RG III - MOUVEMENTS DE PARTICULES


Distances et durées

◊ remarque : dans un but d'application à relativité générale, la notation à quatre dimensions (incluant le temps) est associée à des indices en caractères grecs  ( 0, 1, 2, 3 ) \left(0\,, 1\,, 2\,, 3\right) ,  réservant par opposition les indices en caractères latins pour la partie spatiale  ( 1, 2, 3 ) \left(1\,, 2\,, 3\right) ,  lorsque celle-ci est étudiée à part.

• Si on utilise un repérage par des coordonnées quelconques, certaines notions usuellement admises en physique peuvent devenir inadaptées ; on commence par les préciser.

• Avec un système de coordonnées xα x^α ,  le temps propre ne correspond pas à la variable x0 x^0 mais à la quantité τ τ telle que :  c2 dτ2 = ds2 = gαβ dxα dxβ c^2 \,dτ^2=ds^2=g_{αβ} \:dx^α \:dx^β .

Pour un point fixe, tel que  dx1 = dx2 = dx3 =0 dx^1=dx^2=dx^3=0 ,  la durée locale correspond à :  c2 dτ2 = ds2 = g00. ( dx0 ) 2 c^2 \,dτ^2=ds^2=g_{00} .\left(dx^0\right)^2 ,  c'est-à-dire à  dt𝓁oc = dτ = g00 c dx0 \display style dt_{𝓁oc}=dτ=\frac{\sqrt{g_{00}}}{c} \:dx^0 .

• Pour exprimer l'intervalle d'espace d𝓁 d𝓁 , on peut considérer un signal lumineux partant d'un point A A vers un point B B infiniment voisin, puis renvoyé immédiatement en sens inverse. Les variations des coordonnées sont alors telles que :  ds2 = g00. ( dx0 ) 2 + 2g0i dx0 dxi + gij dxi dxj =0 ds^2=g_{00} .\left(dx^0\right)^2+2 g_{0i} \:dx^0 \:dx^i+g_{ij} \:dx^i \:dx^j=0 .

Avec des conventions liées au même sens de propagation, les deux parties du trajet correspondent donc à :  dx0 = 1g00 ( -g0i dxi ± ( g0i g0j - g00 gij ) dxi dxj ) \displaystyle dx^0=\frac{1}{g_{00}} \left(-g_{0i} \:dx^i ±\sqrt{\left(g_{0i} \:g_{0j}-g_{00} \:g_{ij}\right) \:dx^i \:dx^j}\,\right) .

En rectifiant la convention de sens pour l'aller-retour, la durée du trajet est telle que :  c dτ = g00 . [ dx0 (AB) + dx0 (BA) ] = 2 ( g0i g0j g00 - gij ) dxi dxj = 2d𝓁 \displaystyle c \,dτ=\sqrt{g_{00}}\:.\left[dx^0 (AB)+dx^0 (BA)\right] =2 \:\sqrt{\left(\frac{g_{0i} \:g_{0j}}{g_{00}} -g_{ij}\right) \:dx^i \:dx^j }=2 \,d𝓁 .

• La notion locale de distance est donc décrite par  d𝓁2 = ℊij dxi dxj d𝓁^2=ℊ_{ij} \:dx^i \:dx^j   avec un tenseur métrique tridimensionnel :  ℊij = g0i g0j g00 - gij \displaystyle ℊ_{ij}=\frac{g_{0i} \:g_{0j}}{g_{00}} -g_{ij} .

◊ remarque : de la propriété  gαβ gβγ = δγα g^{αβ} \:g_{βγ}=δ_γ^α   on déduit  gi0 g0k + gij gjk = δki g^{i0} \:g_{0k}+g^{ij} \:g_{jk}=δ_k^i    et   gi0 g00 + gij gj0 =0 g^{i0} \:g_{00}+g^{ij} \:g_{j0}=0   ;  ainsi en substituant :  gij ℊjk = δki g^{ij} \:ℊ_{jk}=δ_k^i   (cette métrique spatiale est donc l'inverse de la partie spatiale  ℊij = gij ℊ^{ij}=g^{ij} ).

