MÉTRIQUE DE NOVIKOV - exercices


I. Particules en chute libre verticale

1.     • Dans le but de construire une généralisation des repérages de Lemaître, on considère une particule en chute libre verticale, à partir d'une position  r0>rsr_0>r_s  à l'instant  t=0t=0 ,  avec une vitesse initiale nulle.
        a) Dans ce cas, avec les notations de Schwarzschild, la vitesse de chute peut s'écrire  v=−c1−AA0\displaystyle v=-c \:\sqrt{1-\frac{A}{A_0}}  où  A0=A(r0)A_0=A(r_0) .  Montrer qu'on peut en déduire l'expression  ct(r)c \,t(r)  pour r0r_0 fixé.
        b) Représenter graphiquement ces variations.
        c) Justifier que la connaissance de  ct(r,r0)c \,t(r,r_0)  pour tout r0r_0 permet de connaître “formellement”  r0(r,ct)r_0 (r,c \,t) ,  position de départ telle que la particule arrive en  rr  à la date  tt .

2.     • De façon opportuniste, bien que ce ne soit pas le but initial de cette étude, on s'intéresse au croisement possible d'une particule ascendante et d'une autre descendante.
        a) Indiquer l'allure des trajectoires pour les particules ascendantes.
        b) Commenter l'intersection envisagée de deux trajectoires.


II. Généralisation des repérages de Lemaître

        • Pour généraliser la transformation de Lemaître, on part d'une transformation de Lorentz avec une vitesse d'entraînement dépendant aussi de tt :  ve=−c1−A(r)A(r0(r,t))\displaystyle v_e=-c \:\sqrt{1-\frac{A(r)}{A\left(r_0 (r,\,t)\right)}} .
        • On obtient ainsi :  dR_=A0drA+A0−Acdt\displaystyle d\underline{R}=\sqrt{A_0} \:\frac{dr}{A}+\sqrt{A_0-A} \; c \,dt   ;   cdT=A0cdt+A0−AdrA\displaystyle c \,dT=\sqrt{A_0} \; c \,dt+\sqrt{A_0-A} \: \frac{dr}{A} .

1.     a) Montrer que  cdTc \,dT  est une différentielle totale.
        b) Déterminer l'expression de  ∂r0c∂t\displaystyle \frac{\:∂r_0}{c \,∂t} .
        c) Cela permet-il d'intégrer  cdT(r,t)c \,dT(r,\,t) ?

2.     • Au contraire  dR_d\underline{R}  n'est pas une différentielle totale (il n'est pas demandé de le démontrer). On cherche donc un facteur intégrant FF tel que  dR=FdR_dR=F \:d\underline{R}  soit une différentielle totale.
        a) Préciser les dérivées partielles intervenant dans  dRdR .
        b) Cela permet-il d'intégrer  dR(r,t)dR(r,\,t) ?


III. Gaz de particules de faible densité

1.     • On étudie un gaz de poussière dont la densité d'énergie est εε et la pression pp ; le cas du vide s'obtient pour  p=0p=0  et  ε=0ε=0 .  On suppose ce gaz sans rotation et comobile avec le repérage.
        • Le gaz est décrit par le tenseur énergie-impulsion :  𝐓μν=(p+ε)uμuν−pgμν\mathbf{T}^{μν}=(p+ε) \: u^μ \; u^ν-p \:g^{μν},  où  pp  et  εε  sont mesurées dans le référentiel propre du fluide, ici le repérage comobile considéré.
        a) Calculer le tenseur de Ricci pour une métrique de la forme :  ds2=e2αc2dT2−e2γdR2−e2δdΩ2{ds}^2=\mathrm{e}^{2α} \: c^2 \,{dT}^2-\mathrm{e}^{2γ} \: {dR}^2-\mathrm{e}^{2δ} \:{dΩ}^2  (on note ici les tenseurs 𝐑μν\mathbf{R}^{μν} et 𝐓μν\mathbf{T}^{μν} pour les distinguer des coordonnées RR et TT ).
        b) Simplifier pour tenir compte du fait que le repérage est comobile.
        c) En déduire les équations du champ de gravitation.

