GÉOMÉTRIE RIEMANNIENNE EN ESPACE COURBE

GÉOMÉTRIE RIEMANNIENNE EN ESPACE COURBE - corrigé des exercices

Dérivation covariante

• Dans un changement de coordonnées (

\underline{x}^α→x^β

) la transformation correspond à un tenseur :

$A_μ=∂_μ \underline{x}^α \;A_α$ ; $B^ν=\underline{∂}_β x^ν \;\underline{B}^β$ ; $C^ρ=\underline{∂}_γ x^ρ \;\underline{C}^γ$ ; $A_μ \:B^ν \:C^ρ=∂_μ \underline{x}^α \;\underline{∂}_β x^ν \;\underline{∂}_γ x^ρ \;A_α \:\underline{B}^β \:\underline{C}^γ$ .

2.a.	• La variation $δ\left(A_μ B^ν C^ρ\right)=B^ν \:C^ρ \:δ\left(A_μ\right)+A_μ \:C^ρ \:δ\left(B^ν\right)+A_μ \:B^ν \:δ\left(C^ρ\right)$ se déduit de celles des vecteurs : $δ(A_μ \:B^ν \:C^ρ )=B^ν \:C^ρ \:Γ_{\:\:\:μγ}^β \:A_β \:dx^γ-A_μ \:C^ρ \:Γ_{\:\:\:βγ}^ν \:B^β \:dx^γ-A_μ \:B^ν \:Γ_{\:\:\:βγ}^ρ \:C^β \:dx^γ$ .

2.b.	• La variation étant linéaire, elle se généralise à tout tenseur $A_μ^{\:\:\:νρ}$ : $δA_μ^{\:\:\:νρ}=A_β^{\:\:\:νρ} \:Γ_{\:\:\:μγ}^β \:dx^γ-A_μ^{\:\:\:βρ} \:Γ_{\:\:\:βγ}^ν \:dx^γ-A_μ^{\:\:\:νβ} \:Γ_{\:\:\:βγ}^ρ \:dx^γ$ .

• On obtient ainsi :

DA_μ^{\:\:\:νρ}=dA_μ^{\:\:\:νρ}-δA_μ^{\:\:\:νρ}=dA_μ^{\:\:\:νρ}+Γ_{\:\:\:μγ}^β \:A_β^{\:\:\:νρ} \:dx^γ-Γ_{\:\:\:βγ}^ν \:A_μ^{\:\:\:βρ} \:dx^γ-Γ_{\:\:\:βγ}^ρ \:A_μ^{\:\:\:νβ} \:dx^γ

.
• On en déduit les “dérivées covariantes” :

D_α A_μ^{\:\:\:νρ}=∂_α A_μ^{\:\:\:νρ}+Γ_{\:\:\:μα}^β \:A_β^{\:\:\:νρ}-Γ_{\:\:\:βα}^ν \:A_μ^{\:\:\:βρ}-Γ_{\:\:\:βα}^ρ \:A_μ^{\:\:\:νβ}

.
◊ remarque : le principe se généralise à tout tenseur, quel que soit le nombre d'indices covariants et/ou contravariants.

Transport parallèle

• Dans

ℝ^3

on peut considérer

ds^2=c^2 \:dt^2-d𝓁^2

avec

d𝓁^2=R^2 \:dθ^2+dz^2=dξ^2+dz^2

.
• Ceci correspond à :

g_{00}=1

;

g_{11}=-1

;

g_{22}=-1

.
• Cette métrique est celle correspondant à des coordonnées cartésiennes dans un plan, mais la surface est par ailleurs “cyclique” sur la variable

ξ

(provenant de

θ

).
◊ remarque : en pratique, dans

ℝ^3

, un cylindre découpé selon une droite parallèle à son axe peut être déroulé et superposé à une bande d'un plan.

2.a.	• En déplaçant $\overset{→}{u}_r\left(M_1\right)$ parallèlement à lui même au sens de $ℝ^3$ , on obtient $-\overset{→}{u}_θ\left(M_2\right)$ . • En déplaçant $\overset{→}{u}_θ\left(M_1\right)$ parallèlement à lui même au sens de $ℝ^3$ , on obtient $\overset{→}{u}_r\left(M_2\right)$ .

2.b.	• Le vecteur $\overset{→}{u}_r$ n'existe pas en tant que vecteur de la surface (il n'est pas dans le plan tangent). • Perpendiculaire en chaque point à l'axe $Oz$ , le cercle est l'équivalent d'un axe cartésien $Oξ$ (il s'agit d'une géodésique). • Le “transport parallèle” au sens de la surface est donc en fait parallèle à cet axe : on obtient $\overset{→}{u}_θ\left(M_2\right)$ , ce qui est cohérent pour un espace localement plat.

