ASTRES EN ROTATION - exercices

Horizon des événements

• La métrique de Kerr (dans le vide) peut s'écrire sous la forme :

${ds}^2=A(r,θ) \:c^2 \, {dt}^2+2 \,B(r,θ) \:c \,dt \:dφ-C(r,θ) \:{dr}^2-D(r,θ) \:{dθ}^2-E(r,θ) \:{dφ}^2$ .

• Les coefficients correspondent à :

$\displaystyle A=1-\frac{r_s \: r}{ρ^2}$   avec   $\displaystyle r_s=\frac{2 \,𝒢 \:M}{c^2}$   et   $ρ^2=r^2+α^2 \; \cos^2(θ)$  ;  $\displaystyle B=\frac{r_s \: α \:r}{ρ^2} \: \sin^2(θ)$  ;
$\displaystyle C=\frac{ρ^2}{Δ}$   avec   $Δ=r^2-r_s \: r+α^2$  ;  $D=ρ^2$  ;  $\displaystyle E=\left(r^2+α^2+\frac{r_s \: α^2 \: r}{ρ^2} \: \sin^2(θ) \right) \; \sin^2(θ)$ .

• L'horizon est la surface déterminée par  $\displaystyle g^{11}=-\frac{1}{C}=0$ ,  c'est à dire par  $Δ=0$  ;  déterminer l'expression de $A$ sur cette surface.

• Une courbe est “du genre lumière” si tout quadrivecteur tangent est du genre lumière (de ce fait, il est aussi “normal” à la courbe) ; cela peut se généraliser à une hypersurface.

a) Montrer qu'en chaque point de l'horizon le quadrivecteur normal (au sens de la métrique) y est du genre lumière.

b) Le quadrivecteur normal étant du genre lumière, il est orthogonal à lui même. Peut-on considérer qu'il est parallèle à l'hypersurface ?

c) Peut-on en déduire que l'hypersurface est du genre lumière ?

• Pour la métrique de Schwarzschild, il est possible d'éviter les difficultés précédentes en utilisant les coordonnées “isotropes” (plutôt que les coordonnées “classiques”). Peut-on proposer une variable radiale jouant ici un rôle analogue ?

Géométrie ellipsoïdale

• La métrique de Kerr (dans le vide) peut s'écrire sous la forme :

${ds}^2=A(r,θ) \:c^2 \, {dt}^2+2 \,B(r,θ) \:c \,dt \:dφ-C(r,θ) \:{dr}^2-D(r,θ) \:{dθ}^2-E(r,θ) \:{dφ}^2$ .

• Les coefficients correspondent à :

$\displaystyle A=1-\frac{r_s \: r}{ρ^2}$   avec   $\displaystyle r_s=\frac{2 \,𝒢 \:M}{c^2}$   et   $ρ^2=r^2+α^2 \; \cos^2(θ)$  ;  $\displaystyle B=\frac{r_s \: α \:r}{ρ^2} \: \sin^2(θ)$  ;
$\displaystyle C=\frac{ρ^2}{Δ}$   avec   $Δ=r^2-r_s \: r+α^2$  ;  $D=ρ^2$  ;  $\displaystyle E=\left(r^2+α^2+\frac{r_s \: α^2 \: r}{ρ^2} \: \sin^2(θ) \right) \; \sin^2(θ)$ .

a) Exprimer la métrique sur une surface déterminée par  $t=Cste$  et  $r=Cste$ .

b) Justifier que, pour décrire cette surface, on peut se ramener à l'étude d'une courbe déterminée par  $φ=Cste$ .

c) Montrer que la métrique sur cette courbe est analogue à celle d'une ellipse en géométrie euclidienne. Commenter.

d) Étudier le périmètre des “parallèles” en fonction de la coordonnée axiale $z$ . Commenter.

e) Est-il possible d'améliorer la description avec une surface euclidienne d'équation  $r=R(θ, \,φ)$  dont la métrique soit représentative ?

• Étudier de même en fonction de r pour  $t=Cste$  et  $θ=Cste$ .  Commenter.

Distance radiale

• La métrique de Kerr (dans le vide) peut s'écrire sous la forme :

${ds}^2=A(r,θ) \:c^2 \, {dt}^2+2 \,B(r,θ) \:c \,dt \:dφ-C(r,θ) \:{dr}^2-D(r,θ) \:{dθ}^2-E(r,θ) \:{dφ}^2$ .