◊ remarque : si la métrique dépend du temps, la “distance” calculée en intégrant d𝓁 d𝓁 sur un trajet (non instantané) doit être interprétée avec précaution ; l'intégration de la “durée”  dt𝓁oc dt_{𝓁oc}   sur un trajet a généralement peu de signification dès lors que la perception de la durée dépend du lieu.

• Pour repérer complètement les événements, il peut être insuffisant de savoir comparer les durées : il est souhaitable de pouvoir synchroniser les horloges.

Dans la situation précédente, on peut considérer comme synchrones l'indication de l'horloge en B B , à l'instant du passage du signal, avec celle de l'horloge en A A , au milieu de l'intervalle.

Deux événements simultanés, en deux points voisins, sont donc séparés par un décalage :  dx0 = 12 [ dx0 ( AB ) - dx0 ( BA ) ] = - g0i dxi g00 \displaystyle dx^0=\frac{1}{2} \:\left[dx^0 (AB)-dx^0 (BA)\right]=-\frac{g_{0i} \:dx^i}{g_{00}} .

◊ remarque : cette méthode de synchronisation des horloges, de proche en proche, n'est toutefois généralement pas applicable pour synchroniser dans tout l'espace (bien que ça corresponde à  dx0 = g0ν dxν =0 dx_0=g_{0ν} \: dx^ν=0 ,  l'intégrale sur un contour fermé n'est pas forcément nulle car xμ x^μ n'est pas un tenseur).

◊ remarque : les problèmes rencontrés ici, pour les distances et les décalages des horloges, peuvent être évités en utilisant un système de coordonnées tel que  g0i =0 g_{0i}=0 ,  ce qui est toujours possible, au moins localement.

📖 exercices n° I, II, III et IV.

Énergie-impulsion d'une particule massive

• On se base sur la “covariance” : partant du principe qu'on peut toujours, au moins localement, trouver un système de coordonnées tel que la description de relativité restreinte s'applique, puis que les changements de notations laissent invariante l'expression générale des relations ainsi obtenues.

Des justifications théoriques plus détaillées sont envisagées ensuite.

• Pour une particule massive (considérée comme ponctuelle) dont on peut négliger l'influence sur le champ de gravitation, on peut définir un 4-vecteur “énergie-impulsion”  P↔ =m c U↔ \overset{↔}{P} =m \,c \:\overset{↔}{U}   avec  Uα = dxα dτ \displaystyle U^α=\frac{dx^α}{dτ} .

◊ remarque : plus précisément, la notion de centre d'inertie ne peut pas être généralisée pour un système étendu ; on peut l'utiliser en bonne approximation pour une particule quasi-ponctuelle telle que g00 g_{00} soit quasi uniforme sur tout son volume.

• En utilisant un système de coordonnées tel que  g0i =0 g_{0i}=0 :

◊ remarque : plus précisément, si la base spatiale  { e→ i } \left\{\overset{→}{e}_i\right\}   est orthogonale mais non normée (en particulier pour des coordonnées de type sphérique), on utilise de préférence :  u→ i = e→i - gii \displaystyle \overset{→}{u}_i=\frac{\overset{→}{e}_i}{\sqrt{-g_{ii}}}   ;  vi = - gii dxi dt 𝓁oc \displaystyle v^i=\sqrt{-g_{ii}} \:\frac{dx^i}{{dt}_{𝓁oc}}   (ceci donne la même unité de longueur pour les différentes coordonnées).

◊ remarque : avec des coordonnées “quelconques”, il est utile de disposer d'une expression “covariante” de l'énergie ; en notant  uobsα = d x obs α ds \displaystyle u_{obs}^α=\frac{dx_{obs}^α}{ds}   la 4-vitesse d'un observateur, l'énergie mesurée par ce dernier (par rapport à son référentiel) peut s'écrire :  E′ = u↔ obs . P↔ E'=\overset{↔}{u}_{obs}.\overset{↔}{P}   (cette expression reste valable pour un observateur en mouvement).

