GÉOMÉTRIE RIEMANNIENNE EN ESPACE PLAT

GÉOMÉTRIE RIEMANNIENNE EN ESPACE PLAT - corrigé des exercices

Coordonnées sphériques

• Un déplacement infinitésimal :

d\overset{→}{M}=dr \:\overset{→}{u}_r+r \:dθ \:\overset{→}{u}_θ+r \;\sin(θ)\:dφ \;\overset{→}{u}_φ

correspond pour l’abscisse curviligne à :

{ds}^2=\left(d\overset{→}{M} \,\right)^2={dr}^2+r^2 \:{dθ}^2+r^2 \: \sin^2(θ) \;{dφ}^2

.
• Tous les coefficients non diagonaux de la matrice

g_{ij}

sont donc nuls (aucun terme en

dr.dθ

dr.dφ

dθ.dφ

) et les coefficients diagonaux sont :

g_{11}=1

;

g_{22}=r^2

;

g_{33}=r^2 \; \sin^2(θ)

• Le déplacement infinitésimal :

d\overset{→}{M}=dr \:\overset{→}{u}_r+r \:dθ \:\overset{→}{u}_θ+r \;\sin(θ)\:dφ \;\overset{→}{u}_φ

correspond sur la base locale à :

d\overset{→}{M}=dr \:\overset{→}{e}_1+dθ \:\overset{→}{e}_2+dφ \:\overset{→}{e}_3

(avec

x_1=r

;

x_2=θ

;

x_3=φ

).
• Par identification, on en déduit :

\overset{→}{e}_1=\overset{→}{u}_r

;

\overset{→}{e}_2=r \:\overset{→}{u}_θ

;

\overset{→}{e}_3=r \;\sin(θ) \;\overset{→}{u}_φ

.
◊ remarque : cette base est orthogonale, donc on retrouve bien que les produits scalaires non diagonaux sont nuls :

g_{ij}=\overset{→}{e}_i∙\overset{→}{e}_j=0

pour

i≠j

; par ailleurs on retrouve aussi les termes diagonaux :

g_{ii}=\left(\overset{→}{e}_i \right)^2

(la base locale n’est pas normée).

• Le vecteur unitaire

\overset{→}{u}_r=\overset{→}{u}_r (θ,φ)

a pour variation élémentaire :

d\overset{→}{u}_r=dθ \;\overset{→}{u}_θ+\sin(θ)\:dφ \;\overset{→}{u}_φ

, ce qui peut s’écrire :

\displaystyle d\overset{→}{e}_1=\frac{1}{r} \:dθ \;\overset{→}{e}_2+\frac{1}{r} \:dφ \;\overset{→}{e}_3

.
• Ceci correspond à :

Γ_{\phantom{.}1j}^k=0

sauf pour :

\displaystyle Γ_{\phantom{.}12}^2=\frac{1}{r}

\displaystyle Γ_{\phantom{.}13}^3=\frac{1}{r}

.

• Le vecteur unitaire

\overset{→}{u}_θ=\overset{→}{u}_θ (θ,φ)

a pour variation élémentaire :

d\overset{→}{u}_θ=-dθ \;\overset{→}{u}_r+\cos(θ)\;dφ \;\overset{→}{u}_φ

, ce qui peut s’écrire :

\displaystyle d\overset{→}{e}_2=dr \;\overset{→}{u}_θ+r \:d\overset{→}{u}_θ=-r \:dθ \;\overset{→}{e}_1+\frac{1}{r}\: dr \;\overset{→}{e}_2+\cot(θ)\;dφ \;\overset{→}{e}_3

.
• Ceci donne :

Γ_{\phantom{.}2j}^k=0

sauf pour :

Γ_{\phantom{.}22}^1=-r

;

\displaystyle Γ_{\phantom{.}21}^2=\frac{1}{r}

Γ_{\phantom{.}23}^3=\cot(θ)

.

• Le vecteur unitaire

\overset{→}{u}_φ=\overset{→}{u}_φ (φ)

a pour variation élémentaire :

d\overset{→}{u}_φ=-\sin(θ)\;dφ \;\overset{→}{u}_r-\cos(θ)\;dφ \;\overset{→}{u}_θ

, ce qui s’écrit :

d\overset{→}{e}_3=dr \;\sin(θ) \;\overset{→}{u}_φ+r \;\cos(θ)\;dθ \;\overset{→}{u}_φ+r \;\sin(θ)\;d\overset{→}{u}_φ

;

$\displaystyle d\overset{→}{e}_3=-r \;\sin^2(θ)\;dφ \;\overset{→}{e}_1-\sin(θ) \: \cos(θ)\;dφ \;\overset{→}{e}_2+\left[\frac{1}{r} \: dr+\cot(θ)\;dθ\right] \; \overset{→}{e}_3$ .

• Ceci donne :

Γ_{\phantom{.}3j}^k=0

sauf pour :

$Γ_{\phantom{.}33}^1=-r \;\sin^2(θ)$ ; $Γ_{\phantom{.}33}^2=-\sin(θ) \; \cos(θ)$ ; $\displaystyle Γ_{\phantom{.}31}^3=\frac{1}{r}$ et $Γ_{\phantom{.}32}^3=\cot(θ)$ .