• Avec les coordonnées de Boyer-Lindquist, les coefficients correspondent à :

$\displaystyle A=1-\frac{r_s \: r}{ρ^2}$   avec   $\displaystyle r_s=\frac{2 \,𝒢 \:M}{c^2}$   et   $ρ^2=r^2+α^2 \; \cos^2(θ)$  ;  $\displaystyle B=\frac{r_s \: α \:r}{ρ^2} \: \sin^2(θ)$  ;
$\displaystyle C=\frac{ρ^2}{Δ}$   avec   $Δ=r^2-r_s \: r+α^2$  ;  $D=ρ^2$  ;  $\displaystyle E=\left(r^2+α^2+\frac{r_s \: α^2 \: r}{ρ^2} \: \sin^2(θ) \right) \; \sin^2(θ)$ .

• La distance radiale peut être décrite par :  $\displaystyle d𝓁=\frac{ρ}{Δ} \, dr=dϱ$  (en nommant $ϱ$ la coordonnée correspondant à cette longueur :  $ϱ≠ρ$ ).

• Représenter les variations de $r$ en fonction de $ϱ$ ; commenter.

Ergosphère

• Pour la métrique de Kerr, l'horizon correspond à  $r=R_H=\frac{1}{2} \left(r_s+\sqrt{r_s^{\:2}-4 \,α^2} \,\right)$  ;  l'ergosphère correspond à :  $r=R_E=\frac{1}{2} \left(r_s+\sqrt{r_s^{\:2}-4 \,α^2 \; \cos^2(θ)} \,\right)$ .

• Comparer les deux graphiquement (pour  $φ=Cste$ ).

• Il est parfois dit que l'ergosphère correspond à une sorte d'ellipsoïde ; préciser.

Espace euclidien en rotation

• On considère un espace plat décrit par des coordonnées cylindriques, avec la métrique :

${ds}^2=c^2 \,{dt}^2-{dr}^2-r^2 \: {dθ}^2-{dz}^2$ .

◊ remarque : on suppose pour cela qu'il existe un référentiel correspondant, associé à des objets matériels.

• Écrire la métrique correspondante pour un repérage en rotation autour de l'axe cylindrique avec une vitesse angulaire constante $ω$ .

• Montrer qu'il existe un rayon $r_L$ au delà duquel le coefficient temporel $g_{00}$ est négatif.

• On considère un photon émis tangentiellement selon $θ$ , depuis une position  $r<r_L$ .  Exprimer la vitesse angulaire apparente (selon le sens d'émission) pour un observateur situé à l'origine et se basant sur le repérage en rotation. Commenter.

• Commenter les particularités de ce repérage pour  $r≥r_L$ .

• Montrer que cette limite pourrait être nommée “horizon cinétique”.

• Il est souvent dit que la situation est analogue pour la métrique de Schwarzschild, avec laquelle  $\displaystyle g_{00}=1-\frac{r_s}{r}$   s'annule pour  $r=r_s$ .  Commenter.

Espace euclidien en expansion

• On considère un espace plat décrit par des coordonnées sphériques, avec la métrique :

${ds}^2=c^2 \,{dt}^2-{dr}^2-r^2 \:{dθ}^2-r^2 \; \sin^2(θ) \: {dφ}^2$ .

◊ remarque : on suppose pour cela qu'il existe un référentiel correspondant, associé à des objets matériels.

• Écrire la métrique correspondante pour un repérage en expansion radiale homothétique centrée à l'origine et de rapport $k$ croissant linéairement :  $k=ω \:t$ .

• Montrer qu'il existe un rayon $r_L$ au delà duquel le coefficient temporel $g_{00}$ est négatif.

• On considère un photon émis radialement, depuis une position  $r'<r_L$ .  Exprimer la vitesse apparente (selon le sens d'émission) pour un observateur situé à l'origine et se basant sur le repérage en expansion. Commenter.

• Commenter les particularités de ce repérage pour  $r'≥r_L$ .

• Montrer que cette limite pourrait être nommée “horizon cinétique”.

• Il est souvent dit que la situation est analogue pour la métrique de Schwarzschild, avec laquelle  $\displaystyle g_{00}=1-\frac{r_s}{r}$   s'annule pour  $r=r_s$ .  Commenter.

Espace euclidien en expansion

• On considère un espace plat décrit par des coordonnées sphériques, avec la métrique :

${ds}^2=c^2 \,{dt}^2-{dr}^2-r^2 \:{dθ}^2-r^2 \; \sin^2(θ) \: {dφ}^2$ .

◊ remarque : on suppose pour cela qu'il existe un référentiel $ℛ$ correspondant, associé à des objets matériels.

• Écrire la métrique correspondante pour un repérage en expansion radiale homothétique centrée à l'origine et de rapport $k$ croissant linéairement :  $k=ω \:t$ .