◊ remarque : en l'absence d'autres forces, mais en présence d'un champ de gravitation, cette “énergie-impulsion” n'est conservée qu'au sens de la dérivée covariante  ;  dp↔ dτ ≠ 0↔ \displaystyle \frac{d\overset{↔}{p}}{dτ}≠\overset{↔}{0}    mais   Dp↔ dτ = 0↔ \displaystyle \frac{D\overleftrightarrow{p}}{dτ}=\overleftrightarrow{0} .

◊ remarque : ces notions peuvent se généraliser pour décrire les photons.

📖 exercices n° V et VI.

Principe d'équivalence

• Dans la théorie relativiste de la gravitation, le principe d'équivalence stipule qu'en tout point de l'espace-temps on peut choisir un système de coordonnées “localement inertiel” de façon à y “annuler” tout effet de champ de gravitation.

Soit ξα ξ^α un tel système de coordonnées, le mouvement d'un point matériel “en chute libre” y correspond à une accélération nulle :  d2ξα dt2 =0 \displaystyle \frac{d^2 ξ^α}{dt^2}=0 .

Considérant ces coordonnées exprimées en fonction des xα x^α ,  la propriété précédente s'écrit :  d dτ ( ∂ξα ∂xμ dxμ dτ ) = ∂ξα ∂xμ d2xμ dτ2 + ∂2ξα ∂xμ ∂xν dxμ dτ dxν dτ=0 \displaystyle \frac{d}{dτ} \left(\frac{∂ξ^α}{∂x^μ} \frac{dx^μ}{dτ}\right)=\frac{∂ξ^α}{∂x^μ} \frac{d^2 x^μ}{dτ^2} +\frac{∂^2 ξ^α}{∂x^μ \:∂x^ν} \,\frac{dx^μ}{dτ} \frac{dx^ν}{dτ}=0 .

Or, le mouvement “libre” est décrit par l'accélération nulle associée au “déplacement géodésique” :  DUλ dτ = d2xλ dτ2 + Γ . μν λ dxμ dτ dxν dτ =0 \displaystyle \frac{DU^λ}{dτ} =\frac{d^2 x^λ}{dτ^2}+Γ_{\phantom{.}μν}^λ \:\frac{dx^μ}{dτ} \frac{dx^ν}{dτ}=0 .  Les coordonnées inertielles sont donc déterminées par les équations :  ∂2ξα ∂xμ ∂xν = Γ μν λ ∂ξα ∂xλ \displaystyle \frac{∂^2 ξ^α}{∂x^μ \:∂x^ν}=Γ_{\:\,\,μν}^λ \frac{∂ξ^α}{∂x^λ} .

◊ remarque : pour les photons  ds=0 ds=0 ,  donc il faut utiliser un paramètre ς ς autre que s s ou τ τ .

• Au voisinage d'un point de coordonnées Xβ X^β ,  des coordonnées inertielles peuvent s'écrire sous forme d'un développement en série, avec les constantes  𝒜α = ξα ( Xβ ) 𝒜^α=ξ^α \left(X^β\,\right)   ;  ℬ μ α = ∂ξα ∂xμ ( Xβ ) \displaystyle ℬ_{\:\,\,μ}^α=\frac{∂ξ^α}{∂x^μ}{\left(X^β\,\right)}   ;  𝒞 . μν α = ℬ . λ α Γ . μν λ ( Xβ ) \displaystyle 𝒞_{\phantom{.}μν}^α=ℬ_{\phantom{.}λ}^α \:Γ_{\phantom{.}μν}^λ \left(X^β\,\right) :
ξα ( xβ ) = 𝒜α + ℬ . μα . ( xμ - Xμ ) + 12 𝒞 . μν α . ( xμ - Xμ ) ( xν - Xν ) + ⋯ ξ^α\left(x^β\,\right)=𝒜^α+ℬ_{\phantom{.}μ}^α.\left(x^μ-X^μ\,\right) +\frac{1}{2} \, 𝒞_{\phantom{.}μν}^α .\left(x^μ-X^μ\,\right)\left(x^ν-X^ν\,\right)+⋯ .