◊ remarque : on constate la symétrie par rapport aux deux derniers indices :

Γ_{\phantom{.}ij}^k=Γ_{\phantom{.}ji}^k

• En abaissant le troisième indice (multiplication par la matrice

g_{k𝓁}

) :

$Γ_{212}=r$    et   $Γ_{313}=r \;\sin^2(θ)$    ;    $Γ_{122}=-r$    ;    $Γ_{221}=r$    et    $Γ_{323}=r^2 \; \sin(θ) \: \cos(θ)$ ;
$Γ_{133}=-r \;\sin^2(θ)$    ;    $Γ_{233}=-r^2 \; \sin(θ) \: \cos(θ)$ ;
$Γ_{331}=r \;\sin^2(θ)$    et    $Γ_{332}=r^2 \; \sin(θ) \: \cos(θ)$ .

◊ remarque : on constate la symétrie par rapport aux deux derniers indices :

Γ_{kij}=Γ_{kji}

Dérivations en coordonnées sphériques

• Le déplacement infinitésimal :

d\overset{→}{M}=dr \;\overset{→}{u}_r+r \:dθ \;\overset{→}{u}_θ+r \;\sin(θ)\:dφ \;\overset{→}{u}_φ

correspond sur la base locale à :

d\overset{→}{M}=dr \;\overset{→}{e}_1+dθ \;\overset{→}{e}_2+dφ \;\overset{→}{e}_3

(avec

x_1=r

;

x_2=θ

;

x_3=φ

).
• Par identification, on en déduit :

\overset{→}{e}_1=\overset{→}{u}_r

;

\overset{→}{e}_2=r \;\overset{→}{u}_θ

;

\overset{→}{e}_3=r \;\sin(θ) \;\overset{→}{u}_φ

.
• Tous les coefficients non diagonaux de la matrice

g_{ij}

sont donc nuls (aucun terme en

dr.dθ

dr.dφ

dθ.dφ

) et les coefficients diagonaux sont :

g_{11}=1

;

g_{22}=r^2

;

g_{33}=r^2 \; \sin^2(θ)

.
• Les coefficients non diagonaux de la matrice inverse

g^{ij}

sont donc nuls et les coefficients diagonaux sont :

g^{11}=1

;

\displaystyle g^{22}=\frac{1}{r^2}

;

\displaystyle g^{33}=\frac{1}{r^2 \: \sin^2(θ)}

• Ainsi, pour les coordonnées sphériques :

$\displaystyle \overset{→}{∇}V=g^{11} \:∂_1 V \:\,\overset{→}{e}_1+g^{22} \:∂_2 V \:\,\overset{→}{e}_2+g^{33} \:∂_3 V \:\,\overset{→}{e}_3=\frac{∂V}{∂r}\: \overset{→}{u}_r+\frac{1}{r^2} \, \frac{∂V}{∂θ} \:r \;\overset{→}{u}_θ+\frac{1}{r^2 \;\sin^2(θ)} \, \frac{∂V}{∂φ}\: r \;\sin(θ)\;\overset{→}{u}_φ$ ;
$\displaystyle \overset{→}{∇}V=\frac{∂V}{∂r} \: \overset{→}{u}_r+\frac{1}{r} \, \frac{∂V}{∂θ} \: \overset{→}{u}_θ+\frac{1}{r \;\sin(θ)} \,\frac{∂V}{∂φ} \: \overset{→}{u}_φ$ .

3.a.

• On obtient dans ce cas (à part les symétries, les autres coefficients sont nuls) :

$\displaystyle Γ_{\phantom{.}12}^2=\frac{1}{r}$     et     $\displaystyle Γ_{\phantom{.}13}^3=\frac{1}{r}$ ;
$Γ_{\phantom{.}22}^1=-r$     et     $Γ_{\phantom{.}23}^3=\cot(θ)$ ;
$Γ_{\phantom{.}33}^1=-r \;\sin^2(θ)$    ; $Γ_{\phantom{.}33}^2=-\sin(θ) \: \cos(θ)$ .

• On en déduit :

$\overset{→}{∇}∙\overset{→}{A}=∂_1 A^1+∂_2 A^2+∂_3 A^3+(Γ_{\phantom{.}21}^2+Γ_{\phantom{.}31}^3 ) \: A^1+Γ_{\phantom{.}32}^3 \: A^2$ ;
$\displaystyle \overset{→}{∇}∙\overset{→}{A}=\frac{∂A_{[r]}}{∂r}+\frac{1}{r} \, \frac{∂A_{[θ]}}{∂θ}+\frac{1}{r \;\sin(θ)} \, \frac{∂A_{[φ]}}{∂φ}+\frac{2}{r} \, A_{[r]}+\frac{\cot(θ)}{r } \, A_{[θ]}$ .