2.     • On considère maintenant la pression nulle. Afin de relier les coordonnées étudiées aux notation de Schwarzschild, on note par ailleurs  e2δ=r2\mathrm{e}^{2δ}=r^2 .
        a) Écrire les équations du champ de gravitation.
        b) Montrer que l'équation déduite de 𝐑01\mathbf{R}_0^{\;1} permet d'en déduire :  e2γ=r′21+𝒻(R)\displaystyle \mathrm{e}^{2γ}=\frac{{r'}^2}{1+𝒻(R)}  où 𝒻(R)𝒻(R) est une fonction arbitraire respectant la condition  1+𝒻>01+𝒻>0 .
        c) En reportant dans l'équation déduite de 𝐑11\mathbf{R}_1^{\;1} ,  montrer qu'on en déduit :  r˙2=𝒻(R)+F(R)r\displaystyle \dot{r}^2=𝒻(R)+\frac{F(R)}{r}  où F(R)F(R) est une autre fonction arbitraire.

3.     • On étudie ensuite l'équation sur l'énergie.
        a) En reportant les résultats précédents dans l'équation déduite de 𝐑00\mathbf{R}_0^{\;0} ,  montrer que :  r′r2χε=F′r' \;r^2 \: χ \:ε=F' .
        b) On considère maintenant que la densité d'énergie est nulle. Proposer une expression pour FF .


IV. Gaz de pression négligeable

        • On étudie un gaz de pression négligeable, sans rotation et comobile avec le repérage.
        • On peut utiliser pour cela une métrique de la forme :  ds2=c2dT2−r′2(R,T)1+𝒻(R)dR2−r2(R,T)dΩ2\displaystyle {ds}^2=c^2 \,{dT}^2-\frac{{r'}^2 (R,T)}{1+𝒻(R)} \:{dR}^2-r^2 (R,T) \:{dΩ}^2 ,  où 𝒻(R)𝒻(R) est une fonction arbitraire respectant la condition  1+𝒻>01+𝒻>0 .
        • On peut alors montrer que :  r˙2=𝒻(R)+F(R)r\displaystyle \dot{r}^2=𝒻(R)+\frac{F(R)}{r}  où F(R)F(R) est une autre fonction arbitraire.

1.     • En déduire une expression de T(r,R)T(r,R) dans le cas  𝒻>0𝒻>0 .

2.     • Considérer de même le cas  𝒻<0𝒻<0 .


V. Métrique à la Novikov et métrique de Lemaître

        • On considère une métrique à la Novikov, avec  𝒻(R)=α−1=Cste𝒻(R)=α-1=Cste  et  α∈]0;1[α∈\left]0 \,;1\right[ .
        • Comparer avec la métrique de Lemaître généralisée correspondant à αα .


VI. Métrique de Novikov

        • On considère la métrique de Novikov, avec  𝒻(R)=−11+R2\displaystyle 𝒻(R)=-\frac{1}{1+R^2}  (en prenant  rs r_s  pour unité) :

 ds2=c2dT2−r′2(R,T)1+𝒻(R)dR2−r2(R,T)dΩ2\displaystyle {ds}^2=c^2 \,{dT}^2-\frac{{r'}^2 (R,T)}{1+𝒻(R)} \:{dR}^2-r^2 (R,T) \:{dΩ}^2 .
        • Tracer les courbes caractéristiques de  r(R,T)=Cster(R,T)=Cste .  Commenter.


VII. Métrique de Novikov

        • On considère la métrique de Novikov, avec  𝒻(R)=−11+R2\displaystyle 𝒻(R)=-\frac{1}{1+R^2}  (en prenant  rs r_s  pour unité) :

 ds2=c2dT2−r′2(R,T)1+𝒻(R)dR2−r2(R,T)dΩ2\displaystyle {ds}^2=c^2 \,{dT}^2-\frac{{r'}^2 (R,T)}{1+𝒻(R)} \:{dR}^2-r^2 (R,T) \:{dΩ}^2 .

1.     • Tracer les courbes caractéristiques de  t(R,T)=Cste t(R,T)=Cste  pour  r>rsr>r_s .  Commenter.

2.     a) Calculer  t(R,T)t(R,T)  le long de la courbe  r=0r=0 .
        b) Tracer les courbes caractéristiques de  t(R,T)=Cste t(R,T)=Cste  pour  r<rsr<r_s .  Commenter.


