PARAMÈTRES AVEC CONTRAINTES PHYSIQUES

• Pour traiter le cas d'un paramètre  p  soumis à une contrainte physique, par exemple un paramètre positif par définition, le logiciel MINUIT utilise un changement de paramétrisation : le minimiseur utilise un paramètre q tel que  p = p(q) ≥ 0.

On peut pour cela, dans fonc, remplacer p par une expression comme  p = exp(q)  (mais de nombreuses autres peuvent convenir, plus ou moins bien adaptées à chaque cas particulier).

Une fois ajusté  q ± dq,  il suffit dans ce cas d'utiliser  dp = exp(q) dq  pour estimer raisonnablement l'incertitude sur p (et de même les covariances et corrélations associées).

Un inconvénient est que si le minimum de l'expression étudiée correspond à  p < 0  (soit parce que le modèle est inadapté, soit parce que les données expérimentales ont un biais) l'ajustement aura tendance à faire tendre p vers zéro, donc q vers moins l'infini et dq vers l'infini ; l'incertitude dp sera alors difficile à estimer (de la forme  0 x ∞).

Ayant initialement procédé de même, j'ai essayé de modifier la minimisation pour “freiner” la divergence de q quand cela correspond à p plus proche de la limite que l'incertitude dp correspondante. Mais cela perturbe souvent le calcul d'incertitudes et les valeurs obtenues ne sont pas totalement convaincantes (possibilité de biais).

• On peut alors préférer choisir une expression comme  p = q^2  (ou une expression avec un extremum se comportant de façon analogue),  mais un ajustement donnant  q = 0  (c'est ce cas qui pose problème) avec une répartition  ± dq  de part et d'autre, donne une répartition de p entre  0  et  (dq)^2  autour d'une moyenne non nulle.  La relation  dp = |2q| dq = 0  ne peut pas être utilisée.

En raisonnant sur la partie  q ≥ 0  (l'autre moitié donne les mêmes valeurs de p)  on voit que  q  y varie entre 0 et dq ; on peut donc estimer que  p  y varie environ autour de  (dq/2)^2  avec une répartition d'écart  dp  intermédiaire entre  (dq/2)^2  et  (dq)^2 - (dq/2)^2 = 3(dq/2)^2  ;  ceci permet d'estimer  dp = {(dq)^2}/2.

Mais par ailleurs, dans la mesure où cela intervient quand la valeur ajustée tend à se bloquer sur la limite, on peut considérer qu'il y a une incertitude structurelle sur l'adaptation du modèle aux données. Il me paraît alors judicieux de doubler :  dp = (dq)^2.

Cette approche reste toutefois assez approximative : outre le fait qu'il faut conclure différemment selon que l'ajustement se bloque sur la limite ou non, le résultat dépend de la répartition exacte des valeurs, donc de chaque cas étudié.

• Un certains nombre de tests m'ont convaincu qu'une meilleure méthode consiste à utiliser une expression de la forme  p = abs(q) :  si le paramètre p essaie de tendre vers une valeur négative, le processus laisse possible la limite  q ≤ 0  mais en la faisant correspondre à  p ≥ 0,  ce qui a pour effet de bloquer q (donc p) au voisinage de la valeur limite 0, tout en sachant très raisonnablement estimer dq, d'où on déduit comme précédemment  dp = dq  (et les covariances et corrélations associées, dont il faut toutefois changer le signe si le minimum ajusté correspond à  q ≤ 0).  Un avantage est en outre que cela convient de même pour les cas où l'ajustement se bloque ou non sur la limite.