◊ remarque : il faut faire attention aux conventions “usuelles” notant

A_{[r]}

A_{[θ]}

A_{[φ]}

(où ici des crochets ont été ajoutés afin d'éviter l'ambiguïté) les coordonnées contravariantes sur la base orthonormée, c'est à dire pour

A_{[i]}=\sqrt{g_{ii}} \:A^i=\sqrt{g^{ii}} \:A_i

3.b.

• De façon analogue :

$∆𝒻=∂_1 ∂^1 𝒻+∂_2 ∂^2 𝒻+∂_3 ∂^3 𝒻+(Γ_{\phantom{.}21}^2+Γ_{\phantom{.}31}^3 ) \: ∂^1 𝒻+Γ_{\phantom{.}32}^3 \:∂^2 𝒻$ ;
$\displaystyle ∆𝒻=\frac{∂^2 𝒻}{∂r^2}+\frac{1}{r^2} \, \frac{∂^2 𝒻}{∂θ^2}+\frac{1}{r^2 \; \sin^2(θ)} \, \frac{∂^2 𝒻}{∂φ^2}+\frac{2}{r} \, \frac{∂𝒻}{∂r}+\frac{\cot(θ)}{r^2} \, \frac{∂𝒻}{∂θ}$ .

Dérivations en coordonnées sphériques

• Le déplacement infinitésimal :

d\overset{→}{M}=dr \;\overset{→}{u}_r+r \:dθ \;\overset{→}{u}_θ+r \;\sin(θ)\;dφ \;\overset{→}{u}_φ

correspond sur la base locale à :

d\overset{→}{M}=dr \;\overset{→}{e}_1+dθ \;\overset{→}{e}_2+dφ \;\overset{→}{e}_3

(avec

x_1=r

;

x_2=θ

;

x_3=φ

).
• Par identification, on en déduit :

\overset{→}{e}_1=\overset{→}{u}_r

;

\overset{→}{e}_2=r \;\overset{→}{u}_θ

;

\overset{→}{e}_3=r \;\sin(θ) \;\overset{→}{u}_φ

.
• Tous les coefficients non diagonaux de la matrice

g_{ij}

sont donc nuls (aucun terme en

dr.dθ

dr.dφ

dθ.dφ

) et les coefficients diagonaux sont :

g_{11}=1

;

g_{22}=r^2

;

g_{33}=r^2 \; \sin^2(θ)

.
• Les coefficients non diagonaux de la matrice inverse

g^{ij}

sont donc nuls et les coefficients diagonaux sont :

g^{11}=1

;

\displaystyle g^{22}=\frac{1}{r^2}

;

\displaystyle g^{33}=\frac{1}{r^2 \: \sin^2(θ)}

2.a.	• Le déterminant du tenseur métrique est : $g=r^4 \; \sin^2(θ)$ . • On en déduit : $\displaystyle \overset{→}{∇}∙\overset{→}{A}=\frac{∂_i \left(\sqrt{\|g\|} \: A^i \, \right)}{\sqrt{\|g\|}}=\frac{∂A_{[r]}}{∂r}+\frac{1}{r} \, \frac{∂A_{[θ]}}{∂θ}+\frac{1}{r \;\sin(θ)} \, \frac{∂A_{[φ]}}{∂φ}+\frac{2}{r} \, A_{[r]}+\frac{\cot(θ)}{r } \, A_{[θ]}$ . ◊ remarque : il faut faire attention aux conventions “usuelles” notant $A_{[r]}$ , $A_{[θ]}$ et $A_{[φ]}$ (où ici des crochets ont été ajoutés afin d'éviter l'ambiguïté) les coordonnées contravariantes sur la base orthonormée, c'est à dire pour $A_{[i]}=\sqrt{g_{ii}} \:A^i=\sqrt{g^{ii}} \:A_i$ .

2.b.	• De façon analogue : $\displaystyle ∆𝒻=\frac{∂_i \left(\sqrt{\|g\|} \: ∂^i f\right)}{\sqrt{\|g\|}}=\frac{∂^2 𝒻}{∂r^2}+\frac{1}{r^2} \, \frac{∂^2 𝒻}{∂θ^2}+\frac{1}{r^2 \; \sin^2(θ)} \, \frac{∂^2 𝒻}{∂φ^2}+\frac{2}{r} \, \frac{∂𝒻}{∂r}+\frac{\cot(θ)}{r^2} \, \frac{∂𝒻}{∂θ}$ .

Coordonnées bipolaires

1.a.

• Le vecteur de base

\displaystyle \overset{→}{e}_1=∂_1 \overset{→}{M}=\left[\frac{∂\overset{→}{M}}{∂r_1}\right]_{\,r_2=Cte}

est associé à une variation de

r_1

(dans le sens croissant) avec

r_2

constant. Ceci correspond à un déplacement sur le cercle de rayon

r_2

dans le sens de

θ_2

croissant, ce qui est justement l'orientation du vecteur unitaire

\overset{→}{u}_{θ_2}

(et inversement pour

\overset{→}{e}_2

\overset{→}{u}_{θ_1}

1.b.

