodes numériques. On obtient ainsi pour les régions  r>rsr>r_s :

Novikov_Im/Novikov_2.jpg

On constate que pour les grandes valeurs de RR la variable tt se comporte de façon semblable à TT . Au contraire près de l'origine l'évolution de tt est analogue à celle du diagramme de Kruskal-Szekeres.

On obtient de même pour les régions  r<rsr<r_s :

Novikov_Im/Novikov_3.jpg

On constate que pour les grandes valeurs de TT la variable tt se comporte de façon semblable à RR . Au contraire près de l'origine l'évolution de tt est analogue à celle du diagramme de Kruskal-Szekeres.

 📖 exercices n° VI et VII.

4. Étude de quelques trajectoires

4.1. Mouvement libre radial de particules massives

• La métrique de Novikov est “synchrone” : les droites  R=CsteR=Cste  (lignes de temps) sont des géodésiques.

En notant ici ⬚ₒ\overset{ₒ}{⬚} les dérivées par rapport à ss ,  on peut le vérifier avec le lagrangien  ℒ=12[c2Tₒ2−r′21+𝒻Rₒ2]\displaystyle ℒ=\frac{1}{2} \left[c^2 \: \overset{ₒ}{T}^2-\frac{{r'}^2}{1+𝒻} \overset{ₒ}{R}^2 \right]  donnant les équations du mouvement :

 dds(∂ℒ∂Xₒ)=∂ℒ∂X\displaystyle \frac{d}{ds} \left(\frac{∂ℒ}{∂\overset{ₒ}{X}}\right)=\frac{∂ℒ}{∂X}   ;   cTₒₒ=−r′r˙′1+𝒻Rₒ2\displaystyle c \,\overset{ₒₒ}{T}=-\frac{r' \:\dot{r}'}{1+𝒻} \:\overset{ₒ}{R}^2   ;   Rₒₒ=(r″r′−𝒻′1+𝒻)Rₒ2\displaystyle \overset{ₒₒ}{R}=\left(\frac{r''}{r'}-\frac{𝒻'}{1+𝒻}\right) \;\overset{ₒ}{R}^2.

Ainsi  Rₒ=0\overset{ₒ}{R}=0  initialement impose  Rₒₒ=0\overset{ₒₒ}{R}=0  donc  R=CsteR=Cste ,  puis  cTₒ=Cstec \,\overset{ₒ}{T}=Cste .

Par ailleurs (d'après ds2{ds}^2) :  1=c2Tₒ2−r′21+𝒻Rₒ2\displaystyle 1=c^2 \:\overset{ₒ}{T}^2-\frac{{r'}^2}{1+𝒻} \:\overset{ₒ}{R}^2  ;  ainsi  cTₒ=±1c \,\overset{ₒ}{T}=±1  (ou encore  dT=±dτdT=±dτ ).  Finalement, dans la mesure où  cTc \,T  est une fonction croissante de  ctc \,t  dans la région  r>rsr>r_s ,  on peut considérer  cTₒ=1c \,\overset{ₒ}{T}=1 .

• Mais ces calculs attirent l'attention sur l'éventualité que cette métrique soit indéfinie pour  R=0R=0 :  on obtient dans ce cas :  r′=0r'=0  et  1+𝒻=01+𝒻=0 .

On peut alors montrer que la limite de r′21+𝒻\displaystyle \frac{{r'}^2}{1+𝒻} pour  R=0R=0  est définie : on peut prolonger la métrique par continuité.

• Par contre, s'il est vrai que  r′r˙′1+𝒻\displaystyle \frac{r' \:\dot{r}'}{1+𝒻}  est de même défini dans cette limite, on constate que (r″r′−𝒻′1+𝒻)\displaystyle \left(\frac{r''}{r'}-\frac{𝒻'}{1+𝒻}\right) diverge alors : la trajectoire  R=0R=0  n'est pas valide (elle n'est que la limite des trajectoires pour  R=0+R=0_+ ).

De ce fait, les deux côtés du diagramme ne sont pas vraiment raccordés (au sens où le repérage a été construit pour être comobile), ils sont seulement juxtaposés sans véritable justification physique d'un éventuel raccordement.

Ceci est logique : la trajectoire  R=0R=0  décrirait une particule qui, par rapport au repère statique, monte jusqu'à  r=rsr=r_s  puis redescend sans s'arrêter : la vitesse nulle y est interdite puisque  v=±cv=± c  en ce lieu.

• Le repérage de Novikov a été construit en prenant comme référence des particules montant jusqu'en  r=r0r=r_0  puis redescendant ; or il n'existe pas de telles particules pour  r0≤rsr_0≤r_s .

Rien n'interdit de trouver un prolongement pour  R≤0R≤0 ,  mais il n'y est plus comobile de la même façon que celle envisagée par Novikov.

📖 exercices n° VIII et IX.

4.2. Trajectoires de photons

• Les trajectoires des photons correspondent à :  ds2=0{ds}^2=0  ;  dR=±1+𝒻r′cdT\displaystyle dR=±\frac{\sqrt{1+𝒻}}{r'} \: c \,dT .

Il n'y a pas d'expression littérale simple, mais on peut les tracer pas des méthodes numériques.

Novikov_Im/Novikov_4.jpg

• Les trajectoires sont analogues à celles du diagramme de Kruskal-Szekeres ; elles montrent en particulier que des photons (ou de même des particules massives) semblent pouvoir passer de la région (IV)(IV) vers la région (III)(III).

Ceci met en évidence la nécessité de clarifier le prolongement du diagramme du côté  R<0R<0 .

◊ remarque : réciproquement, cela pose question concernant le prolongement du diagramme de Kruskal-Szekeres du côté  u<0u<0 .

📖 exercice n° X.