GÉOMÉTRIE RIEMANNIENNE EN ESPACE COURBE - exercices


Dérivation covariante

1.     • On considère un produit direct de vecteurs : AμBνCρA_μ \:B^ν \:C^ρ (exprimés indifféremment par leurs coordonnées covariantes ou contravariantes) ; justifier que cet objet est un tenseur.

2.     a) Dans des conditions de transport parallèle des vecteurs, calculer la variation  δ(AμBνCρ)δ\left(A_μ \:B^ν \:C^ρ\right)  due à la variation des coordonnées locales.
        b) Justifier que cette propriété se généralise à un tenseur  AμνρA_μ^{\:\:\:νρ}  quelconque.

3.     • En déduire les “dérivées covariantes” pour un tenseur  AμνρA_μ^{\:\:\:νρ} .


Transport parallèle

1.     • On considère dans ℝ3ℝ^3 un cylindre d'axe  OzOz  et de rayon RR (en coordonnées cylindriques). On utilise pour cela (en plus de  x0=ctx^0=c\,t ),  le repérage par les coordonnées :  x1=ξ=Rθx^1=ξ=R \:θ  et  x2=zx^2=z .
        • Justifier que cela correspond à des coordonnées “cartésiennes” et que (bien que “cyclique”) la surface est “localement équivalente” au plan.

2.     • Un point MM se déplace sur le cylindre, le long d'un cercle perpendiculaire à l'axe, d'un quart de tour dans le sens de θθ croissant (d'une position M1M_1 à une position M2M_2 ).
        a) Que donne le “transport parallèle” des vecteurs u→r\overset{→}{u}_r et u→θ\overset{→}{u}_θ au sens de ℝ3ℝ^3 ?
        b) Que donne le “transport parallèle” des vecteurs u→r\overset{→}{u}_r et u→θ\overset{→}{u}_θ au sens de la surface du cylindre ?


Somme de vecteurs

1.     • Dans un espace courbe, on cherche à définir la somme de deux vecteurs A→\overset{→}{A} et B→\overset{→}{B} respectivement définis en deux points MM et NN distincts.
        • Est-il possible de définir une telle somme au point MM, par transport parallèle de B→\overset{→}{B} en MM ?

2.     • En supposant qu'on puisse définir une méthode particulière de transport parallèle qui permette de définir une somme au point MM, le résultat obtenu serait-il en pratique utilisable ?


Transformation de la Connexion affine

        • On considère un changement de repère  x_β→xα\underline{x}^β→x^α  tel que :  dxα=∂_βxαdx_βdx^α=\underline{∂}_β x^α \;d\underline{x}^β   et   dx_β=∂αx_βdxαd\underline{x}^β=∂_α \underline{x}^β \;dx^α .
        • À partir de  DAα=dAα+ΓβγαAβdxγDA^α=dA^α+Γ_{\:\:\:βγ}^α \;A^β \:dx^γ   et   DA_α=dA_α+Γ_βγαA_βdx_γ\underline{DA}^α=d\underline{A}^α+\underline{Γ}_{\:\:\:βγ}^α \;\underline{A}^β \:d\underline{x}^γ,  montrer qu'on obtient :
Γαβκ=∂αx_μ∂βx_ν∂_ρxκΓ_μνρ+∂αβx_μ∂_μxκΓ_{\:\:\:αβ}^κ=∂_α \underline{x}^μ \;∂_β \underline{x}^ν \;\underline{∂}_ρ x^κ \;\underline{Γ}_{\:\:\:μν}^ρ+∂_{αβ} \underline{x}^μ \;\underline{∂}_μ x^κ .


Sous-espace courbe

1.     • On se propose d'étudier l'espace courbe que constitue la demi-sphère décrite en coordonnée cartésiennes par  x2+y2+z2=R2x^2+y^2+z^2=R^2  avec  z>0z>0  ;  il s'agit d'un sous-espace courbe dans un espace plat.
        a) Justifier que (en plus de  x0=ctx^0=c\,t ),  le repérage par les coordonnées en projection :  x1=xx^1=x   et   x2=yx^2=y  donne une bonne représentation acceptable sur la demi-sphère.
        b) Ces coordonnées sont-elles des coordonnées cartésiennes ?