• On obtient dans le triangle :

L^2=r_1^{\:2} +r_2^{\:2}-2 \,r_1 \: r_2 \; \cos(θ_3 )

avec

θ_3=π-θ_1-θ_2

.
• Ceci correspond effectivement à :

\displaystyle \cos(θ_1+θ_2 )=\frac{L^2 -r_1^{\:2} -r_2^{\:2}}{2 \,r_1 \: r_2}

1.c.

• Pour une variation

dr_1

avec

r_2

constant, la longueur du déplacement est

ds=r_2 \:dθ_2

(arc de cercle élémentaire). Or, l'angle entre ce déplacement (selon

\overset{→}{u}_{θ_2}

) et la direction de

\overset{⟶}{O_1 M}

(selon

\overset{→}{u}_{r_1}

) est

\frac{π}{2}-θ_3=θ_1+θ_2-\frac{π}{2}

. La variation correspond donc à :

dr_1=ds \:\, \cos\left(\frac{π}{2}-θ_3 \right)=ds \:\,\sin⁡(θ_1+θ_2 )

.
• Or, dans ce cas :

\overset{→}{e}_1 \: d(r_1 )=∂_1 \overset{→}{M} \:\, dx_1=d\overset{→}{M}

ou encore :

\left‖\overset{→}{e}_1 \right‖ \; d(r_1 )=ds

. Par comparaison :

\displaystyle \left‖\overset{→}{e}_1 \right‖=\frac{1}{\sin(θ_1+θ_2 )}

(et de même pour

\left‖\overset{→}{e}_2 \right‖

d'après la symétrie du dispositif).

RiemannPlat_cor_Im/RiemannPlat_cor_Im1.jpg

• En utilisant

\sin(θ_1+θ_2 )=\sqrt{1-\cos^2(θ_1+θ_2 )}

on obtient le résultat indiqué (de ce côté de

O_1 O_2

1.d.

• En sachant que

{ds}^2=g_{ij} \: {dx}^i \: {dx}^j

avec

g_{11}=\left‖\overset{→}{e}_1 \right‖^2

g_{22}=\left‖\overset{→}{e}_2 \right‖^2

on obtient effectivement les coefficients indiqués pour les termes en

{dr}_1^{\:2}

{dr}_2^{\:2}

.
• Le troisième coefficient, pour le terme en

{dr}_1 \: {dr}_2

, correspond à :

$\displaystyle g_{12}+g_{21}=2 \,\overset{→}{e}_1∙\overset{→}{e}_2=2 \,\left‖\overset{→}{e}_1 \right‖ .\left‖\overset{→}{e}_2 \right‖ \; \cos(π-θ_3 )=2 \,\frac{\cos(θ_1+θ_2 )}{\sin^2(θ_1+θ_2 )}=\frac{2\;\left(\frac{L^2 - r_1^{\:2} -r_2^{\:2}}{2 \,r_1 \:r_2}\right)}{1-\left(\frac{L^2 - r_1^{\:2} -r_2^{\:2}}{2 \,r_1 \:r_2}\right)^2 }$ .

• Lors d'une variation de

r_1

avec

r_2

constant, le vecteur unitaire

\displaystyle \overset{→}{e}_1=\frac{1}{\sin(θ_1+θ_2 )} \: \overset{→}{u}_{θ_2}

a pour dérivée partielle :

\displaystyle ∂_1 \overset{→}{e}_1=-\frac{1}{\sin^2(θ_1+θ_2 )} \: \frac{∂(sin⁡(θ_1+θ_2 ))}{∂r_1} \: \overset{→}{u}_{θ_2}+\frac{1}{\sin(θ_1+θ_2 )} \: \frac{∂\overset{→}{u}_{θ_2}}{∂r_1}

• Le premier terme est :

\displaystyle -\frac{\cos(θ_1+θ_2 )}{\sin(θ_1+θ_2 )} \: \left(\frac{∂θ_1}{∂r_1}+\frac{∂θ_2}{∂r_1}\right) \; \overset{→}{e}_1

avec :

\displaystyle \frac{∂θ_1}{∂r_1}=\frac{\cos(θ_1+θ_2 )}{r_1 \; \sin(θ_1+θ_2 )}

\displaystyle \frac{∂θ_2}{∂r_1}=\frac{1}{r_2 \; \sin(θ_1+θ_2 )}

.
• Le second terme correspond à :

$\displaystyle \frac{1}{\sin(θ_1+θ_2 )} \: \frac{∂\overset{→}{u}_{θ_2}}{∂θ_2} \frac{∂θ_2}{∂r_1}=-\frac{1}{r_2 \; \sin^2(θ_1+θ_2 )} \: \overset{→}{u}_{r_2}$ .

• Les projections :

\overset{→}{u}_{θ_1}=\sin(θ_1+θ_2 ) \; \overset{→}{u}_{r_2}+\cos(θ_1+θ_2 ) \; \overset{→}{u}_{θ_2}

donnent :

\overset{→}{u}_{r_2}=\overset{→}{e}_2-\cos(θ_1+θ_2 ) \;\overset{→}{e}_1

.
• D'après :

∂_1 \overset{→}{e}_1=Γ_{\phantom{.}11}^1 \: \overset{→}{e}_1+Γ_{\phantom{.}11}^2 \: \overset{→}{e}_2

on en déduit (ici sans expliciter les angles fonction de

r_1

r_2

) :

$\displaystyle Γ_{\phantom{.}11}^1=-\frac{\cos^2(θ_1+θ_2)}{r_1 \; \sin^2(θ_1+θ_2 )}$ ; $\displaystyle Γ_{\phantom{.}11}^2=-\frac{1}{r_2 \; \sin^2(θ_1+θ_2 )}$ .