Somme de vecteurs

1.	• Dans un espace courbe, le transport parallèle de $\overrightarrow{B}$ en $M$ dépend du chemin suivi, donc de façon générale ceci n'est éventuellement possible que pour la limite de points quasi-confondus (séparés par une distance infinitésimale).

• En supposant qu'on puisse définir une méthode de transport parallèle telle que

\overrightarrow{B}_M

ne soit pas ambigu, alors on pourrait définir en

M

une somme

\overrightarrow{A}_M+\overrightarrow{B}_M

. Mais par ailleurs, on pourrait alors aussi, par la même méthode, définir

\overrightarrow{A}_N

, puis

\widevec{A}_N+\overrightarrow{B}_N

; le problème est qu'un transport inverse donnerait en général :

\left(\overrightarrow{A}_N+\overrightarrow{B}_N\right)_M≠\left(\overrightarrow{A}_M+\overrightarrow{B}_M\right)_N

. Ainsi, pour des grandeurs définies en des points distincts, on ne peut considérer que des sommes de scalaires.

Transformation de la Connexion affine

• À partir de

\underline{DA}^α=d\underline{A}^α+\underline{Γ}_{\:\:\:βγ}^α \:\underline{A}^β \:d\underline{x}^γ

, on obtient :

$∂_β \underline{x}^α \:DA^β=d\left(∂_ρ \underline{x}^α \:A^ρ\right)+\underline{Γ}_{\:\:\:βγ}^α \:∂_ρ \underline{x}^β \:A^ρ \:∂_μ \underline{x}^γ \:dx^μ$ ;
$∂_β \underline{x}^α \:DA^β=∂_ρ \underline{x}^α \:dA^ρ+d\left(∂_ρ \underline{x}^α\right) \:A^ρ+\underline{Γ}_{\:\:\:βγ}^α \:∂_ρ \underline{x}^β \:A^ρ \:∂_μ \underline{x}^γ \:dx^μ$ ;
$∂_β \underline{x}^α \:DA^β=∂_ρ \underline{x}^α \:dA^ρ+∂_{ρμ} \underline{x}^α \:dx^μ \:A^ρ+\underline{Γ}_{\:\:\:βγ}^α \:∂_ρ \underline{x}^β \:A^ρ \:∂_μ \underline{x}^γ \:dx^μ$ .

• En appliquant la transformation inverse :

$DA^σ=\underline{∂}_α x^σ \:∂_β \underline{x}^α \:DA^β=δ_β^σ \:DA^β$ ;
$DA^σ=\underline{∂}_α x^σ \:\underline{DA}^α=\underline{∂}_α x^σ \:\left(∂_ρ \underline{x}^α \:dA^ρ+∂_{ρμ} \underline{x}^α \:dx^μ \:A^ρ+\underline{Γ}_{\:\:\:βγ}^α \:∂_ρ \underline{x}^β \:A^ρ \:∂_μ \underline{x}^γ \:dx^μ\right)$ ;
$DA^σ=dA^σ+ \left(\underline{∂}_α x^σ \:∂_ρ \underline{x}^β \:∂_μ \underline{x}^γ \:\underline{Γ}_{\:\:\:βγ}^α+\underline{∂}_α x^σ \:∂_{ρμ} \underline{x}^α\right) \:A^ρ \:dx^μ$ .

• La comparaison avec

DA^σ=dA^σ+ Γ_{\:\:\:ρμ}^σ \:A^ρ \:dx^μ

donne

Γ_{\:\:\:ρμ}^σ=\underline{∂}_α x^σ \:∂_ρ \underline{x}^β \:∂_μ \underline{x}^γ \:\underline{Γ}_{\:\:\:βγ}^α+\underline{∂}_α x^σ \:∂_{ρμ} \underline{x}^α

, ou par changement des indices :

Γ_{\:\:\:αβ}^κ=∂_α \underline{x}^μ \:∂_β \underline{x}^ν \:\underline{∂}_ρ x^κ \:\underline{Γ}_{\:\:\:μν}^ρ+∂_{αβ} \underline{x}^μ \:\underline{∂}_μ x^κ

Sous-espace courbe

1.a.	• Chaque point de la demi-sphère a une projection et une seule (on se limite à $z>0$ ) ; ce repérage donne une représentation sans ambiguïté.

1.b.	• Ces coordonnées ne sont pas cartésiennes en tant que coordonnées sur la demi-sphère, car elles ne correspondent pas à des “axes” rectilignes.