Dans cette expression, les coefficients  𝒜 𝒜 et  ℬ ℬ (constantes d'intégration) peuvent être choisis (arbitraire du choix des coordonnées dans le référentiel inertiel), mais les coefficients  𝒞 𝒞 sont ensuite imposés.

• Afin que le caractère inertiel des coordonnées (ici imposé en Xα X^α ) reste mieux valable au voisinage de Xα X^α ,  on peut imposer en plus l'égalité des dérivées :  ∂3 ξα ∂xμ ∂xν ∂xρ = ∂ρ Γ . μν λ ∂ξα ∂xμ + Γ . μν λ ∂2 ξα ∂xλ ∂xρ \displaystyle \frac{∂^3 ξ^α}{∂x^μ \:∂x^ν \:∂x^ρ} =∂_ρ Γ_{\phantom{.}μν}^λ \:\frac{∂ξ^α}{∂x^μ} +Γ_{\phantom{.}μν}^λ \:\frac{∂^2 ξ^α}{∂x^λ \:∂x^ρ} .

Le terme suivant du développement :  16 𝒟 . μνσ α . ( xμ - Xμ ) ( xν - Xν ) ( xσ - Xσ ) \frac{1}{6}\,𝒟_{\phantom{.}μνσ}^α .\left(x^μ-X^μ\,\right)\left(x^ν-X^ν\,\right)\left(x^σ-X^σ\,\right)   est donc tel que :  𝒟 . μνσ α = ℬ . λ α ∂ρ Γ . μν λ ( Xβ ) + 𝒞 . λρ α Γ . μν λ ( Xβ ) 𝒟_{\phantom{.}μνσ}^α =ℬ_{\phantom{.}λ}^α \:∂_ρ Γ_{\phantom{.}μν}^λ\left(X^β\,\right) +𝒞_{\phantom{.}λρ}^α \:Γ_{\phantom{.}μν}^λ \left(X^β\,\right)   et ainsi de suite (tous les coefficients se calculent à partir des dérivées du tenseur métrique).

◊ remarque : ceci peut se généraliser en construisant un système de coordonnées qui sont inertielles en tout point d'une ligne.

• Dans cette interprétation, la relation  d2 xλ d τ2 = - Γ . μν λ Uμ Uν \frac{d^2 x^λ}{dτ^2}=-Γ_{\phantom{.}μν}^λ \:U^μ \:U^ν   suggère que c'est la connexion  Γ . μν λ Γ_{\phantom{.}μν}^λ (liée à la “courbure” de l'espace-temps) qui joue le rôle d'un “champ de gravitation” (analogue aux effets des forces électromagnétiques, exprimés en fonction du champ et de la vitesse). Le rôle d'un “potentiel de gravitation” est alors associé à la métrique gμν g_{μν} puisque la connexion s'en déduit par dérivation par rapport aux coordonnées.

• Ceci peut être justifié par des considérations théoriques associées au “principe de moindre action”  δ𝒮=0 δ𝒮=0 .

Soit σ σ un paramètre décrivant l'évolution d'une particule matérielle le long de sa trajectoire, on peut considérer l'action  𝒮 = ∫ ℒ ( xμ , dxμ dσ ) dσ \displaystyle 𝒮=∫ℒ\left(x^μ\,,\,\frac{dx^μ}{dσ}\right)\:dσ   avec un lagrangien  ℒ = m c ds dσ \displaystyle ℒ=m \:c \:\frac{ds}{dσ} .  On peut dans ce cas choisir le paramètre  σ=s σ=s ,  tout en considérant dans le lagrangien les variations de  ds ( xμ , dxμ dσ ) \displaystyle ds\left(x^μ\,,\,\frac{dx^μ}{dσ}\right) .

◊ remarque : cela s'adapte aussi pour les photons, mais le choix du paramètre est moins évident.

• En notant  x˙ μ = dxμ ds \displaystyle {\dot{x}}^μ=\frac{dx^μ}{ds}   on obtient les équations d'Euler :  d ds ( ∂ℒ ∂x˙μ ) = ∂ℒ ∂xμ \displaystyle \frac{d}{ds} \left(\frac{∂ℒ}{∂\dot{x}^μ}\right)=\frac{∂L}{∂x^μ}   qui redonnent les équations des géodésiques.