• Par symétrie du dispositif :

$\displaystyle Γ_{\phantom{.}22}^2=-\frac{\cos^2(θ_1+θ_2 )}{r_2 \; \sin^2(θ_1+θ_2 )}$ ; $\displaystyle Γ_{\phantom{.}22}^1=-\frac{1}{r_1 \; \sin^2(θ_1+θ_2 )}$ .

RiemannPlat_cor_Im/RiemannPlat_cor_Im2.jpg

• Lors d'une variation de

r_1

avec

r_2

constant, le vecteur unitaire

\displaystyle \overset{→}{e}_2=\frac{1}{\sin(θ_1+θ_2 )} \: \overset{→}{u}_{θ_1}

a pour dérivée partielle :

\displaystyle ∂_1 \overset{→}{e}_2=-\frac{1}{\sin^2(θ_1+θ_2 )} \, \frac{∂(sin⁡(θ_1+θ_2))}{∂r_1} \: \overset{→}{u}_{θ_1}+\frac{1}{\sin(θ_1+θ_2 )} \: \frac{∂\overset{→}{u}_{θ_1}}{∂r_1}

.
• Le premier terme correspond à :

\displaystyle -\frac{\cos(θ_1+θ_2 )}{\sin(θ_1+θ_2 )} \, \left(\frac{∂θ_1}{∂r_1}+\frac{∂θ_2}{∂r_1}\right) \; \overset{→}{e}_2

avec (de façon analogue à précédemment) :

\displaystyle \frac{∂θ_1}{∂r_1}=\frac{\cos(θ_1+θ_2 )}{r_1 \; \sin(θ_1+θ_2 )}

\displaystyle \frac{∂θ_2}{∂r_1}=\frac{1}{r_2 \; \sin(θ_1+θ_2 )}

.
• Le second terme correspond à :

\displaystyle \frac{1}{\sin(θ_1+θ_2 )} \, \frac{∂\overset{→}{u}_{θ_1}}{∂θ_1} \, \frac{∂θ_1}{∂r_1}=-\frac{\cos(θ_1+θ_2 )}{r_1 \; \sin^2(θ_1+θ_2 )} \; \overset{→}{u}_{r_1}

.
• Les projections :

\overset{→}{u}_{θ_2}=\sin(θ_1+θ_2 ) \; \overset{→}{u}_{r_1}+\cos(θ_1+θ_2 ) \; \overset{→}{u}_{θ_1}

donnent :

\overset{→}{u}_{r_1}=\overset{→}{e}_1-\cos(θ_1+θ_2 ) \;\overset{→}{e}_2

.
• D'après :

∂_1 \overset{→}{e}_2=Γ_{\phantom{.}12}^1 \: \overset{→}{e}_1+Γ_{\phantom{.}12}^2 \: \overset{→}{e}_2

on en déduit :

\displaystyle Γ_{\phantom{.}12}^1=-\frac{\cos(θ_1+θ_2 )}{r_1 \; \sin^2(θ_1+θ_2 )}

;

\displaystyle Γ_{\phantom{.}12}^2=-\frac{\cos(θ_1+θ_2 )}{r_2 \; \sin^2(θ_1+θ_2 )}

.
• En utilisant les symétries :

\displaystyle Γ_{\phantom{.}21}^2=-\frac{\cos(θ_1+θ_2)}{r_2 \; \sin^2(θ_1+θ_2 )}

;

\displaystyle Γ_{\phantom{.}21}^1=-\frac{\cos(θ_1+θ_2 )}{r_1 \; \sin^2(θ_1+θ_2 )}

; on vérifie alors qu'on obtient :