2.a.

• Dans

ℝ^3

on peut utiliser

ds^2=c^2 \:dt^2-d𝓁^2

avec

d𝓁^2=dx^2+dy^2+dz^2

; le sous-espace considéré impose :

d\left(x^2+y^2+z^2\right)=0=2\,x \:dx+2\,y \:dy+2\,z \:dz

, donc :

\displaystyle dz^2=\frac{x^2 \:dx^2+2 \:x \:y \:dx \:dy+y^2 \:dy^2}{R^2-x^2-y^2}

.
• On en déduit par substitution :

\displaystyle d𝓁^2=\frac{R^2-y^2}{R^2-x^2-y^2} \:dx^2+\frac{2 \:x\:y}{R^2-x^2-y^2} \:dx \:dy+\frac{R^2-x^2}{R^2-x^2-y^2}\:dy^2

• Ceci correspond à :

g_{00}=1

;

\displaystyle g_{11}=-\frac{R^2-y^2}{R^2-x^2-y^2}

;

\displaystyle g_{22}=-\frac{R^2-x^2}{R^2-x^2-y^2}

;

\displaystyle g_{12}=g_{21}=-\frac{x\:y}{R^2-x^2-y^2}

(sans oublier qu'il y a deux termes égaux).

2.b.

• Le déterminant est

\displaystyle g=\frac{R^2}{R^2-x^2-y^2}

; la matrice inverse

g^{αβ}

correspond à :

$g^{00}=1$ ; $\displaystyle g^{11}=-\frac{R^2-x^2}{R^2}$ ; $\displaystyle g^{22}=-\frac{R^2-y^2}{R^2}$ ; $\displaystyle g^{12}=g^{21}=\frac{x \:y}{R^2}$ .

3.a.	• On obtient ainsi : $\displaystyle Γ_{111}=-\frac{x.\left(R^2-y^2\right)}{\left(R^2-x^2-y^2\right)^2}$ ; $\displaystyle Γ_{222}=-\frac{y.(R^2-x^2 )}{\left(R^2-x^2-y^2\right)^2}$ ; $\displaystyle Γ_{211}=-\frac{y.\left(R^2-y^2\right)}{\left(R^2-x^2-y^2\right)^2}$ ; $\displaystyle Γ_{122}=-\frac{x.\left(R^2-x^2\right)}{\left(R^2-x^2-y^2\right)^2}$ ; $\displaystyle Γ_{112}=Γ_{121}=-\frac{y \:x^2}{\left(R^2-x^2-y^2\right)^2}$ ; $\displaystyle Γ_{221}=Γ_{212}=-\frac{x \:y^2}{\left(R^2-x^2-y^2\right)^2}$ .

3.b.	• On obtient enfin : $\displaystyle Γ_{\:\:\:11}^1=Γ_{111} \:g^{11}+Γ_{211} \:g^{22}=\frac{x.\left(R^2-y^2\right)}{R^2.\left(R^2-x^2-y^2\right)}$ ; $\displaystyle Γ_{\:\:\:22}^2=\frac{y.\left(R^2-x^2\right)}{R^2.\left(R^2-x^2-y^2\right)}$ ; $\displaystyle Γ_{\:\:\:11}^2=\frac{y.\left(R^2-y^2\right)}{R^2.\left(R^2-x^2-y^2\right)}$ ; $\displaystyle Γ_{\:\:\:22}^1=\frac{x.\left(R^2-x^2\right)}{R^2.\left(R^2-x^2-y^2\right)}$ ; $\displaystyle Γ_{\:\:\:12}^1=Γ_{\:\:\:21}^1=\frac{y \:x^2}{R^2.\left(R^2-x^2-y^2\right)}$ ; $\displaystyle Γ_{\:\:\:21}^2=Γ_{\:\:\:12}^2=\frac{x \:y^2}{R^2.\left(R^2-x^2-y^2\right)}$ .

Sous-espace courbe

1.a.	• On peut considérer $ds^2=c^2 \:dt^2-d𝓁^2$ avec $d𝓁^2=r^2 \:dθ^2+R^2 \:\sin^2⁡\left(θ\right)\:dφ^2$ . • Ceci correspond à : $g_{00}=1$ ; $g_{11}=-R^2$ ; $g_{22}=-R^2 \:\sin^2⁡\left(θ\right)$ .

1.b.	• Le déterminant est $g=R^4 \:\sin^2⁡\left(θ\right)$ ; la matrice inverse $g^{αβ}$ correspond à : $g^{00}=1$ ; $\displaystyle g^{11}=-\frac{1}{R^2}$ ; $\displaystyle g^{22}=-\frac{1}{R^2 \:\sin^2⁡\left(θ\right)}$ .