📖 exercices n° VII, VIII, IX et X.

Limite de l'approximation newtonienne

• On considère ici un point matériel en mouvement lent dans un champ gravitationnel faible (et statique).

Dans la limite des mouvements lents, on peut négliger Ui U^i par rapport à U0 U^0 ; les équations du mouvement deviennent :  d2xα dτ2 ≈ - Γ . 00 α . (U0) 2 \displaystyle \frac{d^2 x^α}{dτ^2}≈-Γ_{\phantom{.}00}^α .\left(U^0\right)^2 .

Pour un champ statique :  Γ . 00 α = - 12 gαβ ∂βg00 Γ_{\phantom{.}00}^α=-\frac{1}{2} \,g^{αβ} \:∂_β g_{00}   ;  or, pour un champ faible :  gαβ = ηαβ + hαβ g_{αβ}=η_{αβ}+h_{αβ}    où   | hαβ | ≪1 \left|h_{αβ} \right|≪1    donc au premier ordre  Γ . 00 α = - 12 ηαβ ∂βh00 Γ_{\phantom{.}00}^α=-\frac{1}{2} \,η^{αβ} \:∂_β h_{00} .  Finalement les équations s'écrivent :  d2x0 dτ2 ≈0 \displaystyle \frac{d^2 x^0}{dτ^2}≈0   ;  d2xi dτ2 ≈ - 12 ∂ih00 . (U0)2 \displaystyle \frac{d^2 x^i}{dτ^2}≈-\frac{1}{2} \,∂^i h_{00} .\left(U^0\right)^2 .

La première équation montre que  U0 = dx0 dτ \displaystyle U^0=\frac{dx^0}{dτ}   est constant, ce qui permet de simplifier les autres équations sous la forme :  d2xi dt2 ≈ - c22 ∂ih00 \displaystyle \frac{d^2 x^i}{dt^2}≈-\frac{c^2}{2} \:∂^i h_{00} .  Or, la relation newtonienne s'écrit :  d2xi dt2 ≈ - ∂i𝒱 \displaystyle \frac{d^2 x^i}{dt^2}≈-∂^i 𝒱    où  𝒱 𝒱   est le potentiel de gravitation.

Compte tenu du fait que l'effet gravitationnel doit tendre vers zéro à l'infini, on peut en déduire  h00 ≈ 2𝒱 c2 \displaystyle h_{00}≈\frac{2 \:𝒱}{c^2}    et   g00 ≈ 1 + 2𝒱 c2 \displaystyle g_{00}≈1+\frac{2 \:𝒱}{c^2} .  On retrouve donc ainsi la loi gravitationnelle “classique” à partir d'une démarche géométrique.

◊ remarque : à la même approximation  g0i≈0 g_{0i}≈0    et   gij ≈ ηij g_{ij}≈η_{ij}   car les termes correspondants sont du premier ordre par rapport au champ, mais aussi par rapport à la vitesse, donc sont globalement du second ordre.

📖 exercice n° XI.

Équations électromagnétiques

• Puisque le champ électromagnétique est défini de façon invariante en relativité restreinte, on peut ici de même définir un 4-potentiel  Aμ A^μ tel que le champ soit  Fαβ = DαAβ - DβAα = ∂αAβ - ∂βAα F_{αβ}=D_α A_β-D_β A_α=∂_α A_β-∂_β A_α   (compte tenu de l'antisymétrie).

• Pour généraliser les équations de Maxwell sous forme invariante, on peut se baser sur la densité de charge  ρ = dq d3𝒱 \displaystyle ρ=\frac{dq}{d^3 𝒱}   avec le 3-volume  d3𝒱 = ℊ d3x d^3 𝒱=\sqrt{ℊ} \;d^3 x .