Γ_{\phantom{.}21}^1=Γ_{\phantom{.}12}^1

Γ_{\phantom{.}21}^2=Γ_{\phantom{.}12}^2

3.a.	• On peut utiliser la relation générale : $Γ_{kij}=\frac{1}{2} \,(∂_i g_{jk}+∂_j g_{ik}-∂_k g_{ij} )$ . • On obtient ainsi : $\displaystyle Γ_{111}=\frac{1}{2} ∂_1 g_{11}=-\frac{\cos(θ_1+θ_2 )}{\sin^3(θ_1+θ_2 )} \, \left(\frac{∂θ_1}{∂r_1}+\frac{∂θ_2}{∂r_1}\right)=-\frac{\cos(θ_1+θ_2 )}{\sin^4(θ_1+θ_2 )} \, \left(\frac{1}{r_2} +\frac{\cos(θ_1+θ_2 )}{r_1} \right)$ ; $\displaystyle Γ_{211}=∂_1 g_{12}-\frac{1}{2} ∂_2 g_{11}=\frac{1+\cos^2(θ_1+θ_2 )}{\sin^3(θ_1+θ_2 )} \, \left(\frac{∂θ_1}{∂r_1}+\frac{∂θ_2}{∂r_1}\right)+\frac{\cos(θ_1+θ_2 )}{\sin^3(θ_1+θ_2 )} \, \left(\frac{∂θ_1}{∂r_2}+\frac{∂θ_2}{∂r_2}\right)$ $\displaystyle =-\frac{1+\cos^2(θ_1+θ_2 )}{\sin^4(θ_1+θ_2 )} \, \left(\frac{1}{r_2} +\frac{\cos(θ_1+θ_2 )}{r_1} \right)+\frac{\cos(θ_1+θ_2 )}{\sin^4(θ_1+θ_2 )} \, \left(\frac{1}{r_1} +\frac{\cos(θ_1+θ_2 )}{r_2} \right)$ $= - \frac{1}{{sin}^{4} (θ_{1} + θ_{2})} (\frac{{cos}^{3} (θ_{1} + θ_{2})}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}})$ $\displaystyle =-\frac{1}{\sin^4(θ_1+θ_2 )} \, \left(\frac{\cos^3(θ_1+θ_2 )}{r_1} +\frac{1}{r_2} \right)$ $\displaystyle Γ_{112}=Γ_{121}=\frac{1}{2} ∂_2 g_{11}=-\frac{\cos(θ_1+θ_2 )}{\sin^4(θ_1+θ_2 )} \, \left(\frac{1}{r_1} +\frac{\cos(θ_1+θ_2 )}{r_2} \right)$ ; $\displaystyle Γ_{212}=Γ_{221}=\frac{1}{2} ∂_1 g_{22}=Γ_{111}=-\frac{\cos(θ_1+θ_2 )}{\sin^4(θ_1+θ_2 )} \, \left(\frac{1}{r_2} +\frac{\cos(θ_1+θ_2 )}{r_1} \right)$ ; $\displaystyle Γ_{122}=∂_2 g_{12}-\frac{1}{2} ∂_1 g_{22}=\frac{1+\cos^2(θ_1+θ_2 )}{\sin^3(θ_1+θ_2 )} \, \left(\frac{∂θ_1}{∂r_2}+\frac{∂θ_2}{∂r_2}\right)+\frac{\cos(θ_1+θ_2 )}{\sin^3(θ_1+θ_2 )} \, \left(\frac{∂θ_1}{∂r_1}+\frac{∂θ_2}{∂r_1}\right)$ $\displaystyle =-\frac{1+\cos^2(θ_1+θ_2 )}{\sin^4(θ_1+θ_2 )} \; \left(\frac{1}{r_1} +\frac{\cos(θ_1+θ_2 )}{r_2} \right)+\frac{\cos(θ_1+θ_2 )}{\sin^4(θ_1+θ_2 )} \, \left(\frac{1}{r_2} +\frac{\cos(θ_1+θ_2 )}{r_1} \right)$ $\displaystyle =-\frac{1}{\sin^4(θ_1+θ_2 )} \, \left(\frac{\cos^3(θ_1+θ_2 )}{r_2} +\frac{1}{r_1} \right)$ ; $\displaystyle Γ_{222}=\frac{1}{2} ∂_2 g_{22}=-\frac{\cos(θ_1+θ_2 )}{\sin^3(θ_1+θ_2 )} \, \left(\frac{∂θ_1}{∂r_2}+\frac{∂θ_2}{∂r_2}\right)=-\frac{\cos(θ_1+θ_2 )}{\sin^4(θ_1+θ_2 )} \, \left(\frac{1}{r_1} +\frac{\cos⁡(θ_1+θ_2 )}{r_2} \right)$ .

3.b.	• On peut utiliser la relation : $Γ_{\phantom{.}ij}^k=Γ_{𝓁ij} \: g^{𝓁k}$ où $g^{𝓁k}$ est le tenseur “inverse” tel que $g_{ij} \: g^{jk}=δ_i^k$ . • On obtient ainsi : $g^{11}=g^{22}=1$ ; $g^{12}=g^{21}=-\cos(θ_1+θ_2 )$ . • On retrouve ainsi : $\displaystyle Γ_{\phantom{.}11}^1=Γ_{111} \: g^{11}+Γ_{211} \: g^{21}=-\frac{\cos^⁡(θ_1+θ_2 )}{r_1 \; \sin^2(θ_1+θ_2 )}$ ; $\displaystyle Γ_{\phantom{.}11}^2=Γ_{111} \: g^{12}+Γ_{211} \: g^{22}=-\frac{1}{r_2 \; \sin^2(θ_1+θ_2 )}$ ; $\displaystyle Γ_{\phantom{.}12}^1=Γ_{\phantom{.}21}^1=Γ_{112} \: g^{11}+Γ_{212} \: g^{21}=-\frac{\cos(θ_1+θ_2 )}{r_1 \; \sin^2(θ_1+θ_2 )}$ ; $\displaystyle Γ_{\phantom{.}12}^2=Γ_{\phantom{.}21}^2=Γ_{112} \: g^{12}+Γ_{212} \: g^{22}=-\frac{\cos(θ_1+θ_2 )}{r_2 \; \sin^2(θ_1+θ_2 )}$ ; $\displaystyle Γ_{\phantom{.}22}^1=Γ_{122} \: g^{11}+Γ_{222} \: g^{21}=-\frac{1}{r_1 \; \sin^2(θ_1+θ_2 )}$ ; $\displaystyle Γ_{\phantom{.}22}^2=Γ_{122} \: g^{12}+Γ_{222} \: g^{22}=-\frac{\cos^2(θ_1+θ_2 )}{r_2 \; \sin^2(θ_1+θ_2 )}$ .