2.a.	• On obtient ainsi : $Γ_{212}=Γ_{221}=-Γ_{122}=-R^2 \:\sin⁡\left(θ\right) \:\cos⁡\left(θ\right)$ .

2.b.	• On obtient enfin : $\displaystyle Γ_{\:\:\:12}^2=Γ_{\:\:\:21}^2=Γ_{212} \:g^{22}=\frac{\cos⁡\left(θ\right)}{\sin⁡\left(θ\right)}$ ; $Γ_{\:\:\:22}^1=-\sin⁡\left(θ\right) \:\cos⁡\left(θ\right)$ .

3.a.

• Les coordonnées cartésiennes peuvent s'écrire (avec un indice

(0)

pour les valeurs en

M_0

) :

$x_\left(0\right)=R \:\sin⁡\left(θ_0\right) \:\cos⁡\left(φ_0\right)$ ; $y_\left(0\right)=R \:\sin⁡\left(θ_0\right) \:\sin⁡\left(φ_0\right)$ ; $z_\left(0\right)=R \:\cos⁡\left(θ_0\right)$ .

• L'équation du plan considéré peut s'écrire sous la fome :

$0=\overset{⟶}{OM}∙\overset{⟶}{OM_0}=x \:R \:\sin⁡\left(θ_0\right) \:\cos⁡\left(φ_0\right)+y \:R \:\sin⁡\left(θ_0\right) \:\sin⁡\left(φ_0\right)+z \:R \:\cos⁡\left(θ_0\right)$ .

3.b.

• De façon analogue :

x=R \:\sin⁡\left(θ\right) \:\cos⁡\left(φ\right)

;

y=R \:\sin⁡\left(θ\right) \:\sin⁡\left(φ\right)

;

z=R \:\cos⁡\left(θ\right)

.
• L'équation d'un grand cercle peut donc s'écrire :

$\sin⁡\left(θ\right) \:\sin⁡\left(θ_0\right) \:\cos⁡\left(φ\right) \:\cos⁡\left(φ_0\right)+\sin⁡\left(θ\right) \:\sin⁡\left(θ_0\right) \:\sin⁡\left(φ\right) \:\sin⁡\left(φ_0\right)+\cos⁡\left(θ\right) \:\cos⁡\left(θ_0\right)=0$ .

• Ceci peut se simplifier sous la forme :

\cos⁡\left(φ-φ_0\right)+\cot\left(θ\right) \:\cot\left(θ_0\right)=0

4.a.	• L'équation temporelle des géodésiques s'écrit $\displaystyle \frac{d^2 t}{ds^2}=0$ . Ceci implique la proportionnalité $ds∝dt$ ; il en découle donc aussi $d𝓁∝dt$ (correspondant à un déplacement à vitesse constante). • Les équations des géodésiques de la surface correspondent ainsi à : $\displaystyle \frac{d^2 θ}{dl^2}-\sin⁡\left(θ\right) \:\cos⁡\left(θ\right) \:\left(\frac{dφ}{d𝓁}\right)^2=0$ ; $\displaystyle \frac{d^2 φ}{d𝓁^2}+2 \:\frac{\cos⁡\left(θ\right)}{\sin⁡\left(θ\right)} \frac{dθ}{d𝓁} \frac{dφ}{d𝓁}=0$ .

4.b.	• Si on pose $\displaystyle F=\frac{dφ}{d𝓁}$ , la seconde équation peut s'écrire : $\displaystyle \frac{dF}{dθ}+2 \:\frac{\cos⁡\left(θ\right)}{sin⁡(θ)} \:F=0$ ; les solutions sont de la forme : $\displaystyle F\left(θ\right)=\frac{Cte}{\sin^2⁡\left(θ\right)}$ (on peut trouver une intégrale première équivalente avec la première équation), mais la seconde intégration est très ardue ; on se limite donc ici à une intégration numérique. • La méthode d'Euler donne une courbe indiscernable de celle obtenue à la question (3).

Sous-espace courbe

1.a.	• Dans $ℝ^3$ on peut considérer $ds^2=c^2 \:dt^2-d𝓁^2$ avec : $d𝓁^2=dr^2+r^2 \:dθ^2+dz^2=dr^2+\left(1+λ^2 \:r^2\right) \:dz^2$ . • Ceci correspond à : $g_{00}=1$ ; $g_{11}=-1$ ; $g_{22}=-\left(1+λ^2 \:r^2\right)$ .