Ce 3-volume  d3𝒱 d^3 𝒱   est un scalaire pour les transformations spatiales, mais non dans les transformations spatio-temporelles. Dans ce cas l'invariant est :  d4𝒱 = c dt 𝓁oc d3𝒱 = |g| d4x d^4 𝒱=c \:{dt}_{𝓁oc} \:d^3 𝒱=\sqrt{\left|g\right|} \;d^4 x ,  avec  dt𝓁oc = g00 dt dt_{𝓁oc}=\sqrt{g_{00}} \:dt   ;  |g| = g00 ℊ \sqrt{\left|g\right|}=\sqrt{g_{00}} \:\sqrt{ℊ} .

On peut alors définir un quadrivecteur densité de courant  jμ = ρ dxμ dt𝓁oc \displaystyle j^μ=ρ \:\frac{dx^μ}{dt_{𝓁oc}}   dont (selon la métrique) la coordonnée temporelle décrit la grandeur physique associée :  g00 j0 = g00 ρ dx0 dt𝓁oc = ρc \displaystyle \sqrt{g_{00}} \: j^0=\sqrt{g_{00}} \:\:ρ \:\frac{dx^0}{dt_{𝓁oc}}=ρ \:c   (comme en relativité restreinte).

◊ remarque : on vérifie que  jμ = ρ dxμ dt𝓁oc j^μ=ρ \:\frac{dx^μ}{dt_{𝓁oc}}   est un quadrivecteur en constatant que la 4-densité  dq d4𝒱 = ρ c dt𝓁oc \displaystyle \frac{dq}{d^4 𝒱}=\frac{ρ}{c \:dt_{𝓁oc}}   est un scalaire, or dxμ dx^μ est un quadrivecteur ; de façon systématique, toute expression “covariante” qui redonne l'expression “classique” dans le cas de la relativité restreinte est forcément générale.

• Ce 4-vecteur vérifie l'équation de continuité :  Dα jα = 1 |g| ∂α ( |g| jα ) =0 \displaystyle D_α j^α=\frac{1}{\sqrt{\left|g\right|}} \:∂_α \left(\sqrt{\left|g\right|} \;j^α \right)=0 .

Par ailleurs, avec ces notations, les équations de Maxwell s'écrivent :
Dα Fαβ = 1|g| ∂α ( |g| Fαβ ) = μ0 jβ \displaystyle D_α F^{αβ}=\frac{1}{\sqrt{\left|g\right|}} \:∂_α \left(\sqrt{\left|g\right|} \;F^{αβ} \right) =\mathrm{μ}_0 j^β   (avec μ0 \mathrm{μ}_0 perméabilité magnétique) ;
εαβγδ DβFγδ = εαβγδ ∂βFγδ =0 ε^{αβγδ} \;D_β F_{γδ}=ε^{αβγδ} \;∂_β F_{γδ}=0   (compte tenu de l'antisymétrie).

◊ remarque : dans la seconde équation, le “tenseur” de Levi-Civita  εαβγδ ε^{αβγδ}   n'est pas un tenseur ; on peut lui préférer  ℰαβγδ = 1|g| εαβγδ \displaystyle ℰ^{αβγδ}=\frac{1}{\sqrt{\left|g\right|}} \:ε^{αβγδ} ,  mais cela ne change rien puisque le résultat est nul ; pour éviter toute ambiguïté, on peut préférer l'écriture développée :  ∂αFβγ + ∂βFγα + ∂γFαβ =0 ∂_α F_{βγ}+∂_β F_{γα}+∂_γ F_{αβ}=0 .

• La force électromagnétique de Lorentz se généralise alors par l'expression :  fα = m DUα dτ = m. ( dUα dτ + Γ . μν α Uμ Uν ) = q F . μ α Uμ \displaystyle f^α=m \:\frac{DU^α}{dτ}=m .\left(\frac{dU^α}{dτ}+Γ_{\phantom{.}μν}^α \:U^μ \:U^ν \right) =q \:F_{\phantom{.}μ}^α \:U^μ .

📖 exercice n° XII.