Dérivations en coordonnées sphériques

• Le déplacement infinitésimal :

d\overset{→}{M}=dr \;\overset{→}{u}_r+r \:dθ \;\overset{→}{u}_θ+r \;\sin(θ)\;dφ \;\overset{→}{u}_φ

correspond sur la base locale à :

d\overset{→}{M}=dr \;\overset{→}{e}_1+dθ \;\overset{→}{e}_2+dφ \;\overset{→}{e}_3

(avec

x_1=r

;

x_2=θ

;

x_3=φ

).
• Par identification, on en déduit :

\overset{→}{e}_1=\overset{→}{u}_r

;

\overset{→}{e}_2=r \;\overset{→}{u}_θ

;

\overset{→}{e}_3=r \;\sin(θ) \;\overset{→}{u}_φ

.
• Tous les coefficients non diagonaux de la matrice

g_{ij}

sont donc nuls (aucun terme en

dr.dθ

dr.dφ

dθ.dφ

) et les coefficients diagonaux sont :

g_{11}=1

;

g_{22}=r^2

;

g_{33}=r^2 \; \sin^2(θ)

.
• Les coefficients non diagonaux de la matrice inverse

g^{ij}

sont donc nuls et les coefficients diagonaux sont :

g^{11}=1

;

\displaystyle g^{22}=\frac{1}{r^2}

;

\displaystyle g^{33}=\frac{1}{r^2 \: \sin^2(θ)}

• Le rotationnel est associé au produit extérieur :

\left[\, \overset{→}{∇}∧\overset{→}{A} \,\right]_{ij}=D_i A_j-D_j A_i=∂_i A_j-∂_j A_i

.
◊ remarque : on obtient en effet

D_i A_j-D_j A_i=(∂_i A_j-Γ_{\phantom{.}ji}^k \: A_k )-(∂_j A_i-Γ_{\phantom{.}ij}^k \: A_k )

avec

Γ_{\phantom{.}ji}^k=Γ_{\phantom{.}ij}^k

.
• On obtient ainsi :

$\displaystyle \left[\, \overset{→}{∇}∧\overset{→}{A} \, \right]_{23}=∂_2 A_3-∂_3 A_2=r \; \cos(θ) \:A_{[φ]}+r \;\sin(θ) \, \frac{∂A_{[φ]}}{∂θ}-r \:\frac{∂A_{[θ]}}{∂φ}$ ;
$\displaystyle \left[\, \overset{→}{∇}∧\overset{→}{A} \, \right]_{31}=∂_3 A_1-∂_1 A_3=\frac{∂A_{[r]}}{∂φ}-\sin(θ) \:A_{[φ]}-r \;\sin(θ) \, \frac{∂A_{[φ]}}{∂r}$ ;
$\displaystyle [\, \overset{→}{∇}∧\overset{→}{A} \, ]_{12}=∂_1 A_2-∂_2 A_1=A_{[θ]}+r \:\frac{∂A_{[θ]}}{∂r}-\frac{∂A_{[r]}}{∂θ}$ .

◊ remarque : il faut faire attention aux conventions “usuelles” notant

A_{[r]}

A_{[θ]}

A_{[φ]}

(où ici des crochets ont été ajoutés afin d'éviter l'ambiguïté) les coordonnées contravariantes sur la base orthonormée, c'est à dire pour

A_{[i]}=\sqrt{g_{ii}} \:A^i=\sqrt{g^{ii}} \:A_i

.
• Ceci correspond à :

\overset{→}{∇}∧\overset{→}{A}=[\, \overset{→}{∇} \, ]^i \:A^j \; \overset{→}{e}_i∧\overset{→}{e}_j=[\, \overset{→}{∇}∧\overset{→}{A} \, ]_{ij} \; \overset{→}{e}_i⊗\overset{→}{e}_j

avec ici :

$\overset{→}{e}_2⊗\overset{→}{e}_3=r^2 \; \sin(θ) \;\overset{→}{u}_θ⊗\overset{→}{u}_φ$ ; $\overset{→}{e}_3⊗\overset{→}{e}_1=r \;\sin(θ) \;\overset{→}{u}_φ⊗\overset{→}{u}_r$ ; $\overset{→}{e}_1⊗\overset{→}{e}_2=r \;\overset{→}{u}_r⊗\overset{→}{u}_θ$ .