1.b.	• Le déterminant est $g=1+λ^2 \:r^2$ ; la matrice inverse $g^{αβ}$ correspond à : $g^{00}=1$ ; $g^{11}=-1$ ; $\displaystyle g^{22}=-\frac{1}{1+λ^2 \:r^2}$ .

2.a.	• On obtient ainsi : $Γ_{212}=Γ_{221}=-Γ_{122}=-λ^2 \:r$ .

2.b.	• On obtient enfin : $\displaystyle Γ_{\:\:\:12}^2=Γ_{\:\:\:21}^2=Γ_{212} \:g^{22}=\frac{λ^2 \:r}{1+λ^2 \:r^2}$ ; $Γ_{\:\:\:22}^1=-λ^2 \:r$ .

3.a.	• Dans $ℝ^3$ on peut utiliser ${ds}^2=c^2 \:dt^2-d𝓁^2$ avec $d𝓁^2=dr^2+dz^2+λ^2 \:r^2 \:dζ^2$ . • On peut alors considérer $r=r(z)$ et regrouper : $\displaystyle dρ^2=dr^2+dz^2=dz^2 .\left(1+\left(\frac{dr}{dz}\right)^2\,\right)$ . • Pour retrouver une métrique équivalente (avec notations adaptées) : $d𝓁^2=dρ^2+\left(1+λ^2 \:ρ^2\right) \:dζ^2$ , il faut et il suffit donc que : $r^2=R^2 .\left(1+λ^2 \:r^2\right)$ , c'est à dire : $ρ=\sqrt{r^2-R^2}$ . • Ceci correspond à : $\displaystyle dρ^2=dr^2+dz^2=\frac{λ^2 \:ρ^2}{1+λ^2 \:ρ^2} \:dρ^2+dz^2$ ; $\displaystyle \frac{1}{1+λ^2 \:ρ^2} \:dρ^2=dz^2$ . On en déduit par intégration (en choisissant $ρ=0$ pour $z=0$ ) : $ρ = R \:\sinh⁡(λ \:z)$ ; $r= R \:\cosh⁡(λ \:z)$ . • La surface ainsi définie est “localement équivalente” puisqu'elle a la même métrique. Elle n'est pas globalement équivalente car elle est par ailleurs “cyclique” sur la variable $ζ$ (provenant de $θ$ ) ; la situation est analogue au cas d'un cylindre, “localement plat” mais non plan.

3.b.	• La première formulation peut suggérer une torsion (avec un sens de vissage arbitraire parmi deux possibles). La seconde formulation montre par contre qu'il n'y a pas de torsion intrinsèque. • L'ambiguïté vient du fait qu'il y a une sorte de “torsion” dans $ℝ^3$ , mais que ce n'est pas une propriété intrinsèque de la surface : c'est une propriété de la façon dont elle est modélisée dans $ℝ^3$ . On peut obtenir une autre modélisation dans $ℝ^3$ , localement équivalente (à par le fait qu'elle est cyclique sur $ζ$ ), mais sans aspect de “torsion”. • La “torsion intrinsèque” d'une surface est associée à la non commutation des dérivées covariantes.

4.a.	• L'équation temporelle des géodésiques s'écrit $\displaystyle \frac{d^2 t}{ds^2}=0$ . Ceci implique la proportionnalité $ds∝dt$ ; il en découle donc aussi $d𝓁∝dt$ (correspondant à un déplacement à vitesse constante). • Les équations des géodésiques de la surface correspondent ainsi à : $\displaystyle \frac{d^2 r}{dl^2}-λ^2 \:r .\left(\frac{dz}{d𝓁}\right)^2=0$ ; $\displaystyle \frac{d^2 z}{dl^2}+2\, \frac{λ^2 \:r}{1+λ^2 \:r^2} \:\frac{dr}{d𝓁} \:\frac{dz}{d𝓁}=0$ .

4.b.	• Si on pose $\displaystyle Z=\frac{dz}{d𝓁}$ , la seconde équation peut s'écrire : $\displaystyle \frac{dZ}{dr}+2 \,\frac{λ^2 \:r}{1+λ^2 \:r^2} \:Z=0$ ; les solutions sont de la forme : $\displaystyle Z\left(r\right)=\frac{Cte}{1+λ^2 \:r^2}$ (on peut trouver une intégrale première équivalente avec la première équation), mais la seconde intégration est très ardue ; on se limite donc ici à une intégration numérique. • La méthode d'Euler donne des courbes très vraisemblables pourvu que le pas de calcul soit assez petit. Il y a deux types de géodésiques, selon qu'ils coupent ou non l'axe $Oz$ .