Tenseur énergie-impulsion

• En relativité restreinte, le tenseur énergie-impulsion pour une particule de position  X X   { Xα } \{X^α\}   et d'impulsion  pα p^α   peut s'écrire à l'aide de la distribution de Dirac, avec une masse volumique  μ ( t, xi ) = m δ3 ( xi - Xi (t) ) μ\left(t, x^i \,\right) = m \:δ^3 \left(x^i - X^i \left(t\right)\right) :
Tαβ = pα dXβ dt δ3 ( xi - Xi ) = μ Uα Uβ dτ dt = μ0 Uα Uβ \displaystyle T^{αβ}=p^α \:\frac{dX^β}{dt} δ^3 \left(x^i - X^i \,\right) =μ \:U^α \:U^β \:\frac{dτ}{dt}=μ_0 \:U^α \:U^β .

Le caractère tensoriel est assuré par le fait que  μ dt = μ0 dτ = dm dt d3𝒱 \displaystyle \frac{μ}{dt}=\frac{μ_0}{dτ}=\frac{dm}{dt \:d^3 𝒱}   est invariant (avec μ0 μ_0 la masse volumique dans le référentiel propre).

• Pour généraliser sous forme invariante, on peut se baser sur la densité de masse  μ = dm d3𝒱 \displaystyle μ=\frac{dm}{d^3 𝒱} ,  mais ce n'est pas un scalaire puisque l'invariant dans les transformations spatio-temporelles est  d4𝒱 = c dt𝓁oc d3𝒱 d^4 𝒱=c \:dt_{𝓁oc} \:d^3 𝒱 .

On peut alors utiliser :  dt𝓁oc = g00 dt dt_{𝓁oc}=\sqrt{g_{00}} \:dt   ;  μ c dt𝓁oc = μ0 c dτ = dm d4𝒱 \displaystyle \frac{μ}{c \:dt_{𝓁oc}}=\frac{μ_0}{c \:dτ}=\frac{dm}{d^4 𝒱}    et l'expression tensorielle  Tαβ = μ0 Uα Uβ T^{αβ}=μ_0 \:U^α \:U^β   reste valable.

• Pour une particule ponctuelle, on peut écrire :  Tαβ = pα dXβ dt𝓁oc δ˜3 ( xi - Xi ) \displaystyle T^{αβ}=p^α \:\frac{dX^β}{dt_{𝓁oc}} \,\tilde{δ}^3 \left(x^i - X^i \,\right)   avec la distribution invariante  δ˜3 ( xi - Xi ) = 1ℊ δ3 ( xi - Xi ) \displaystyle \tilde{δ}^3 \left(x^i - X^i \,\right)=\frac{1}{\sqrt{ℊ}} \:δ^3 \left(x^i - X^i \,\right) .

On peut aussi utiliser :  Tαβ = ∫ m Uα Uβ δ˜4 ( xμ - Xμ ) dτ \displaystyle T^{αβ}=∫ m \:U^α \,U^β \;\tilde{δ}^4 \left(x^μ - X^μ \right) \:dτ   (intégré sur la trajectoire) avec la distribution invariante  δ˜4 ( xμ - Xμ ) = 1 |g| δ4 ( xμ - Xμ ) \displaystyle \tilde{δ}^4 \left(x^μ - X^μ \right) =\frac{1}{\sqrt{\left|g\right|}} \:δ^4 \left(x^μ - X^μ \right) .

◊ remarque : contrairement à  δ3 ( xi - Xi (t) ) δ^3 \left(x^i - X^i \left(t\right)\right) ,  le temps est une variable “indépendante” dans  δ4 ( xμ - Xμ ) δ^4 \left(x^μ - X^μ \right) .

• Selon la métrique, la coordonnée temporelle décrit la grandeur physique associée :  g00 T00 = g00 μ dx0 dτ dx0 dt𝓁oc = γ μ c2 \displaystyle g_{00} \:T^{00}=g_{00} \:μ \;\frac{dx^0}{dτ} \,\frac{dx^0}{dt_{𝓁oc}}=γ \:μ \:c^2 .

Les coordonnées spatio-temporelles décrivent les grandeurs physiques associées :  g00 Ti0 = g00 μ Ui dx0 dt𝓁oc = γ μ c vi \displaystyle \sqrt{g_{00}} \;T^{i0}=\sqrt{g_{00}} \;μ \:U^i \;\frac{dx^0}{dt_{𝓁oc}}=γ \:μ \:c \:v^i .