• On obtient ainsi :

$\displaystyle [\, \overset{→}{∇}∧\overset{→}{A} \, ]_{[θφ]}=\frac{1}{r^2 \; \sin⁡(θ)} \:[\, \overset{→}{∇}∧\overset{→}{A} \, ]_{23}=\frac{\cot(θ)}{r} \:A_{[φ]}+\frac{1}{r} \, \frac{∂A_{[φ]}}{∂θ}-\frac{1}{r \;\sin(θ)} \, \frac{∂A_{[θ]}}{∂φ}$ ;
$\displaystyle [\, \overset{→}{∇}∧\overset{→}{A} \, ]_{[φr]}=\frac{1}{r \;\sin(θ)}\: [\, \overset{→}{∇}∧\overset{→}{A} \, ]_{31}=\frac{1}{r \;\sin(θ)} \, \frac{∂A_{[r]}}{∂φ}-\frac{1}{r} \,A_{[φ]}-\frac{∂A_{[φ]}}{∂r}$ ;
$\displaystyle [\, \overset{→}{∇}∧\overset{→}{A} \, ]_{[rθ]}=\frac{1}{r} \:[\, \overset{→}{∇}∧\overset{→}{A} \, ]_{12}=\frac{1}{r} \:A_{[θ]}+\frac{∂A_{[θ]}}{∂r}-\frac{1}{r} \, \frac{∂A_{[r]}}{∂θ}$ .

• Dans un espace de dimension

3

, ce tenseur antisymétrique n'a que trois composantes indépendantes ; il peut donc être représenté par un pseudo-vecteur

\overset{→}{B}=\overset{→}{∇} × \overset{→}{A}

tel que :

\displaystyle B^j=\frac{1}{\sqrt{|g|}}\: ε^{ijk} \:∂_j A_k

.
◊ remarque : ceci correspond à l'opérateur

\overset{→}{∇}∧\overset{→}{A}=\left[\,\overset{→}{B}×\right]

.
• Le déterminant du tenseur métrique est :

g=r^4 \; \sin^2(θ)

.
• On obtient ainsi :

$\displaystyle [\, \overset{→}{∇} × \overset{→}{A} \, ]^1=\frac{1}{\sqrt{|g|}} \:[\, \overset{→}{∇}∧\overset{→}{A} \, ]_{23}=\frac{\cot(θ)}{r} \:A_{[φ]}+\frac{1}{r} \, \frac{∂A_{[φ]}}{∂θ}-\frac{1}{r \;\sin(θ)} \, \frac{∂A_{[θ]}}{∂φ}$ ;
$\displaystyle [\, \overset{→}{∇} × \overset{→}{A} \, ]^2=\frac{1}{\sqrt{|g|}} \:[\, \overset{→}{∇}∧\overset{→}{A} \, ]_{31}=\frac{1}{r^2 \;\sin(θ)} \, \frac{∂A_{[r]}}{∂φ}-\frac{1}{r^2} \, A_{[φ]}-\frac{1}{r} \, \frac{∂A_{[φ]}}{∂r}$ ;
$\displaystyle [\, \overset{→}{∇} × \overset{→}{A} \, ]^3=\frac{1}{\sqrt{|g|}} \:[\, \overset{→}{∇}∧\overset{→}{A} \, ]_{12}=\frac{1}{r^2 \;\sin(θ)} \:A_{[θ]}+\frac{1}{r \;\sin(θ)} \, \frac{∂A_{[θ]}}{∂r}-\frac{1}{r^2 \; \sin(θ)} \, \frac{∂A_{[r]}}{∂θ}$ .

• Ceci donne finalement :

$\displaystyle [\, \overset{→}{∇} × \overset{→}{A} \, ]^{[r]}=[\, \overset{→}{∇} × \overset{→}{A} \, ]^1=\frac{\cot(θ)}{r} \,A_{[φ]}+\frac{1}{r} \, \frac{∂A_{[φ]}}{∂θ}-\frac{1}{r \;\sin(θ)} \, \frac{∂A_{[θ]}}{∂φ}$ ;
$\displaystyle [\, \overset{→}{∇} × \overset{→}{A} \, ]^{[θ]}=r .[\, \overset{→}{∇} × \overset{→}{A} \, ]^2=\frac{1}{r \;\sin(θ)} \, \frac{∂A_{[r]}}{∂φ}-\frac{1}{r} \,A_{[φ]}-\frac{∂A_{[φ]}}{∂r}$ ;
$\displaystyle [\, \overset{→}{∇} × \overset{→}{A} \, ]^{[φ]}=r \;\sin(θ) \;[\, \overset{→}{∇} × \overset{→}{A} \, ]^3=\frac{1}{r} \,A_{[θ]}+\frac{∂A_{[θ]}}{∂r}-\frac{1}{r} \, \frac{∂A_{[r]}}{∂θ}$ .

◊ remarque : on obtient les mêmes expressions que pour

\overset{→}{∇}∧\overset{→}{A}

(même si elles sont utilisées différemment) parce que la base

(\overset{→}{u}_r \,,\overset{→}{u}_θ \,,\overset{→}{u}_φ )

est orthonormée.