2.     a) Établir l'expression de  ds2ds^2  et de  gαβg_{αβ} .
        b) En déduire  gαβg^{αβ} .

3.     a) Établir l'expression des ΓκαβΓ_{καβ} .
        b) En déduire les ΓαβκΓ_{\:\:\:αβ}^κ .


Sous-espace courbe

1.     • On se propose d'étudier l'espace courbe que constitue la sphère décrite en coordonnée sphériques par  r=Rr=R  (constant) ; il s'agit d'un sous-espace courbe dans un espace plat.
        • On choisit le repérage par les coordonnées :  x1=θx^1=θ   et   x2=φx^2=φ  (en plus de  x0=ctx^0=c\,t ).
        a) Établir l'expression de  ds2ds^2   et de  gαβg_{αβ} .
        b) En déduire  gαβg^{αβ} .

2.     a) Établir l'expression des  ΓκαβΓ_{καβ} .
        b) En déduire les  ΓαβκΓ_{\:\:\:αβ}^κ .

3.     • En raisonnant dans ℝ3ℝ^3, on peut montrer que les géodésiques de la sphère sont des “grands cercles” (déduits de l'équateur et/ou des méridiens par inclinaison). On se propose de trouver l'équation de ces géodésiques par géométrie analytique dans ℝ3ℝ^3.
        a) Exprimer les coordonnées cartésiennes d'un point M0M_0 (R,θ0,φ0)\left(R,\:θ_0,\:φ_0\,\right) sur la sphère ; en déduire l'équation cartésienne du plan perpendiculaire à  OM0OM_0  et passant par l'origine.
        b) Exprimer les coordonnées cartésiennes d'un point MM (R,θ,φ)\left(R,\:θ,\:φ\right) de la sphère ; en déduire l'équation d'un grand cercle en coordonnées sphériques (intersection de la sphère avec le plan considéré à la question précédente).

4.     a) Écrire les équations différentielles des géodésiques de la surface.
        b) Ces équations différentielles ne sont pas faciles à intégrer littéralement (même quand on connaît à l'avance la solution, ici donnée par la question 3.b). Les intégrer numériquement par la méthode d'Euler et comparer aux expressions littérales obtenues précédemment.


Sous-espace courbe

1.     • On veut étudier l'espace courbe que constitue la surface “en hélice” décrite en coordonnée cylindriques par  θ=λzθ=λ \:z  (où λλ est une constante) avec  r∈ℝr∈ℝ  (pour éviter l'existence d'un bord pour  r=0 r=0 )  ;  il s'agit d'un sous-espace courbe dans un espace plat.
        • On choisit le repérage par les coordonnées :  x1=rx^1=r   et   x2=zx^2=z  (en plus de  x0=ctx^0=c\,t ).
        a) Établir l'expression de  ds2ds^2  et de  gαβg_{αβ} .
        b) En déduire  gαβg^{αβ} .

2.     a) Établir l'expression des  ΓκαβΓ_{καβ} .
        b) En déduire les  ΓαβκΓ_{\:\:\:αβ}^κ .

3.     a) Montrer qu'on peut trouver une surface “localement équivalente” (et en plus “cyclique”) en considérant le sous-espace de ℝ3ℝ^3 défini en coordonnées cylindriques par  r=Rsinh(λz)r=R \:\sinh\left({λ\:z}\right)  avec  R=1λ\displaystyle R=\frac{1}{λ} .  Utiliser pour cela (en plus de  x0=ctx^0=c\,t ) :  x1=ρ=r2-R2x^1=ρ=\sqrt{r^2-R^2}  et  x2=ζ=Rθx^2=ζ=R \:θ .
        b) Ces surfaces ont elles une “torsion” ?

4.     a) Écrire les équations différentielles des géodésiques de la surface.
        b) Ces équations différentielles ne sont pas faciles à intégrer littéralement. Les intégrer numériquement par la méthode d'Euler.