On peut donc les regrouper et les réinterpréter comme un pseudo-4-vecteur  g00 Tα0 \sqrt{g_{00}} \;T^{α0}   représentant une “3-densité de 4-impulsion”  μ c Uα μ \:c \:U^α .

Il ne s'agit toutefois pas d'un 4-vecteur car μ μ n'est pas un scalaire, à cause de la contraction relativiste des volumes.

• En pratique, ceci revient à décrire l'énergie-impulsion d'une petite particule par :  Pα = c pα = ∫ Tα0 |g| d3x = ∫ g00 Tα0 d3𝒱 \displaystyle P^α= c \:p^α=∫ T^{α0} \sqrt{\left|g\right|} \;d^3 x =∫ \sqrt{g_{00}} \;T^{α0} \:d^3 𝒱   ;  ceci ne peut toutefois pas se généraliser à un système de grande taille.

Pour un volume non quasi-ponctuel, si on reste dans une généralisation simple de la relativité restreinte, il serait absurde de calculer la somme  ∫ g00 Tα0 d3𝒱 \displaystyle ∫ \sqrt{g_{00}} \;T^{α0} \:d^3 𝒱   car la composante temporelle représenterait la quantité   ⟨ g00 ⟩ ∫ g00 Tα0 d3𝒱 ≠ ∫ g00 Tα0 d3𝒱 \displaystyle \big\langle \:\sqrt{g_{00}}\:\big\rangle\; ∫ \sqrt{g_{00}} \;T^{α0} \:d^3 𝒱≠∫ g_{00} \;T^{α0} \:d^3 𝒱 .  Ceci est associé au fait que la notion de centre d'inertie ne se généralise pas au delà de la relativité restreinte : il faut raisonner localement, directement avec des densités de 4-impulsion et des densités de forces pour les systèmes non ponctuels.

◊ remarque : par rapport au cas newtonien, la relativité restreinte prend en compte l'inertie associée à l'énergie cinétique ; il faut ici prendre en compte l'énergie gravitationnelle (l'inertie dépend du champ où se trouve le système).

📖 exercices n° XIII, XIV et XV.

Moment cinétique et “spin” (moment cinétique propre)

• La notion de moment cinétique peut se généraliser :

• Par contre, la notion de “spin” peut aussi se généraliser dans l'approximation d'une particule (quasi) ponctuelle ; elle peut servir par exemple à décrire le comportement d'un gyroscope sous l'effet de la gravitation.

En pratique, ceci revient à décrire le moment cinétique d'une petite particule par :  Lαβ = 1c ∫ ( xα Tβ0 - xβ Tα0 ) |g| d3x = 1c ∫ g00 ( xα Tβ0 - xβ Tα0 ) d3𝒱 \displaystyle L^{αβ}=\frac{1}{c} \:∫ \left(x^α \:T^{β0}-x^β \:T^{α0} \right) \:\sqrt{\left|g\right|} \;d^3 x =\frac{1}{c} \:∫ \sqrt{g_{00}} \;\left(x^α \:T^{β0}-x^β \:T^{α0} \right) \:d^3 𝒱 .

On peut alors définir le vecteur “spin”  Sα = 12 ℰαβμν Lβμ uν S_α=\frac{1}{2} \,ℰ_{αβμν} \:L^{βμ} \;u^ν ,  où   uν = dxν ds \displaystyle u^ν=\frac{dx^ν}{ds}    est la “vitesse du système” (de son pseudo centre d'inertie) et avec le pseudo-tenseur  ℰαβμν = |g| εαβμν ℰ_{αβμν}=\sqrt{\left|g\right|} \;ε_{αβμν} .

• En mouvement inertiel, le spin Sα S^α d'une particule évolue selon  DSα dτ =0 \displaystyle \frac{DS^α}{dτ}=0 ,  donc :  dSα dτ = - Γ . μν α Sμ Uν \displaystyle \frac{dS^α}{dτ}=-Γ_{\phantom{.}μν}^α \:S^μ \:U^ν .