• Montrer qu'il existe un rayon $r_L$ au delà duquel le coefficient temporel $g_{00}$ est négatif.

a) Établir les équations différentielles du mouvement radial pour une particule libre dans le référentiel en expansion, puis les intégrer.

b) Pour déterminer l'une des constantes d'intégration dans le calcul précédent, établir l'expression de la vitesse de la particule.

c) L'expression étant difficile à utiliser, préciser à l'aide d'une comparaison avec le mouvement dans le référentiel de départ.

d) En utilisant dans $ℛ$ la composition relativiste des mouvements, établir l'expression de la vitesse $v'$ dans le repérage en expansion (en fonction de la vitesse $v$ dans $ℛ$ ).

e) Vérifier qu'on peut retrouver la relation précédente par un calcul avec le repérage en expansion.

f) Une particule peut-elle dépasser la limite  $r'=r_L$ ?

• Montrer que, dans le cas particulier étudié ici, on peut simplifier la métrique en utilisant la variable temporelle  $t'=t \:\sqrt{1-λ^2}$  (avec une variable $λ$ à préciser) ;  commenter vis à vis du coefficient $g_{00}$ .

a) Établir les équations différentielles du mouvement radial pour une particule libre dans le référentiel en expansion, avec la variable temporelle $t'$ .

b) Montrer qu'on peut obtenir une autre équation, non indépendante, à partir de la métrique. Utiliser une méthode lagrangienne associée pour retrouver les équations précédentes.

c) Commenter le résultat obtenu par comparaison avec celui utilisant $t$ .

d) Peut-on préciser en utilisant une variable comme  $λ'=\mathrm{artanh}(λ)$ ?

e) Avec ces notations, montrer que la durée propre d'une particule rejoignant la limite est infinie.

Particule dans l'ergorégion

• La métrique de Kerr peut s'écrire :  ${ds}^2=A \:c^2 \, {dt}^2+2 \,B \:c \,dt \:dφ-C \:{dr}^2-D \:{dθ}^2-E \:{dφ}^2$ ,  avec :

$\displaystyle A=1-\frac{r_s \: r}{ρ^2}$   ;   $\displaystyle r_s=\frac{2 \,𝒢 \:M}{c^2}$   ;   $ρ^2=r^2+α^2 \: \cos^2(θ)$  ;  $\displaystyle B=\frac{r_s \: α \:r}{ρ^2} \: \sin^2(θ)$  ;  $\displaystyle C=\frac{ρ^2}{Δ}$   ;
$Δ=r^2-r_s \: r+α^2$  ;  $D=ρ^2$  ;  $\displaystyle E= \frac{Σ^2}{ρ^2} \: \sin^2(θ)$  ;  $Σ^2=(r^2+α^2 ) \: ρ^2+α^2 \: r_s \: r \; \sin^2(θ)$ .

• Dans un espace décrit par la métrique de Kerr, on considère une particule émise (depuis une position quelconque) avec une vitesse tangentielle selon $φ$ .

• Exprimer la métrique simplifiée tangentiellement à la trajectoire au point de lancement.

• En déduire les limites possibles pour la “vitesse angulaire” apparente  $\displaystyle ω_a=\frac{dφ}{dt}$  (pour un observateur lointain). Commenter.

Métrique d'un espace en rotation

• La métrique de Kerr peut s'écrire :  ${ds}^2=A \:c^2 \, {dt}^2+2 \,B \:c \,dt \:dφ-C \:{dr}^2-D \:{dθ}^2-E \:{dφ}^2$ ,  avec :

$\displaystyle A=1-\frac{r_s \: r}{ρ^2}$   ;   $\displaystyle r_s=\frac{2 \,𝒢 \:M}{c^2}$   ;   $ρ^2=r^2+α^2 \: \cos^2(θ)$  ;  $\displaystyle B=\frac{r_s \: α \:r}{ρ^2} \: \sin^2(θ)$  ;  $\displaystyle C=\frac{ρ^2}{Δ}$   ;
$Δ=r^2-r_s \: r+α^2$  ;  $D=ρ^2$  ;  $\displaystyle E= \frac{Σ^2}{ρ^2} \: \sin^2(θ)$  ;  $Σ^2=(r^2+α^2 )^2-α^2 \: Δ\; \sin^2(θ)$ .