VIII. Métrique de Novikov

        • On considère la métrique de Novikov, avec  𝒻(R)=−11+R2\displaystyle 𝒻(R)=-\frac{1}{1+R^2}  (en prenant  rs r_s  pour unité) :

 ds2=c2dT2−r′2(R,T)1+𝒻(R)dR2−r2(R,T)dΩ2\displaystyle {ds}^2=c^2 \,{dT}^2-\frac{{r'}^2 (R,T)}{1+𝒻(R)} \:{dR}^2-r^2 (R,T) \:{dΩ}^2 .
        • Cela correspond à :  cT=12(1+R2)3/2[π−η+sin(η)]c \,T=\frac{1}{2}\,\left(1+R^2 \right)^{3/2} \; \left[π-η+\sin(η) \right]   ;   r=12(1+R2)[1−cos(η)]r=\frac{1}{2}\,(1+R^2) \: \left[1-\cos(η) \right] .

1.     • Justifier que la variable η(R,T)η(R,T) sert en pratique à paramétrer l'évolution temporelle sur les trajectoires comobiles.

2.     • Montrer qu'on peut étudier la limite  R→0R→0  avec  η=Csteη=Cste  (au lieu de  T=CsteT=Cste ).


IX. Métrique de Novikov

        • On considère la métrique de Novikov, avec  𝒻(R)=−11+R2\displaystyle 𝒻(R)=-\frac{1}{1+R^2}  (en prenant  rs r_s  pour unité) :

 ds2=c2dT2−r′2(R,T)1+𝒻(R)dR2−r2(R,T)dΩ2\displaystyle {ds}^2=c^2 \,{dT}^2-\frac{{r'}^2 (R,T)}{1+𝒻(R)} \:{dR}^2-r^2 (R,T) \:{dΩ}^2 .

1.     • Cela correspond à :  cT=12(1+R2)3/2[π−η+sin(η)]c \,T=\frac{1}{2}\,\left(1+R^2 \right)^{3/2} \; \left[π-η+\sin(η) \right]   ;   r=12(1+R2)[1−cos(η)]r=\frac{1}{2}\,(1+R^2) \: \left[1-\cos(η) \right] .
        a) En déduire  dη(R,T)dη(R,T) .
        b) Déterminer  r˙(R,T)\dot{r}(R,T)  et  r′(R,T)r'(R,T) .

2.     • La métrique est-elle définie pour  R=0R=0 ?

3.     • En notant ⬚ₒ\overset{ₒ}{⬚} les dérivées par rapport à  ss ,  le lagrangien  ℒ=12[c2Tₒ2−r′21+𝒻Rₒ2]\displaystyle ℒ=\frac{1}{2} \left[c^2 \:\overset{ₒ}{T}^2-\frac{\;{r'}^2}{1+𝒻} \:\overset{ₒ}{R}^2 \right]  donne les équations du mouvement :  cTₒₒ=−r′r˙′1+𝒻Rₒ2\displaystyle c \,\overset{ₒₒ}{T}=-\frac{\;r' \:\dot{r}'}{1+𝒻} \:\overset{ₒ}{R}^2   ;   Rₒₒ=(r″r′−𝒻′1+𝒻)Rₒ2\displaystyle \overset{ₒₒ}{R}=\left(\frac{r''}{r'}-\frac{𝒻'}{1+𝒻}\right) \:\overset{ₒ}{R}^2.
        a) Étudier le comportement du coefficient  r′r˙′1+𝒻\displaystyle \frac{\;r' \:\dot{r}'}{1+𝒻}  dans la limite  R=0R=0 .
        b) Étudier de même le coefficient  (r″r′−𝒻′1+𝒻)\displaystyle \left(\frac{r''}{r'}-\frac{𝒻'}{1+𝒻}\right) .


X. Métrique de Novikov

        • On considère la métrique de Novikov, avec  𝒻(R)=−11+R2\displaystyle 𝒻(R)=-\frac{1}{1+R^2}  (en prenant  rs r_s  pour unité) :

 ds2=c2dT2−r′2(R,T)1+𝒻(R)dR2−r2(R,T)dΩ2\displaystyle {ds}^2=c^2 \,{dT}^2-\frac{{r'}^2 (R,T)}{1+𝒻(R)} \:{dR}^2-r^2 (R,T) \:{dΩ}^2 .
        • Tracer les trajectoires de photons émis, depuis la région (IV)(IV), dans le sens sortant et dans le sens entrant.