• Montrer qu'on peut l'écrire sous la forme :  ${ds}^2=𝒜 \:c^2 \, {dt}^2-C \:{dr}^2-D \:{dθ}^2-E \:{dϕ}^2$  avec :

$dϕ=dφ-ω \:dt$  ;  $\displaystyle ω=c \, \frac{B}{E}=\frac{c \:r_s \: α \:r}{Σ^2}$  ;  $\displaystyle 𝒜=A+E \, \frac{ω^2}{c^2} =\frac{A \:E+B^2}{E}=\frac{Δ \:ρ^2}{Σ^2}$  .

Métrique d'un espace en rotation

• La métrique de Kerr peut s'écrire :  ${ds}^2=A \:c^2 \, {dt}^2+2 \,B \:c \,dt \:dφ-C \:{dr}^2-D \:{dθ}^2-E \:{dφ}^2$ ,  avec :

$\displaystyle A=1-\frac{r_s \: r}{ρ^2}$   ;   $\displaystyle r_s=\frac{2 \,𝒢 \:M}{c^2}$   ;   $ρ^2=r^2+α^2 \: \cos^2(θ)$  ;  $\displaystyle B=\frac{r_s \: α \:r}{ρ^2} \: \sin^2(θ)$  ;  $\displaystyle C=\frac{ρ^2}{Δ}$   ;
$Δ=r^2-r_s \: r+α^2$  ;  $D=ρ^2$  ;  $\displaystyle E= \frac{Σ^2}{ρ^2} \: \sin^2(θ)$  ;  $Σ^2=(r^2+α^2 )^2-α^2 \: Δ\; \sin^2(θ)$ .

• On peut l'écrire sous la forme :  ${ds}^2=𝒜 \:c^2 \, {dt}^2-C \:{dr}^2-D \:{dθ}^2-E \:{dϕ}^2$  avec :

$dϕ=dφ-ω \:dt$  ;  $\displaystyle ω=c \, \frac{B}{E}=\frac{c \:r_s \: α \:r}{Σ^2}$  ;  $\displaystyle 𝒜=A+E \, \frac{ω^2}{c^2} =\frac{A \:E+B^2}{E}=\frac{Δ \:ρ^2}{Σ^2}$  .

• Cette formulation aide à comprendre la rotation de l'espace, mais on peut aussi se demander s'il serait correct de résoudre les équations du mouvement par rapport aux coordonnées correspondantes.

a) Établir l'équation du mouvement pour la variable  $x^3=φ$ .

b) Procéder de même avec la notation $ϕ$ ; comparer.

a) Établir l'équation du mouvement pour la variable  $x^0=c \,t$  avec la formulation de base.

b) Procéder de même avec la formulation utilisant $ϕ$ ; comparer.

Coordonnée radiale pour la métrique de Kerr

• La métrique de Kerr peut s'écrire :  ${ds}^2=A \:c^2 \, {dt}^2+2 \,B \:c \,dt \:dφ-C \:{dr}^2-D \:{dθ}^2-E \:{dφ}^2$ ,  avec :

$\displaystyle A=1-\frac{r_s \: r}{ρ^2}$   ;   $\displaystyle r_s=\frac{2 \,𝒢 \:M}{c^2}$   ;   $ρ^2=r^2+α^2 \: \cos^2(θ)$  ;  $\displaystyle B=\frac{r_s \: α \:r}{ρ^2} \: \sin^2(θ)$  ;  $\displaystyle C=\frac{ρ^2}{Δ}$   ;
$Δ=r^2-r_s \: r+α^2$  ;  $D=ρ^2$  ;  $\displaystyle E= \frac{Σ^2}{ρ^2} \: \sin^2(θ)$  ;  $Σ^2=(r^2+α^2 )^2-α^2 \: Δ\; \sin^2(θ)$ .

• On se limite ici à une étude selon l'axe polaire.

a) L'horizon est associé à l'annulation de $Δ$ , mais la duplication de l'horizon (et aussi de l'ergosphère) suggère que le minimum de $Δ$ est imposé par la variable radiale $r$ mal adaptée. Préciser ce minimum.

b) On cherche en fait une variable $\tilde{r}$ équivalente à $r$ à l'infini, s'annulant comme $Δ$ , mais en fonction de laquelle $Δ(\tilde{r})$ varie de façon monotone, de telle façon que le minimum de $Δ(r)$ soit réinterprété comme dû à un minimum de $r(\tilde{r})$ .  La variable  $\displaystyle \tilde{r}=\frac{Δ}{r}=\frac{r^2+α^2}{r}-r_s$  peut-elle convenir ?

c) La variable  $\tilde{r}=\sqrt{Δ}$  peut-elle convenir ? Peut-on en proposer une variante mieux adaptée ?

• Déterminer le coefficient $\tilde{C}$ de la métrique correspondante. Commenter.